Кристаллическое образование в мире понятийных систем
Математическая теория —- это кристаллическое образование в мире понятийных систем. Развитие математической теории имеет своим неизбежным результатом образование центрального ядра теории, которое является законченным и неразрушимым. Зрелая математическая теория родственна кристаллу по внутренней жесткости своих связей. Парменид утверждал, что мир неподвижен по той причине, что все места в нем заняты. Зрелая математическая Теория, как и сформировавшийся кристалл, не может изменять своих внутренних связей: в отношении своих основных понятий она абсолютно правильна и абсолютно закончена. Причем математическая теория в отличие от реального кристалла обладает безусловной (идеальной) законченностью. В кристалле как физическом объекте могут навсегда остаться некоторые погрешности структуры, не скорретированные в процессе становления. В математической теории это исключено, поскольку каждое поколение математиков строит этот кристалл заново, проверяя работу предшественников. Как и при проверке доказательств, математическое сообщество обладает здесь конечной во времени и абсолютной критериальностью.
Ясно, что формирование окончательной структуры математической теории определено наличием относящихся к ней завершенных доказательств. Центр математической теории приобретает неразрушимость вследствие того, что система составляющих его логических связей приобретает статус завершенных и не подлежащих корректировке. Его корректировка становится невозможной, вследствие того, что она потребовала бы отказа от теорем, обладающих завершенностью и полной надежностью. Достигая зрелости своих доказательств, теория одновременно приобретает и ту окончательную структуру, которая не подлежит изменению.
Сказанное означает, что математическая и эмпирическая теории существенно различаются в общей схеме своего исторического развития. В математической теории понятия неизбежно достигают уровня полной корректности, в эмпирической теории этого не происходит, в математической теории достигается полная стабилизация внутренних дедуктивных связей, эмпирическая теория в общем случае не имеет такого предела. Если рост эмпирической теории подобен росту города, при котором застройка периферии ведет к постоянной перестройке центра, то рост математической теории должен быть уподоблен росту кристалла, который характеризуется расширением центра, не подверженного более какими-либо радикальными изменениями. Это две различные схемы роста, соответствующие различным типам знания. Математические теории переживают стадию установления основ, но они не переживают революций, отвергающих эти основы.
Эмпирическая философия математики всегда пыталась подтянуть развитие математики к некоторой общенаучной схеме, позволяющей настаивать на относительности всех, даже наиболее обоснованных математических утверждений. Ясно, что этот замысел нереализуем. Развитие математической теории определено конечной и полной стабилизацией понятий, которая не имеет места в системе эмпирического знания.
