Разница между решением шахматной задачи и математическим доказательством
Разница между решением шахматной задачи и математическим доказательством состоит лишь в том, что точные определения математических объектов, а иногда и допустимых правил действия не заданы с самого начала, а вырабатываются в самой «игре». Математическая игра в отличие от шахматной на некотором этапе может обходиться без точной кодификации правил действия с некоторыми фигурами (объектами), опираясь лишь на общее согласие играющих. Здесь могут возникать неясности и недоразумения, неявное использование доводов ассерторического порядка и т. п. Однако это различие не меняет сути дела, ибо созревание системы доказательств, относящихся к теории, неизбежно приводит к однозначному определению всех объектов на базе исходных понятий и к устранению всех недоразумений. Сторонники релятивистской концепции доказательства могли бы защитить свой тезис о вечной незавершенности доказательства, если бы они могли показать, что в математическом доказательстве могут существовать шаги, не допускающие редукции к первичным, аподиктически определенным переходам.
Доказательство математической теоремы по своей сути является деятельностью с идеальными предметами, которая, как и деятельность с реальными предметами, имеет категорический характер в плане результата. Трехлетний ребенок уверенно строит пирамиду из кружочков, накладывая их один на другой по величине. Его знания о мире еще незначительны, ему предстоит длинный путь углубления своих представлений о мире, но то, что он сделал сейчас, является абсолютным: расположить кружочки по величине более совершенным образом не удастся более ни ему и никому другому. Комбинация в конечном множестве объектов, удовлетворяющая заданному свойству, достигнута и сам вопрос о ее относительности является абсурдным. Можно, конечно, возразить следующим образом: «Расположение кружочков по величине окончательно, если принять неизменными (абсолютно стабильными) представления о большем и меньшем, которыми ребенок руководствовался. Но могут измениться и эти представления». Это возражение, несмотря на всю его гипотетичность, можно принять. Тогда мы будем говорить о предельной завершенности конечной комбинации, т. е. о такой завершенности, которая не может быть поставлена под сомнение в рамках существующей категориальной сетки. Представляется, однако, что различие между предельным и абролютным в данном случае не имеет практического смысла.
Математическое доказательство — не мышление в собственном смысле слова, характеризующееся бесконечным приближением теории к объекту, а построение комбинации в конечном множестве объектов, имеющих определенные свойства. Завершенность такой комбинации является предельно общезначимой, поскольку и ее свойства и каждый шаг ее построения фиксируются с аподиктической очевидностью.
Гносеологическая особенность рассматриваемой ситуации состоит в том, что мы наблюдаем здесь возможность непосредственного перехода от субъективного и только вероятного мнения отдельных индивидов к абсолютному мнению математического сообщества, утверждающего факт полной надежности доказательства, невозможности его опровержения. Здесь, однако, нет ничего незаконного, противоречащего теории вероятностей, ибо мнение математического сообщества относится к анализу конечной конструкции на базе предельно достоверного разделения аподиктических и ассерторических очевид-ностей. Математическое доказательство представляет собой конечную конструкцию в сфере аподиктически очевидного. Все отклонения от абсолютности на этом уровне являются случайными и устраняемыми в конечное время.
