Цель обосновательных рассуждений
Целью обосновательных рассуждений, в конце концов, является обоснование надежности содержательных математических теорий. Несомненно, что там, где достигается строгое логическое (метатеоре-тическое) обоснование непротиворечивости формализованного исчисления, оно может считаться полным обоснованием соответствующей содержательной теории, гарантирующим отсутствие противоречий в ее основных утверждениях. Логика обоснования заключается здесь в переходе от непротиворечивости формальной модели к непротиворечивости содержательного аксиоматического представления теории. Суть системного подхода состоит в том, что он нацелен непосредственно на обоснование непротиворечивости содержательных аксиоматических систем. Мы выводим здесь факт непротиворечивости теорий из анализа логики их развития и стремимся сформулировать признаки ее логической надежности без обращения к свойствам формализованной модели теории.
Если приведенные соображения верны, то нужно признать, что все основные теории современной математики вне зависимости от возможностей их логического анализа являются существенно непротиворечивыми и абсолютно непротиворечивыми в рамках их систематического аксиоматического представления. Это относится в данном случае не только к центральным теориям математики, таким, как арифметика, геометрия и алгебра, но и к таким теориям, как теория вероятностей, топология и теория множеств, в ее признанных аксиоматических представлениях.
Выше были приведены аргументы за непротиворечивость теории множеств, опирающиеся на онтологическую значимость ее основных аксиом. Системный анализ дает нам более убедительный подход к решению этой проблемы, опирающийся на факт стабильности ее аксиом. Теория множеств (это относится по крайней мере к наиболее употребительным и практически используемым ее представлениям) является, с системной точки зрения, не менее надежной, чем всякая другая теория современной математики, имеющая признанную аксиоматику.
Вся история развития теории множеств связана с сомнениями в ее корректности. В начале XX века, после того как Цермело представил первый вариант аксиоматического представления теории множеств (1908), Пуанкаре писал: «Автор думал избежать наиболее существенных парадоксов, запретив себе всякие спекуляции за пределами полностью замкнутого Menge; он думал избежать парадокса Ришара, не ставя никаких вопросов, кроме дефинитных, что по тому смыслу, который он вкладывает в это выражение, исключает всякое рассмотрение объектов, которые могут быть определены конечным числом слов. Но если он хорошо запер свою овчарню, то я не убежден, что он не запер туда и волка»14. Та же мысль звучит и в высказывании Г. Вейля, которое было сделано через четыре десятилетия: «...У нас нет гарантий непротиворечивости Z, — пишет Вейль, — за исключением того эмпирического факта, что до сих пор из нее не выведено никаких противоречий»15. Утверждения того же типа мы находим и в современных книгах по математической логике. Общий смысл их состоит в том, что хотя в рамках признанных аксиоматик теории множеств не выведено никаких противоречий, у нас нет полной гарантии, что это не произойдет в будущем.
