Противопоставляя геометрическую наглядность
Противопоставляя геометрическую наглядность и аналитическое обоснование в качестве примера, Больцано рассматривал утверждение: «Если непрерывная функция при некоторых значениях аргумента А и В принимает значения, имеющие разные знаки, то существует значение аргумента равное С, при котором она равна нулю». Он считал, что хотя это положение убедительно геометрически, геометрическое его обоснование не может рассматриваться в качестве приемлемого. Теоремы о свойствах функций должны быть выведены, согласно Больцано, только из чисто аналитического определения этих функций. Основная его идея, конечно, имеет методологический смысл и историческое оправдание. Однако убеждение в том, что опора на геометрию в анализе столь же ненадежна, как и опора на механику, ошибочно. Геометрическая очевидность — не очевидность механики: она, в действительности, не менее интеллектуальна, не менее авторитарна, чем очевидность арифметики и не менее обязательна для математики, чем последняя. Если бы Больцано строго аналитически доказал, что непрерывная функция, удовлетворяющая указанным условиям, может в некоторых случаях не иметь значения, равного нулю, то этим бы было доказано собственно, что определения анализа не соответствуют данной в интуиции непрерывности пространства, и анализ, несомненно, был бы перестроен в сторону такого соответствия. Самоочевидная геометрическая истина, заключенная в теореме Больцано-Коши, в принципе не может быть устранена из математики на основе каких-либо логических доводов. Но это значит, что ее геометрическое обоснование является не менее надежным, чем обоснование аналитическое.
Столь же несостоятелен и аргумент Брауэра. Тот факт, что наглядность евклидовой геометрии не распространяется на другие геометрические системы, не говорит о ненадежности этой очевидности в рамках самой евклидовой геометрии и о недостаточности ее для обоснования этой геометрии. Следуя своей логике, Брауэр должен был бы поставить под сомнение и обычную арифметическую очевидность, ибо существуют нестандартные арифметические системы, в которых она неприемлема.
Более адекватный взгляд на геометрическую очевидность был сформулирован Г. Фреге в его последних работах. Основную идею Фреге можно выразить в следующих двух тезисах:
1. Геометрическая очевидность, также как и арифметическая, не содержит в себе никакого чувственного компонента и, вследствие этого, является чисто интеллектуальной, собственно математической и абсолютно надежной.
2. Геометрическая очевидность является более широкой, чем арифметическая, ибо она является источником идеи математической бесконечности. Вследствие этого, ее следует рассматривать в качестве базы содержательной унификации математического мышления в целом8.
На данном этапе нам достаточно принять первый тезис Фреге, а именно, твердо установить то положение, что геометрическая очевидность является не менее надежной, чем очевидность арифметическая, предметная или логическая. Необходимо признать, что принижение геометрической очевидности в ее надежности и обосновательной роли является одним из самых тяжелых заблуждений философии математики на протяжении последних двух столетий. Первейшая задача современной философии математики состоит в устранении этого предрассудка. Разумеется, это может быть сделано только на основе общего анализа природы аподиктической очевидности и ее места в структуре человеческого мышления.
