Вторичность строгости
В отличие от надежности, которая относится к интуитивной основе доказательства, -строгость характеризует доказательство с его формальной, лингвистической стороны, сточки зрения корректности определений и полноты явно выраженных посылок. Это другая сторона доказательства, имеющая свои особенности.
Мы должны разделить два существенно различных подхода к пониманию окончательной строгости. Если речь идет об окончательной строгости как об отсутствии скрытых допущений в конкретном доказательном рассуждении, то полная строгость в этом смысле безусловно достижима. Аксиоматическое изложение теории полностью решает эту задачу. Если же мы ставим вопрос о достижении окончательной строгости в общем плане, в смысле выявления критериев, гарантирующих строгость доказательства в любом конкретном случае, то мы должны признать, что эта задача неразрешима. В отличие от критерия надежности математического доказательства, который во всех случаях сводится к аподиктической очевидности его шагов, универсального критерия строгости, значимого для всех доказательств, не существует.
Сторонники фаллибилистской философии математики исходят из этого последнего положения, выводя отсюда недостижимость полной строгости и в первом смысле, а также и недостижимость его полной надежности. Этот ход мысли является центральным в концепции доказательства И. Лакатоса. Неизбежность появление новых критериев строгости, соответствующих новой системе объектов, рассматривается Лакатосом как углубление анализа доказательства, способное дезавуировать любое из признанных доказательств. Этот ход мысли выглядит достаточно правдоподобным, поскольку он соответствует положению дел в опытных науках. Появление новых принципов в физике приводит, как правило, к корректировке старых в смысле их опровержения или ограничения сферы их действия. Однако эта схема взаимодействия принципов непригодна для математики.
Область объектов математики от самых простых до самых сложных может быть представлена в виде системы расширяющихся кругов, каждый из которых имеет качественные особенности, не встречающиеся у предыдущих групп объектов. Переходя к новому кругу объектов, мы можем встретиться с противоречиями и вынуждены будем наложить ограничения на логику выводов, в которых раньше не было необходимости. Так, математики XVIII века, оперируя с бесконечными рядами по правилам обыкновенной алгебры, пришли к множеству противоречий, которые они не смогли преодолеть, пока Коши не указал на необходимость теорем существования. В начале XX века оперирование с логическими функциями высших порядков привело к парадоксам и к необходимости наложения ограничений на область определения таких функций. Эти ограничения были сформулированы в виде известных запретов в теории типов и в аксиоматической теории множеств. Мы должны, таким образом, признать, что система критериев строгости исторически обогащается, и что мы не можем претендовать на установление полной системы такого рода критериев, которая не обнаружила бы в дальнейшем своей недостаточности. Это следует из того, что мы не можем заранее описать особенностей всех типов объектов, которыми предстоит заниматься математике в будущем.
