Традиционное объединение логики и математики
Традиционное объединение логики и математики как единой системы знания, противостоящей знанию, основанному на опыте (Matesis universalis у Лейбница и Гуссерля, формальное знание у Грассмана) имеет смысл, но оно скрывает важную границу внутри самого этого единства, проходящую между логикой и математикой как аналитическим и, соответственно, синтетическим знанием. Эта граница была отмечена Кантом, но не была разъяснена им в достаточной степени. Праксеологическая трактовка логики позволяет увидеть глубинные основания этого различия и провести четкое разделение математики и логики как наук принципиально различного типа.
Логика, в действительности, не более близка к математике, чем к любой другой науке. Убеждение в особой связи логики с математикой, в особом генетическом родстве этих дисциплин — методологическое заблуждение, проистекающее исключительно из более регулярного использования правил логики в математических рассуждениях. Математика не выводится из логики, точно так же как логика не выводится из математической практики. Адекватная программа обоснования математики должна исходить из понимания логики как универсально нормативной структуры, стоящей над всеми науками, которая абсолютно первична перед математикой и не нуждается в ней в плане своего обоснования.
Эти общие соображения позволяют нам сформулировать простые критерии, решающие проблему разграничения в некоторых важных случаях. Из онтологического понимания логики следует требование формальности логических норм, независимости их от содержания понятий. Законность этого критерия следует из того, что логика имеет дело со значениями и их связями вообще, без различения их по содержанию. Суждения, связанные с предметностью и содержанием, не могут принадлежать к логике. В этом плане можно рассмотреть аксиому выбора, которую Д. Гильберт склонен был относить к общим логическим принципам38. При понимании реальной логики как системы норм для значений вообще, мнение Гильберта не может быть принято. Аксиома выбора приписывает элементам множества достаточно специальную характеристику, которая не присутствует у всех множеств и никак не может быть выведена из принципов, определяющих необходимые связи значений. Эта аксиома фиксирует в себе определенные характеристики идеальной предметности, вследствие чего имеет синтетический и заведомо внелогический характер.
Анализ аксиомы выделения позволяет, напротив, отнести ее к суждениям обладающим логической истинностью. Суть этой аксиомы состоит в утверждении того положения, что для любого множества А и для любого хорошо определенного предиката В, существует множество членов х множества А, удовлетворяющих предикату В. Нетрудно видеть, что эта аксиома является конкретизацией применительно к понятию множества правила определения через род и вид, которое необходимо для мышления о всяком предмете. При определенности предиката В для всякого отдельного элемента и при истинности закона исключенного третьего, гарантирующего возможность поэлементной проверки любого множества, полное задание множества В становится всегда достижимым. Аксиома выделения может быть понята, таким образом, как результат применения универсального логического принципа к предметной сфере, которая заведомо гарантирует условия его выполнимости. Мы видим, что истинность аксиомы выделения в отличие от аксиомы выбора обусловлена только общими логическими требованиями, предваряющими определение любого математического объекта.
