Современные дискуссии
Современные дискуссии относительно приемлемости актуальной бесконечности проистекают исключительно из ложной философии математики, требующей для каждого математического понятия некоторого коррелята в действительности. Эта натуралистическая логика проявляется в подходе Гильберта. Если потенциальную бесконечность Гильберт рассматривает как оправданную опытом и абсолютно надежную, то актуальную бесконечность он понимает только в качестве искусственной конструкции, требующей финитного обоснования. «Мы видели, что бесконечное не реализуется нигде, оно не присутствует в природе, а без специальных мер предосторожности оно недопустимо и в качестве основы нашего мышления. Уже в этом я усматриваю некоторый важный параллелизм природы и мышления, основополагающую согласованность между опытом и теорией»21.
Теория онтологической истины устраняет этот ложный параллелизм, закрывающий путь к адекватному пониманию природы исходных математических понятий. С онтологической точки зрения мы вправе утверждать полную симметрию актуальной и потенциальной бесконеч ости, состоящую в том, что оба эти представления в одинаковой мере обусловлены универсальной онтологией мышления и оба они в соответствии с принципом совместности идеально совместимы с онтологически оправданной частью математики. Парадоксы, требующие корректировки аксиом теории множеств, не могут поставить под сомнение истинность простой аксиомы бесконечности, утверждающей существование счетного множества.
При обосновании актуальной бесконечности мы находим некоторую опору в теоретико-познавательном учении Канта, одним из основных положений которого является утверждение об идеях разума как регулятивных понятиях, не имеющих коррелята в действительности, а обозначающих лишь внутреннюю логику движения самой мысли. От конечного числа причинных связей, данных в опыте, мы, по Канту, неизбежно переходим к идее Природы, от представления о конкретных психических актах — к понятию Души как безусловной целостности и т. д. Мы можем не соглашаться с Кантом в его толковании состава идей разума или (в каких-то других моментах) логики их генезиса, но является совершенно несомненным, что допущение идеальных це-лостностей лежит в основе человеческого мышления и что за каждым из этих идеальных представлений стоит представление о завершенной бесконечности. Идея завершенного натурального ряда в этом плане — это не столько математическая идея, сколько идея внутренней логики мышления вообще, принимающего идеальные целостности как результат завершенного движения, и она не менее первична для математического мышления, чем идея его бесконечного становления.
Мы должны осознать то обстоятельство, что утверждение актуальной бесконечности, как и утверждение бесконечности потенциальной, не имеют никакого отношения к опыту и к миру самому по себе. Обе эти идеи представляют собой лишь регулятивные формы мышления, проистекающие из его практической ориентации. Они остались бы теми же самыми при любом положении дел в мире, оставляющим возможность для мышления и действия. Б. Рассел считал, что аксиома бесконечности может быть истинной в одном мире и быть ложной в другом. С натуралистической точки зрения это, конечно, верно. Если физики правы в том, что число атомов во Вселенной конечно, то можно утверждать, что аксиома бесконечности является ложной во всех мирах. Эта аксиома, однако, является истинной для всякого теоретического мира, -ибо она есть необходимая часть универсальной онтологии мышления.
Конечно, нельзя считать, что все типы математической бесконечности являются оправданными онтологически. Онтология оправдывает лишь утверждения о существовании простых видов бесконечности, а именно, она оправдывает допущение потенциальной бесконечности натурального ряда, минимальной актуальной (счетной) бесконечности и бесконечности континуума как реальной непрерывности. Все остальные типы бесконечностей имеют чисто операциональное значение и должны быть обоснованы из логических соображений.
Различие между реальными и чисто операциональными бесконечностями, несущественное в математическом плане, является принципиально важным для методологии обоснования. Мы должны уяснить тот факт, что принципы математики, не имеющие обоснования в логике, могут быть обснованы в онтологии и что это обоснование имеет абсолютное значение. Это значит, в частности, что математические аксиомы, утверждающие существование реальных '(антологически оправданных) бесконечностей, не могут войти в противоречие с логикой и с другими онтологически оправданными суждениями -математики.
