Математическая теория признается математическим сообществом в качестве существующей прежде всего как система наличных доказательств, т. е. как система переходов от одних утверждений к другим, удовлетворяющая требованию аподиктической очевидности. Математическая теория начинается с теорем как непреложных внутренних связей между объектами. Признание теорем ведет к выявлению принципов, которые имеют своей целью объединить эти теоремы на едином и минимальном логическом основании.
Историческое становление математической теории может быть представлено как взаимовлияние и взаимокорректировка этих двух уровней математической теории. Трудности в формулировке аксиом являются следствием неопределенности и противоречивости определений в теле теории и устранение этих противоречий является необходимым условием становления адекватной аксиоматики. Первые попытки установления принципов дифференциального исчисления выявили, что в основе принятых алгоритмов этого исчисления лежит допущение А + а = А, где величина а является отличной от нуля. Поскольку этот принцип противоречил представлениям о математической строгости, принятым в элементарной математике, то постепенно было выработано новое основание математического анализа, базирующееся на понятии предела и позволяющееся избавиться от такого рода сомнительных допущений. Последовательное развертывание и приложение анализа, основывающееся на понятии предела, выявило, в свою очередь, недостатки в обосновании теорем, признанных ранее доказанными.

В рубрике: Системное обоснование математики