Система аксиом
Система аксиом в своем развитии приобретает также и другое важное качество, а именно, логическую необходимость или минимальность. Приобретая полноту, аксиоматика вместе с тем приобретает и свойство минимальности или необходимости. Обе эти тенденции связаны в том плане, что они обусловлены одними и теми же факторами совершенствования структуры математической теории: практическое использование аксиом в одинаковой степени стимулирует как раскрытие еще недостающих, так и устранение избыточных допущений, которые до определенного времени могут присутствовать в аксиоматике. Обе эти тенденции родственны и в том смысле, что они в конечном итоге достигают своей полной фастической реализации. Мы имеем основания думать, что аксиоматика, принятая научным сообществом как достаточная, является вместе с тем и свободной от внутренних излишеств, т. е. абсолютно необходимой или минимальной. Процесс минимизации аксиоматики также конечен и на определенном этапе развития теории мы строго доказываем необходимость каждой из аксиом для вывода теорем, составляющих признанное ядро теории. Система аксиом геометрии, первоначально предложенная Гильбертом, как известно, страдала рядом недостатков: она содержала лишнюю аксиому инцидентности, избыточные допущения относительно конгру-ентности и имела явно недостаточное определение непрерывности2. В настоящее время обнаружение такого рода дефектов в аксиоматике геометрии, конечно, исключено.
Свойство минимальности завершенной аксиоматики, конечно, также является эпистемологическим, ибо у нас в общем случае нет средств чисто логического обоснования того факта, что все аксиомы независимы и что ни одна из них не содержит аспекта, который можно было бы из нее исключить при более аккуратной формулировке всей системы. На практике, однако, минимальность признанных аксиоматик ни у кого не вызывает сомнений, ибо любой математик знает, что такого рода излишества в системе аксиом, если бы они действительно имели место, не могли бы не обнаружить себя в процессе простых доказательств.
Завершенная аксиоматика обладает некоторым свойством, которое можно назвать структурной конечностью. С логической точки зрения подавляющее число аксиоматик при точном понимании аксиомы \л при разделении аксиом и схем аксиом являются бесконечными, ибо наряду с аксиомами они содержат в себе также и схемы аксиом. При! содержательном понимании аксиоматики различение между аксиомой и схемой аксиом, однако, не является сколько-нибудь существенным, ибо под аксиоматикой мы понимаем здесь не систему формул в определенном логическом языке, а систему содержательных утверждений об элементарных объектах теории. Аксиома индукции с этой точки зрения является элементарным утверждением о некотором достаточно очевидном свойстве натурального ряда, которое имеет тот же статус, что и остальные его свойства. При содержательном понимании аксиом как осмысленных высказываний об элементарных объектах, определяющих их простые свойства и отношения, все системы аксиом безусловно конечны и в принципе не могут быть другими.
