Движение аксиоматики к полноте и завершенност
Движение аксиоматики к полноте и завершенности — это постоянная проверка теорем через аксиомы (уточнение истинного содержания теории и определенности производных понятий) и проверка аксиом через теоремы, (установление завершенности и совместности системы аксиом). Система аксиом, которая в начале своего формирования могла содержать в себе некоторые некорректности, неизбежно освобождается от них в процессе своего приложения к системе производных объектов. Здесь необходимо принять во внимание также и тот факт, что любая математическая теория развивается во взаимодействии с другими теориями и, таким образом, в процессе постоянной переинтерпретации своих утверждений в понятиях других теорий. Вновь появившаяся теория может содержать некорректности в определении своих основных понятий, которые устраняются в ее соприкосновении с другими системами понятий. Эйлер, как известно, считал возможным определить операцию умножения мнимых чисел таким образом, что (ai)(6i) = +ab. Большинство математиков не согласилось с этим, но спор был однозначно разрешен только после установления геометрической интерпретации комплексных чисел6. Огромное число примеров свидетельствует о том, что историческое взаимодействие математических теорий является мощным фактором логической гармонизации математического знания и установления окончательной системы исходных определений в каждой из них.
В общем плане это обычная диалектика уровней и структур, которая имеет место в любой теоретической системе. Ее особенность в математике состоит в том, что она обеспечивает здесь окончательное (абсолютное) обоснование исходной системы принципов. Здесь, очевидно, работает тот же механизм достижения абсолюта в конечном пространстве возможностей, о котором мы говорили при анализе надежности доказательства. Мы можем утверждать, что завершенная аксиоматика есть одновременно и абсолютно непротиворечивая аксиоматика вследствие объективной логики своего становления.
Скептик может отвергать законность этой идеи, указывая на то обстоятельство, что проверка математической теории на непротиворечивость посредством ее приложений всегда имеет относительный характер. Он может сказать, что она относится чаще всего только к некоторому фрагменту теории и что она происходит через ссылку к теории, непротиворечивость которой является проблематичной. Это возражение, однако, является истинным лишь по видимости. В действительности, мы имеем здесь ситуацию, совершенно аналогичную ситуации, связанной с установлением надежности доказательств. Как и в случае с доказательством, мы вправе предполагать здесь, что конечное число частичных проверок обеспечивает абсолютный результат: сформулированная система аксиом либо отбрасывается как противоречивая, либо принимается как стабильная и абсолютно корректная. Эти ситуации подобны в том, что как в той, так и в другой мы имеем дело в сущности с поиском необходимого варианта в конечном пространстве возможностей. Мы знаем, что такие ситуации, будучи неразрешимыми теоретически (алгоритмически), с полной определенностью разрешаются практически. Коррекция оснований математической теории происходит в конечное время, и мы фиксируем ее завершение по факту стабилизации аксиоматики, по отсутствию существенно иных вариантов, характерных для этапа ее становления. Факт стабилизации системы аксиом имеет общезначимый характер и может рассматриваться в качестве достаточного признака ее непротиворечивости.
