Абсолютная критериальность математического сообщества
В своем становлении доказательство проходит разные ступени. Первоначально оно может использовать интуитивные понятия, не являющиеся в достаточной степени определенными, а также скрытые эмпирические и индуктивные доводы и, таким образом, быть далеким от идеала непреложного, абсолютно надежного умозаключения. Иными словами, доказательство на первых стадиях своего становления может опираться как на аподиктические, так и на ассерторические очевидности, и пока это так, надежность доказательства остается проблематичной. Вопрос о надежности математического доказательства сводится к вопросу о том, обеспечивает ли естественная эволюция математической теории полное очищение своих доказательств от ассерторических элементов. Анализ логики развития математического знания дает утвердительный ответ на этот вопрос.
Истинность этого положения в достаточной степени подтверждается историей математики. Хотя новые доказательства могут корректироваться и даже опровергаться, они тем не менее никогда не корректируются до бесконечности. Для любого математического доказательства, как показывает опыт, наступает стадия окончательного признания, достигнув которой, оно может изменяться лишь в плане логического упрощения, обобщения или интерпретации результата, но не в плане сомнений относительно наличия теоремы, т. е. самого факта следования определенных выводов из определенной системы посылок. Опыт показывает, что любое математическое доказательство по истечении определенного времени либо устраняется критикой как ошибочное, либо достигает состояния завершенности, полной внутренней определенности, гарантирующей его надежность. Математическая практика не подтверждает факта постоянной корректировки теорем и уточнения их условий, что наблюдалось бы в случае бесконечности процесса его становления как надежного. Любая математическая теорема неизбежно стабилизируется, приобретая значение непреложного факта в рамках теории.
Возможность абсолютного освобождения математического рассуждения от ассерторических доводов обусловлена прежде всего особым статусом аподиктической очевидности в нашем сознании. Будучи деятельностным по своей природе, различение аподиктического и ассерторического является сущностным для нашего сознания, определяющим его саморефлексию. Сколь непреложно мы воспринимаем содержание аподиктической истины, столь же непреложно мы воспринимаем и сам факт ее аподиктичности. Иными словами, различие между ассерторической и аподиктической очевидностью дано нашему сознанию с аподиктической очевидностью. Это обстоятельство лежит в основе нашей способности отличать доказательство от цепочки умозаключений, имеющих только вероятный характер, и определяет эффективность механизма очищения математических рассуждений от допущений ассерторического порядка. Математик, конечно, может незаметно для самого себя использовать ассерторические допущения, но, как правило, в дальнейшем он обнаруживает свою ошибку. Субъективная убедительность доказательства, имеет, с этой точки зрения, вполне объективные основания: она состоит в уверенности, что каждый его шаг осуществлен в рамках аподиктической очевидности.
Несравненно более сильной и, как показывает практика, абсолютной критериальной способностью обладает сообщество математиков. Если доказательство признано как надежное не только автором, но и сообществом математиков, то практически это является полным обоснованием его абсолютной надежности. Абсолютная критериаль-ность математического сообщества проистекает из того обстоятельства, что всякая аподиктичность выступает для человеческого сознания как интерсубъективность, как нечто безусловно приемлемое всеми. Отдельный математик, вследствие определенных субъективных особенностей своего мышления, может достаточно долго не замечать некоторой неявной предпосылки в своих рассуждениях. Но если ошибка субъективна, то в высшей степени маловероятно, что она не будет замечена другими математиками, в противном случае надо было бы предположить, что в ней заключается некоторая интерсубъективность. Практически сообщество математиков доводит любое доказательство до полной ясности всех его шагов и либо включает его в класс абсолютно признанных истин, либо отвергает его. Имея в виду это обстоятельство, мы будем говорить, что сообщество математиков обладает абсолютной критериальностью в отношении надежности математического доказательства. Суть этого положения состоит в том, что не существует доказательств, относительно которых математическое сообщество не вынесло бы окончательного вердикта в исторически конечное время. Известно много примеров ошибочных доказательств, которые в течение некоторого времени признавались математиками в качестве истинных, но все такие ошибки, если теорема приобретала известность и вовлекалась в практику, обьЧчно раскрывались еще при жизни автора.
Тезис об абсолютной критериальности математического сообщества, как кажется, можно поставить под сомнение, исходя из тривиального вероятностного соображения, состоящего в том, что если отдельный математик по разным причинам не гарантирован от ошибок, то не гарантировано от них и сообщество математиков: хотя и с очень малой вероятностью, но оно может заблуждаться относительно любой истины и как угодно длительное время. Это рассуждение, однако, ошибочно. Оно не учитывает принципиальной конечности и системности математического рассуждения.
