Возможность абсолютной очистки доказательства от дефектов существенно связана с его конечностью. Математическое доказательство представляет собой конечную процедуру или, точнее говоря, деятельность в конечном поле возможностей. По содержанию своих понятий математическая теория может быть как конечной, так и бесконечной, т. е. как связанной с понятием бесконечности, так и не связанной с ним. Однако как процедура обоснования некоторого тезиса доказательство представляет собой всегда конечную цепь логических переходов. Всякое доказательство распадается на конечное число шагов, относительно каждого из которых мы можем поставить вопрос о его законности и решить его общезначимым образом через соотнесение со сферой аподиктической очевидности. Фундаментальным отличием математического доказательства от всех других типов рассуждения является его проверяемость через редукцию к аподиктической очевидности всех его шагов.
Математическое доказательство является не углублением содержания теории, не совершенствованием ее понятий, но скорее построением конструкции в пространстве готовых объектов, возможные действия с которыми однозначно заданы их определениями. Но такого рода комбинаторная деятельность в конечном пространстве объектов либо не достигает цели, либо получает абсолютное завершение. Рассмотрим в качестве примера процесс решения простой шахматной задачи. Пусть ситуация на доске такова, что белые начинают и дают мат в два хода, и пусть сообщество шахматистов признало, что это действительно так, и что мат для черных в данной ситуации неизбежен. Допускаем ли мы, что это заключение относительно- и что некий сверхгениальный шахматист найдет здесь выход из положения и спасет черных? Конечно, нет. И нетрудно понять, на чем базируется здесь наша уь ■ енность. Шахматная ситуация определена конечным числом фигур, каждая из которых может влиять на нее лишь конечным числом движений. Шахматист признает неизбежность мата, если он видит, что у него нет возможности сдвинуть короля в безопасное место, что ни одна из фигур не может прикрыть его от шаха или уничтожить нападающую фигуру. Для абсолютного решения вопроса здесь достаточно просмотреть конечное число вариантов защиты и если не один из них не может быть реализован, шахматист должен признать неизбежность мата и эта констатация является абсолютной, не подверженной корректировке при сохранении установленных правил шахматной игры.
Этот не совсем математический пример фиксирует сущностную черту математического доказательства и механизмов его проверки. Отдельный математик, конечно, может сделать техническую ошибку, либо допустить вывод, не являющийся общезначимым, но это исключено для сообщества в целом, по крайней мере ясно, что оно не может не обнаружить этой ошибки в процессе анализа доказательства. Математическое доказательство как деятельность в конечном поле аподиктически определенных комбинаций имеет абсолютный и с полной определенностью фиксируемый результат. Математические рассуждения отличаются от содержательных не тем, что они гарантированы от ошибок, а тем, что они неизбежно достигают полного освобождения от ошибок, т. е. состояния полной надежности.

В рубрике: Надежность математического доказательства