Надежность содержательного рассуждения
Основная проблема, с которой мы здесь сталкиваемся, это проблема надежности содержательных рассуждений. Мы нуждаемся не просто в построении некоторого рассуждения, которое приводило бы нас к тезису о непротиворечивости, к примеру, аксиоматизированной теории множеств, но мы нуждаемся в таком рассуждении, в котором усматривалась бы гарантия того, что противоречия фактически не могут появиться в теориях, удовлетворяющим нашим критериям. Философское обсуждение проблемы непротиворечивости, претендующее на установление строгих критериев, представляется в этом отношении некоторым противоречием, проистекающим из статуса содержательного рассуждения как заведомо нестрогого. Многие согласятся с тем, что системные соображения полезны для того, чтобы убедиться в том, что глубокие противоречия в развитой математической теории — вещь маловероятная, но они будут возражать против того, чтобы считать их доказательством непротиворечивости в полном смысле этого слова и абсолютной гарантией теории от появления противоречий применительно к конкретной теории. Мы нуждаемся, таким образом, в прояснении степени достоверности содержательных доводов, основанных на рассмотрении эволюции математических теорий.
Мы выяснили, что законы логики находятся в одинаковом отношении ко всем сферам рассуждения и выводы юриста или философа в этом отношении не являются менее строгими, чем выводы математика. Умозаключение «Все люди смертны, Сократ — человек, следовательно, Сократ смертен» содержит в точности ту же логическую необходимость, что и умозаключение: «Все прямоугольники имеют две диагонали, квадрат — прямоугольник, следовательно, квадрат имеет две диагонали». Строгость математики проистекает не из строгости логики, а из точности определений, которая не имеет места за пределами математики. Определенность, с которой мы отделяем прямоугольник от фигур, не относящихся к классу прямоугольников, заведомо выше определенности, которая присутствует в отделении человека от существ, не являющихся человеком.
Это значит, что обосновательное рассуждение есть обоснование с точностью до истинности и определенности, заключенной в посылках. Надо признать, что традиционные программы были неуязвимыми в этом отношении. Логицисты исходили из надежности принципов логики, интуиционистское обоснование покоится на бесспорной истинности отношений натурального ряда, формалисты апеллировали к безупречности выводов элементарной математики. Все эти основания действительно обладают полной надежностью и этот факт может быть обоснован эпистемологически. Основная проблема системного анализа состоит в том, что содержательные допущения, относящиеся к развитию математической теории, как кажется, не могут быть поставлены рядом с твердыми посылками классических программ.
Эти сомнения, однако, неправомерны, они основаны на неявном предположении, что всякое содержательное рассуждение включает в себя индуктивный и эмпирический компонент и, по этой причине, не может обладать полной надежностью. В действительности это не так. Нетрудно видеть, что в рассуждениях о непротиворечивости, проведенных выше, задействованы только два типа суждений: логические и праксеологические. Когда мы утверждаем достаточность системы аксиом для известного круга теорем или указываем на тот факт, что аксиомы в математической теории выводимы из теорем на основе правила modus tollens, то мы указываем на факты логического порядка, с которыми согласится и математик, рассуждающий на уровне гильбертов-ского метаязыка. Однако когда мы утверждаем, что содержательное доказательство на определенном этапе совершенствования достигает полной надежности, что структура логических связей в теории стремится к однозначной определенности и фактически достигает ее или что стабильная аксиоматика неизбежно является и минимальной, то мы высказываем нечто такое, что не может быть отнесено к логике или к признанной метаматематике, фиксирующей непосредственно проверяемые свойства языка. Факт надежности доказательства (даже формализованного) логически доказать нельзя. Здесь мы имеем дело с констатацией праксеологической достоверности, которая в последнем счете опирается на предположение об абсолютной критериальности социума в ситуациях конечного комбинаторного поиска. Мы не можем логически доказать, что стабильная аксиоматика минимальна, но мы знаем, что это так, поскольку не допускаем, что избыточность посылок в элементарных допущениях не была бы замечена и устранена кем-то из математиков. Иными словами, мы допускаем безусловную практическую разрешимость некоторых простых проблем при отсутствии их достаточных логических аргументов на этот счет. Здесь мы, таким образом, имеем дело с достоверностями внелогического порядка. Наша задача состояла в том, чтобы показать, что это не эмпирические, не психологические и не социокультурные достоверности и что они не менее надежны, чем сами математические теоремы.
Наряду с метаязыком, который описывает структуру формализованной теории, мы должны говорить об эпиязыке, который описывает необходимые принципы, относящиеся к содержательной математической теории. К числу таких принципов мы можем отнести обоснованные выше утверждения о том, что математическое суждение не опровергается в опыте, что математическое понятие обладает конечной определимостью, что математические доказательства неизбежно достигают полной строгости, что математическая теория в процессе своего развития приобретает окончательную структуру и т. п. Так как эти утверждения связаны с сущностью математической теории, они обладают полной надежностью и, вследствие этого, они могут выступать в качестве основы для эпистемологических выводов, обладающих абсолютной значимостью. Наряду с понятием строгого метаязыкового рассуждения мы вправе говорить о строгом эпиязыковом рассуждении, которое наряду с фактологическими и собственно логическими суждениями использует также и суждения праксеологические, обладающие предельной достоверностью. Рассуждения, опирающиеся на логические и праксеологические посылки, в действительности, являются не менее надежными, чем математические и метаматематические рассуждения, основанные на аподиктической очевидности. Эффективность эпиязыка обусловлена тем, что он содержит в себе систему неиндуктивных утверждений, достаточную для обоснования критериев непротиворечивости для содержательной математической теории.
