Математика использует понятие истины в особом смысле
Мы выяснили, что математика использует понятие истины в особом смысле, радикально отличном от того смысла, в котором это понятие используется в опытных науках и даже в логике. Математическое утверждение следует считать непосредственно истинным, если оно соответствует универсальной предметной онтологии. Нетрудно видеть, что аксиома выбора полностью соответствует понятию онтологически истинного суждения. Первая часть этой аксиомы, а именно постулат о возможности выбора элемента из любого множества, утверждает не что иное, как дискретный и аддитивный характер рассматриваемых множеств, что выражает собой наиболее существенный аспект предметной онтологии. Не все мыслимые множества обладают указанным качеством. Выделяя отдельную мысль из совокупности мыслей, содержащихся в нашем сознании, мы никогда не можем быть уверены, что выделили только одну мысль, а также и в том, что выделили целую мысль, не оставив ее части или эквивалента среди оставшихся мыслей. Известное канторовское определение множества как всякой мыслимой совокупности слишком широко, ибо оно включает и расплывчатые множества, не удовлетворяющие требованиям идеальной предметности23. Аксиома выбора, таким образом, является не каким-то неопределенным расширением математики, как это обычно представляется в ее интуиционистской критике, а совершенно напротив — радикальным сужением класса множеств, допустимых к рассмотрению: она ориентирует на «правильные» множества, которые в достаточной степени дискретны и в которых не возникает проблем с отождествлением и различением элементов. Аксиома выбора привязывает теорию множеств к наиболее простому, дискретному или арифметическому пониманию множества, и, таким образом, она никак не,может рассматриваться в качестве дополнительного источника противоречий или некорректности доказательств.
Второй содержательный момент аксиомы выбора связан с идеей бесконечности: вправе ли мы, исходя из возможности выбора элемента из множества в каждом отдельном случае, заключать о возможности такого выбора для произвольной совокупности множеств? Затруднение состоит здесь, очевидно, в понимании сферы применения схемы полной индукции, возможности применения ее к бесконечной совокупности множеств. При правильном понимании специфики математических суждений критика аксиомы выбора в этом пункте также должна быть отклонена. Переход от реализуемости выбора в каждом отдельном случае к одновременной реализуемости в бесконечном случае является проблемой, если речь идет о некоторой фактической реализуемости. Онтология, определяющая математическое мышление, не связана с идеей времени и, таким образом, свободна от временных и пространственных ограничений. Если нам известно, что выбор реализуем для каждого множества по отдельности, то с математической точки зрения он реализуем одновременно для всех множеств: соображения времени, пространства и количества, существенные для физического рассмотрения, не имеют здесь никакого значения. Это обстоятельство ясно также и с точки зрения общей философии логики. Как уже было отмечено, логика рассматривает классы исключительно с точки зрения их связи по объему и полностью абстрагируется от их структуры, мощности или порядка. Из допущения «существует для каждого» она неизменно выводит «существует для всех», безотносительно к составу рассматриваемых совокупностей. Корректность аксиомы выбора в этом моменте также не может вызывать каких-либо сомнений24.
Корректность аксиомы выбора в последнем из ее аспектов не нуждается в обосновании: она непосредственно вытекает из аксиомы подмножеств, которая признает существующими все подмножества данного множества.
