Будем называть доказательство надежным или завершенным
Будем называть доказательство надежным или завершенным, если оно не может быть опровергнуто посредством контрпримеров. Будем называть доказательство строгим или герметичным, если оно не содержит в себе неявных (не оговоренных в условиях) предпосылок. Надежное доказательство, очевидно, может быть нестрогим. Таковы почти все геометрические доказательства Евклида: эти доказательства не подвержены контрпримерам и подтверждаются как корректные во всех последующих более строгих изложениях геометрии, но они, очевидно, не являются строгими, поскольку опираются на предпосылки, не содержащиеся в оговоренных условиях. С другой стороны, мыслимы строгие доказательства, идеально правильные в системе принятых канонов, но нарушающие правила обычной логики, а потому ненадежные, подверженные контрпримерам при содержательной истинности посылок.
Будем называть доказательство достоверным по отношению к некоторой области объектов, если оно истинно в отношении этой области, т. е. если его заключение, исходящее из содержательно истинных посылок, соответствует фактическому положению дел в этой области. Будучи надежным и строгим, доказательство может оказаться недостоверным вследствие приближенного характера интерпретации или неадекватности правил вывода применительно к данной области объектов. Вопрос о достоверности математических доказательств систематически возникает в сфере логического обоснования математических теорий. Генценовское доказательство непротиворечивости арифметики, будучи совершенно строгим по внутренней логике рассуждения, обычно не рассматривается в качестве гарантирующего фактическое отсутствие противоречий в формализованной арифметике. Вопрос о достоверности доказательств мы будем рассматривать позднее. Наша первая задача будет состоять в том, чтобы выявить признаки, позволяющие судить о полной (абсолютной) надежности и о полной (абсолютной) строгости математического доказательства.
Философы-релятивисты будут отрицать законность самой постановки вопроса, настаивая на том, что идея абсолютности столь же мало приложима к математическому рассуждению, как и ко всякому другому. Математическая практика, однако, несомненно выделяет группу доказательств, которые вследствие своей простоты и обозримости никогда не вызывали никаких сомнений относительно своей завершенности и абсолютной значимости для теории. Это прежде всего все те доказательства, которые состоят в выводе простых следствий из аподиктически очевидных посылок на основании простых правил логики. Чистые аподиктические доказательства абсолютно надежны по той причине, что всякий контрпример к теореме был бы в этом случае опровержением аподиктически очевидной аксиомы или правила вывода. Однако такого рода опровержения, как мы выяснили выше, в принципе невозможны-. Доказательство теоремы о площади параллелограмма, о котором говорилось выше, основанное на самоочевидном преобразовании исходной фигуры, является аподиктически очевидным во всех своих шагах и, вследствие этого, абсолютно надежным. Всякое доказательство, редуцируемое к уровню аподиктической очевидности, должно быть признано абсолютно надежным.
Отрицать наличие абсолютно надежных связей в математике так же невозможно, как отрицать существование предмета, находящегося у нас перед глазами. Наша уверенность и в том, и в другом случае продиктована самыми общими условиями познания, определяющими саму его возможность, и потому она не может быть подвергнута сомнению. Это общее соображение, однако, не позволяет нам определить истинную сферу надежных рассуждений в математике. Для решения этой последней задачи мы должны уточнить сами критерии математической надежности и решить вопрос об их объективной значимости. Мы должны ответить на вопрос, с какой степенью надежности математическое сообщество может фиксировать надежность доказательства в конкретном случае. Иначе говоря, мы должны обосновать объективную значимость наших суждений о надежности и строгости доказательства.
