Аподиктическая очевидность как основа доказательства
Любое математическое доказательство может быть разбито на части, на отдельные шаги, опирающиеся только на непосредственную очевидность. Если некоторый шаг доказательства не очевиден для нас или для тех, для кого мы доказываем теорему, то это шаг нуждается в дальнейшем разъяснении, в редукции к еще более тривиальным оче-видностям. Доказательство принимается только тогда, когда каждый его шаг либо непосредственно очевиден, либо допускает редукцию к некоторой совокупности непосредственных очевидностей. Но это означает, что проблема надежности математического доказательства состоит, в конечном итоге, в выяснении надежности тезисов, на которые опирается математик в процессе своего рассуждения. Когда некоторая группа математиков приходит к заключению о правильности определенного доказательства, то этим выражается вера в то, что все очевидности, на которые оно опирается, относятся к классу аподиктических очевидностей.
Начиная с Декарта, математическое рассуждение связывается с представлением об абсолютной (некорректируемой) очевидности. В кантовской концепции математики аподиктическая очевидность определяет все элементы математического мышления. Математика, по Канту, самоочевидна в своих исходных объектах, которые даны in concrete в чистом априорном созерцании, она самоочевидна в системе своих исходных принципов (аксиом) и, наконец, она самоочевидна в своих доказательствах, поскольку, согласно Канту, «математические доказательства всегда протекают под руководством чистой интуиции, на основе всегда очевидного синтеза»9.
Современная математика, конечно, не является в такой мере подчиненной требованию очевидности. Практика современного математического мышления требует только логической строгости в определении объектов и не предъявляет никаких требований относительно их непосредственной данности сознанию. Рассуждения в неевклидовой геометрии или в нестандартном анализе с самого начала исходят из утверждений, противоречащих интуиции. С современной точки зрения и аксиомы, и объекты математического рассуждения должны быть лишь логически определенными в том смысле, что они должны
быть выражены в терминах, допускающих редукцию к аподиктически очевидным или постулативно определенным объектам. В настоящее время мы хорошо понимаем, что требование самоочевидности аксиом и определений проистекало из узости взгляда традиционной философии математики и неприменимо к практике современного математического мышления.
Мы должны сохранить, однако, кантовский тезис о безусловной очевидности математического доказательства. Несмотря на возможную неочевидность объектов и аксиом само доказательство как система шагов, ведущих от посылок к следствиям, всегда должно оставаться прозрачным, ибо как уже сказано, неочевидные переходы не могут быть приняты в качестве доказательных: всякий шаг доказательства, претендующего на надежность, должен быть совершен либо в соответствии с аподиктически ясным правилом логики, либо на основе аподиктически ясного состава определения, либо на основе аподиктически очевидных преобразований содержательных посылок (аксиом).
Доказательство, аподиктически очевидное в каждом своем шаге, не может быть дезавуировано каким-либо контрпримером или последующим анализом доказательства. Будучи выполненным и подтвержденным математическим сообществом, оно представляет собой абсолютный факт наличия логической связи, с которым должно считаться всякое другое построение в данной теории. Вопрос о том, достижимы ли в математике законченные доказательства, сводится к вопросу, обеспечивает ли естественная эволюция математического доказательства полное очищение его от ассерторических очевидностей.
