Математическая теория начинается с фактов
Математическая теория, как и всякая другая, начинается с фактов, а именно, с очевидных высказываний относительно объектов и с установления простейших связей между ними и лишь постепенно продвигается к своим теоретическим основаниям, к выявлению системы принципов, которая обеспечивает систематическое развертывание теории в пределах известных ее результатов. Двигаясь по этому пути, мы, в конечном итоге, выявляем систему аксиом, адекватную содержанию теории.
Разделение принципов и фактов как различных уровней математической теории дает возможность говорить об истинности принципов в тношении фактов, о соответствии аксиом фактуальной основе теории. Истинность системы аксиом в этом смысле, в отличие от онтологической и семантической истинности, о которых шла речь выше, можно назвать фактуальной истинностью, поскольку в ее основе лежит общенаучное представление об истинности как о соответствии суждений некоторому данному содержанию. Такое понимание математической истины объединяет математику с эмпирическими науками и ставит проблему обоснования математических принципов на основе фактов.
Онтологическая истинность математических суждений, при всей своей важности для математики, сама по себе недостаточна для понимания статуса аксиом, поскольку самоочевидность — не универсальное свойство аксиом, а лишь особенность ряда первичных аксиоматик, наиболее тесно связанных с универсальной онтологией и логикой. Система аксиом математической теории, как нацеленная на объяснение ее содержания и производная от этого содержания, формируется, в общем случае, не на основе очевидности, а как полное логическое основание исторически сложившегося ядра теории. Формирование системы аксиом в этом смысле тождественно логике выявления физических принципов, и мы должны признать правильность того положения, что формирование логического основания математической теории происходит не в соответствии с евклидианской, а в соответствии с квазиэмпирической схемой.
Здесь, в этом пункте состоит главная трудность на пути всех программ строгого обоснования математики. С одной стороны, на уровне методологической интуиции мы понимаем, что математика — не физика и ее теории обоснованы некоторым более надежным образом, что они несравненно более стабильны и в некотором смысле внеисторич-ны. Но, с другой стороны, мы не видим разумных путей обоснования непротиворечивости аксиоматической системы, которая формируется без помощи какой-либо очевидности, в соответствии с квазиэмпирической схемой, и не может быть принята в качестве онтологически истинной. Самый легкий путь состоит в том, чтобы объявить, что математическая теория по характеру своих обосновывающих принципов в общем случае не отличается от эмпирической теории и не может рассчитывать на обоснование, отличающееся от обоснования эмпирической теории. Такова позиция современного эмпирицистского фал-либилизма в философии математики.
