Завершенность математического понятия
Завершенность математического понятия может быть обоснована также исходя из его конечной определимости. Математическое понятие, доказавшее свою эффективность, имеет неустранимое, логически оправданное содержание и не может иметь бесконечного количества дефектов. Но это значит, что необходимо конечное число познавательных контекстов, конечное число задач, решаемых с использованием этого понятия, для того, чтобы выявить эти дефекты и подойти к его адекватному определению в рамках данной теории.
Назовем общим (глобальным) обоснованием понятия его введение в теорию на основе признанных аксиом. Будем называть понятие локально обоснованным, если оно принято только на основе своей эффективности. Достаточно ясно, что в развитии математической теории локальное обоснование предшествует глобальному и само по себе может быть достаточным в смысле строгости. Понятия арифметики, евклидовой геометрии, теории вероятностей и т. п., разумеется, были строгими и до аксиоматизации этих теорий. Мы имеем основания утверждать, что возможно абсолютное логическое обоснование понятия исключительно на основе его использования. Такого рода локальное и абсолютное обоснование реализуется через взаимодействие данного понятия со смежными понятиями в процессе решения конкретных задач и не зависит от уровня логической систематизации теории в целом.
В качестве примера, иллюстрирующего движение понятия к полной корректности своих внутренних определений, можно рассмотреть развитие понятия дисЬференциала в XVIII веке. Первоначальное его понимание, как уже сказано выше (это относится как к трактовке Лейбница, так и к трактовке Ньютона), было мало приемлемым с точки зрения строгости. Не было, во-первых, однозначного решения вопроса о том, следует ли понимать эту величину большей нуля или равной нулю. Лейбниц склонялся к первому пониманию, в то время как Эйлер и некоторые другие математики развивали представление о дифференциале как о величине, равной нулю. Длительное время дифференциал отождествлялся с приращением функции, что привносило неясность и заведомую нестрогость в операции с этой величиной. Не было адекватного определения предела и непрерывности, что закрывало путь к полному теоретическому обоснованию понятия дифференциала и алгоритмов дифференциального исчисления вообще. Однако решение новых теоретических проблем и прикладных задач вело постепенно, но неизбежно к устранению всех этих неясностей. Лангранж провел строгое различение приращения функции и дифференциала как главного приращения. Даламбер, следуя Ньютону и Эйлеру, сделал ясным для математиков то обстоятельство, что при вычислении дифференциала мы имеем дело просто с предельным переходом и с отношением функций, которое может стремиться к любому числу при исчезающе малых приращениях этих функций. Стало ясно, что для строгого понимания дифференциала и алгоритма его вычисления следует уточнить интуитивное понятие предела и обосновать корректные правила обращения с этим понятием. Даламбер уже написал основные концептуальные равенства типа lim(a + b) = lima + lim6, но само понятие предела оставалось неопределенным, понимаемым на уровне интуитивной ясности. Коши завершил это прояснение основных понятий анализа посредством формальной экспликации понятия предела, которое давало возможность доказывать его существование и в тех случаях, в которых это не подтверждалось непосредственной интуицией. Мы можем сказать, что через полтора века после своего появления понятие дифференциала приобрело, наконец, строгое определение, не поддающееся какой-либо дальнейшей корректировке, изменяющей его смысл.
