О надежности геометрической очевидности
Надежность геометрической очевидности неоднократно ставилась под сомнение. В XVIII веке Лагранж призывал математиков избавляться от чертежей в математических рассуждениях, ибо, по его мнению, как и механические аналогии, они снижают строгость и общность рассуждения. Критика геометрической очевидности продолжалась и XIX веке в связи с арифметизацией анализа. Б. Больцано полагал, что все утверждения анализа, сколь бы ясными они не были с геометрической точки зрения, должны получить собственно аналитическое обоснование, опирающееся на определения функций и их свойств. Он считал, что утверждения анализа, обладающие предельной универсальностью, не могут доказываться из соображений частной дисциплины, какой является геометрия4. Брауэр исключил геометрическую очевидность из оснований математики как дискредитированную появлением неевклидовых геометрий5.
Внимательное рассмотрение проблемы показывает, однако, что принижение обосновательного статуса геометрической очевидности, присутствующее до сих пор в философии математики и в математической практике, не является оправданным. Конечно, современная математика далеко вышла за пределы геометрической наглядности и исследует большое число объектов, далеких от возможностей обычного пространственного представления. Мы не можем наглядно представить непрерывную функцию, не имеющую производной, кривую, целиком заполняющую квадрат, или способ рассечения шара на части, из которых можно составить два равновеликих ему шара, и множество других объектов, исследуемых в современной математике. Именно на такого рода факты указывают те математики и философы, которые говорят о крахе интуиции в современной математике6.
Факт уменьшения сферы геометрической наглядности в современной математике не подлежит сомнению. Сама геометрия далеко вышла за границы обычной наглядности, и нетрудно понять, что процесс расширения математики за счет абстрактных объектов вполне закономерен и не может быть обращен вспять. Но здесь необходимо разделить разные вещи. Когда мы ставим вопрос о надежности геометрической очевидности, то нас интересует не то, как широка сфера ее использования, а лишь то, является ли эта очевидность там, где она фактически используется, достаточно надежной. Иными словами, нас интересует не вопрос об универсальности геометрической очевидности (этот вопрос разрешается однозначно и отрицательно), а вопрос о ее надежности, т. е. вопрос о том, является ли она надежной в сфере своего фактического применения. На вопрос, поставленный таким образом, мы имеем все основания ответить утвердительно.
Для уяснения сути дела рассмотрим процесс вычисления поверхности фигуры, которая известна как цилиндр Шварца. Если цилиндр высотой Н разделить на п горизонтальных слоев и в основания каждого из слоев вписать ^-угольник, то ребра, соединяющие соседние вершины многоугольников, образуют многогранную поверхность, вписанную в боковую поверхность цилиндра, состоящую из 2nk равных треугольников. Геометрическая интуиция подсказывает нам, что при неограниченном увеличении п и к (числа слоев, на которые разделен цилиндр, и числа сторон многоугольника, вписанного в основание слоя) площадь многогранной поверхности будет приближаться к площади боковой поверхности цилиндра. Простой расчет показывает, однако, что величина этого предела зависит от относительной скорости изменения га и & и, вообще говоря, может быть как угодно большой. Несостоятельность геометрической очевидности, как кажется, оказывается более чем убедительной7.
