Теория познания
Теория познания, начиная с Аристотеля, настроена критически в отношении этого понятия. Неприятие актуальной бесконечности мы видим у таких математиков как Лагранж, Лобачевский, Гаусс, Кронекер, Брауэр и Пуанкаре19. В «Учении о трансфинитном» Кантор говорит о враждебном отношении к идее актуальной бесконечности Гельмголь-ца и Кронекера20. Критика актуальной бесконечности, таким образом, имеет длительную традицию, сложившуюся задолго до появления логических трудностей в современной математике.
В принципе, проблема приемлемости актуальной бесконечности, полностью решена Г. Кантором, на основе выявления ее связи с потенциальной бесконечностью. Из существования потенциальной бесконечности логически не вытекает существование бесконечности актуальной. Однако кроме логической необходимости существует методологическая необходимость, определяющая логику образования понятий. Методология математики говорит о том, что актуальная бесконечность коррелятивна бесконечности потенциальной и введение одной из них предполагает использование другой. Всюду, где мы утверждаем наличие потенциальной бесконечности, мы неизбежно утверждаем и наличие порождающей функции, относящейся к бесконечному числу элементов, которые эквивалентны друг другу в смысле принадлежности к этой функции. Но такого рода эквивалентность задает класс, состоящий из бесконечного числа элементов, рассматриваемый в качестве единой и завершенной целостности. В методологическом плане, таким образом, наличие потенциальной бесконечности предполагает представление об актуальной бесконечности как о сфере элементов, соответствующих функции бесконечного порождения. Действуя с порождающими функциями как с целостными объектами, мы в действительности действуем с бесконечными множествами, которые они представляют. Очевидно, что любая система уравнений предполагает пересечение множеств решений, которые, в частности, могут быть бесконечными. Но это значит, что актуальная бесконечность, как и бесконечность потенциальная, внедрена в самые основания математического мышления.
Этот момент хорошо осознавал Г. Кантор. Он считал, что область изменения функции не может быть сама чем-то переменным, ибо в этом случае отсутствовало бы всякое твердое основание рассуждений; поэтому эта область является определенным актуально бесконечным множеством значений. Использование понятия потенциально бесконечного, считает Кантор, имеет понятие актуальной бесконечности в качестве своей необходимой предпосылки. Мы имеем основание утверждать, что Кантором было дано полное обоснование актуальной бесконечности, основывающееся на его логической симметрии с бесконечностью потенциальной.
