Опровержения геометрической очевидности
В действительности, однако, никакого опровержения геометрической очевидности в данном случае не происходит. Прежде всего обратим внимание на следующий момент: при вычислении действительного предела многогранной поверхности, вписанной в цилиндр, мы должны неизбежно исходить из того факта, что эта поверхность состоит именно из 2пк граней и что площадь каждой грани равна половине произведения ее основания на высоту, т. е. из фактов школьной геометрии, обоснованных в рамках геометрической очевидности. Получается, что некорректность одной геометрической очевидности обнаруживается только на основе других очевидностей того же рода. Но это значит, что по крайней мере некоторая совокупность геометрических очевидностей должна быть признана как имеющая безусловный характер.
Главное, однако, состоит в следующем. Когда мы в рассматриваемом случае интуитивно заключаем, что площадь многогранной поверхности при увеличении числа ее граней имеет своим пределом поверхность цилиндра, то мы опираемся не на геометрический чертеж, относящийся к данному случаю, и не на тривиальные очевидности, зафиксированные в аксиомах геометрии, а исключительно на аналогию с некоторыми известными геометрическими фактами. Наша первоначальная гипотеза, в действительности, поддерживается следующим соображением: «Если периметр вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон стремится к длине окружности как к своему пределу, то естественно предположить, что площадь вписанной многогранной поверхности при неограниченном увеличении числа ее граней стремится к площади боковой поверхности цилиндра». Но это не заключение на основе непосредственной геометрической очевидности, а заключение по аналогии, и, таким образом, мы можем говорить здесь лишь о ненадежности индуктивной гипотезы, неявно внедренной в исходное геометрическое рассуждение.
Рассмотрение примеров, которые обычно приводятся против геометрической очевидности, показывает, что все они основаны на смешении геометрической очевидности как непосредственного осуществления и созерцания геометрических конструкций с заключениями по аналогии или с индуктивными гипотезами относительно этих объектов. Эти примеры, таким образом, доказывают только некорректность индуктивной и эмпирической очевидности в сфере геометрии и ни в какой мере не опровергают аподиктического характера очевидностей, лежащих в ее основе. Может ли такой объект, как кривая, заполняющая весь квадрат, свидетельствовать против геометрической очевидности, если само ее построение опирается на эти очевидности? У нас нет никаких фактов, показывающих, что выводы, сделанные на основе очевидных геометрических построений, оказались бы несостоятельными с логической точки зрения. В действительности, мы никогда не признаем математические рассуждения правильными, если они будут расходиться с выводами, основанными на общезначимой геометрической конструкции. И в этом смысле факт, основанный ^на геометрической очевидности, столь же обязателен для математика, как и элементарный арифметический факт.
Тенденция к освобождению начал анализа от геометрической очевидности, которая наметилась в XVIII веке, сама по себе вполне законна. Объективно она была направлена на то, чтобы сузить до минимума интуитивное основание анализа как определенной математической дисциплины. Однако эта тенденция была ошибочно истолкована математиками и философами как освобождение математики от эмпирической наглядности, приводящей к заблуждениям. В основе этого истолкования лежало ошибочное представление о геометрии как опытной науке, как о науке, родственной механике, связанной с исследованием пространства как объекта, данного в опыте.
