Фреге достиг существенного успеха в реализации своей программы
Фреге считает совершенно несостоятельной эмпирическую концепцию числа как понятия, сформировавшегося в процессе счета. Философы, объясняющие понятие числа из опыта счета, смешивают, по его мнению, сферу приложения арифметических истин с самими этими истинами. Он отклоняет и кантовское понимание числа как объекта, данного в чистом созерцании. Созерцание, по мнению Фреге, как всякая чувственность вообще, не может вывести нас за пределы узкого круга истин. Он убежден, что все то, что Кант стремится обосновать через восприятие в чистом созерцании, может быть строго доказано из аналитически истинных положений логики. Фреге не соглашается также и с аксиоматическим подходом к определению числа, который был предложен Пеано и Гильбертом. Задача обоснования арифметики, считает Фреге, состоит в раскрытии подлинного смысла числа, как оно используется в науке и в обыденной жизни. Аксиоматика заведомо не решает этой задачи, так как она указывает лишь на неопределенную совокупность объектов, удовлетворяющих аксиом9.
За основу определения числа Фреге берет теоретико-множественное понятие эквивалентности классов, определяемое в свою очередь на основе понятия взаимно-однозначного соответствия. Конкретное число п характеризуется при таком подходе как класс эквивалентных классов, содержащих п элементов10. Собственно математическая задача Фреге состояла в демонстрации того, что такое определение может быть адекватно переведено на язык логики, и что все интуитивно ясные отношения между числами натурального ряда могут быть воспроизведены как отношения между чисто логическими объектами и доказаны в виде логических истин.
Признано, что Фреге достиг существенного успеха в реализации своей программы. Он обосновал первичные принципы арифметики, имеющие важное значение для ее последовательного аксиоматического построения, а именно, отсутствие предшествующего элемента для нуля, невозможность повторения одного и того же элемента в последовательности чисел, а также принцип индукции, который он формулирует как необходимость передачи свойства от первого элемента к последнему в наследственных рядах элементов. Исходя из определения наследственного ряда, Фреге пытался также строго доказать положение о его бесконечности, т. е. об отсутствии в нем последнего элемента11. Постепенно, однако, было понято, что это последнее доказательство содержит в себе круг, т. е. скрытую предпосылку, равнозначную доказываемому тезису. Эта скрытая предпосылка получила в дальнейшем название аксиомы бесконечности.
