Системное рассмотрение исключает возможность критики математической теории
Системное рассмотрение исключает возможность критики математической теории на зрелой стадии ее существования, направленной на опровержение или корректировку ее исходных принципов. Примером такого рода несомненно ошибочной критики является появившаяся недавно целая серия выступлений, нацеленная на опровержение канторовской теоремы о мощности множества всех подмножеств и связанной с ним канторовской диагональной процедуры. Авторы ставят своей задачей показать, что при доказательстве этой теоремы Кантор допустил логическую некорректность, использовав только одну (внутреннюю) интерпретацию логического отрицания и оставив в стороне другую (внешнюю) его интерпретацию, позволяющую прийти к иному выводу18. Не нужно вдаваться в разбор логических аргументов, чтобы понять несовместимость этого вывода с логикой системной детерминации математических понятий. Понятие несчетного множества нельзя устранить из теории множеств уже потому, что оно там существует и эффективно функционирует в течение длительного времени. Если понятие входит в центр теории и утверждается в этом центре в качестве действующего и необходимого для доказательства теорем, то этот факт является абсолютным обоснованием его логической корректности. Если бы доказательство указанной теоремы Кантора по каким-то причинам не было бы возможным вообще, а понятие несчетного множества было введено посредством аксиомы, то факт сосуществования всего комплекса понятий теории множеств в течение длительного времени уже доказывал бы безусловную корректность этого понятия и непротиворечивость теории множеств в целом. При оценке логической надежности математических теорий мы должны мыслить в соответствии с принципом Гегеля, согласно которому все действительное разумно. Теория, существующая длительное время и связанная со всеми теориями современной математики, не может содержать в себе существенных противоречий и не имеет шансов быть опровергнутой в своих исходных понятиях и принципах19.
Можно сравнить проблему обоснования математики с проблемой построения максимально устойчивой кирпичной башни. Первая стратегия могла бы состоять здесь в том, чтобы установить идеально горизонтальное основание башни и возводить ее слой за слоем, внимательно следя за геометрической формой каждого кирпича и за идеальной равномерностью слоя цементного раствора, скрепляющего эти слои. Это трудная стратегия, но, в принципе, она может обеспечить вертикальность башни до достаточно приличной ее высоты. Другая, более реальная стратегия состоит в том, чтобы заботясь насколько это возможно о горизонтальности фундамента и о форме кирпичей, одновременно корректировать процесс сооружения посредством наблюдения со стороны. Работа математиков начала XX века по обоснованию математических теорий очень сильно совпадает с первой стратегией: они были заняты преимущественно обсуждением аксиом и определений, они хотели найти идеальные формы, которые будучи положены в основание теории безусловно обеспечили бы ее логическое совершенство. Суть системного анализа состоит в том, чтобы обратить внимание на необходимость внешних критериев. Признавая важность логического анализа правил введения новых понятий, мы должны понимать, что наша основная борьба с парадоксами состоит не в усилении системы этих предохраняющих правил (эта система скорее всего бесконечна), а в выявлении сферы математического мышления, заведомо свободного от парадоксов на основе внешних (качественных) признаков, демонстрирующих системную зрелость теории.
Мы должны согласиться со скептиками в том, что противоречия неустранимы из содержательных математических теорий и что не существует никакого набора логических предосторожностей, гарантирующих непротиворечивость математических рассуждений. Анализ логики развития математической теории, однако, позволяет нам настаивать на существенной непротиворечивости всякой достаточно зрелой математической теории и на абсолютной непротиворечивости всей системы выводов, охватываемых стабильными аксиоматиками. Это последнее обстоятельство позволяет считать, что положение о строгости математики и о возможности ее абсолютного обоснования сохраняют смысл, несмотря на отсутствие логических критериев непротиворечивости для большинства математических теорий.
Основной недостаток философии математики XX века состоял в том, что при рассмотрении проблемы обоснования она не вышла за рамки логических представлений и заключения, достигнутые в этой узкой сфере, возвела в окончательное решение проблемы. Вместо того, чтобы понять естественную ограниченность логического анализа и посмотреть на те обстоятельства, которые остаются за его пределами, философы в своем большинстве занялись методологической интерпретацией логических теорем, превратив их в некоторую релятивистскую метафизику, отрицающую достоверность и надежность математического мышления. Между тем сам тот факт, что все противоречия, до сих пор появившиеся в математике, были чисто внешними и никогда не ниспровергали признанных теорий, говорит о наличии внутренних механизмов гармонизации математического мышления, не описываемых в рамках логики. Ясно, что проблема обоснования математики не может быть решена без учета этих механизмов.
Системный взгляд на развитие математики приводит нас к философии математики, которая восстанавливает понимание математики как строгой науки. Методологическая иррациональность математики, состоящая в отсутствии алгоритмов устранения парадоксов и универсальных методов логического обоснования математических теорий, не противоречит с этой точки зрения идее абсолютной надежности признанных математических теорий. Ограниченность логических подходов к обоснованию математики рассматривается с этой точки зрения как только неадекватность этих подходов, но не как свидетельство ненадежности или неопределенности математического мышления.
