Критика логических аргументов
Идея содержательности математики достаточно естественна для математиков XIX века. Она проистекает из понимания математики как науки о некоторых непреложных фактах, данных с очевидностью, подобных фактам опытных наук. Рост абстрактности математики вошел в противоречие с таким представлением о ее предмете. Методологический конфликт между сторонниками содержательной и сторонниками символьной математики был неизбежен.
Нечто подобное наблюдалось и в физике. Многие физики воспринимали рост абстрактности своей науки как уход от истинного предмета физики, подмену его математическими фикциями. Постепенно, однако, было понято, что целью физики является не отыскание наглядного и понятного для всех механизма явлений, а предсказание и объяснение явлений из минимума принципов, которые сами по себе могут быть далеко не очевидными. Как только было понято предсказательное, чисто дедуктивное значение физических теорий, традиционные ребования наглядности и понятности физических принципов были отброшены как излишние, не проистекающие из функции физической теории.
Аналогичное изменение в методологических воззрениях произошло и в математике. В настоящее время уже достаточно ясно, что задача математических теорий состоит не в описании некоторой очевидности, а в построении систем объектов и операций, полезных для моделирования реальных отношений, открываемых в науке и технике. С этой точки зрения, которую можно назвать функциональной или прагматической, требования содержательности и интуитивной ясности понятий, которые были столь существенными для Гаусса, Кронекера и Брауэра, представляются произвольными ограничениями, не проистекающими из сущности (назначения) математики. Это относится и к требованию конструктивности. Никто не откажется от использования математической теории только потому, что некоторые ее посылки не обладают интуитивной ясностью или конструктивностью. Математическая практика далеко вышла за пределы этих ограничений. Но это значит, что основной аргумент Брауэра против закона исключенного третьего покоится на произвольном допущении о природе математической теории, не проистекающем из ее назначения.
В основе второго аргумента Брауэра лежит определенное понимание утверждения и отрицания, которое Брауэр считает необходимым принять для сферы истинной математики. В классической математике эти понятия дополняют друг друга так, что отрицание истины есть ложь и отрицание лжи есть истина, вследствие чего двойное отрицание всегда приводит нас в исходную позицию. В принципе и при конструктивном определении математического существования эта симметрия могла бы быть сохранена, если бы мы определили отрицание как просто отсутствие построения. Закон исключенного третьего остался бы в таком случае общезначимым и означал бы относительно определенного объекта, что либо его построение существует, либо нет. Но Брауэр определяет отрицание не просто как отсутствие осуществленного построения объекта, но как наличие некоторого рассуждения, а именно, доказательства абсурдности предположения о существовании этого объекта. Но тем самым немедленно разрушается классическая дихотомия истинности и ложности, ибо фактическое отсутствие построения, очевидно, не тождественно доказательству его принципиальной невозможности. Операция отрицания становится более сложной и двойное отрицание уже не приводит нас к исходному состоянию. Так появляются псевдообъекты типа действительного числа, относительно которого абсурдно утверждение его иррациональности и в то же время невозможно утверждение рациональности.
