Релятивистский тезис
Релятивистский тезис относительно строгости доказательства исходит из допущения, что новые, более жесткие критерии строгости могут, в принципе, перевести в класс нестрогих любое доказательство, которое принималось до этого как безусловно строгое. Это допущение, однако, несостоятельно: оно покоится на ложном понимании субординации между строгостью и надежностью в математическом рассуждении.
Как мы уже выяснили, абсолютно надежное доказательство, проведенное на уровне аподиктической очевидности, может быть нестрогим, нуждающимся в более точном выражении своих предпосылок. Доказательство является надежным (завершенным), если все его неявные посылки относятся к сфере аподиктической очевидности. В этом случае контрпример невозможен, хотя доказательство может не обладать полной строгостью. Строгость — это лингвистическая характеристика доказательства, качество терминологической оболочки, санкционирующее надежность доказательства. Но надежность как таковая должна существовать уже до этой санкции как качество, выработанное на уровне содержания.
Можно сформулировать принцип, утверждающий логическую первичность надежности перед строгостью, состоящий в том, что доказательство, признанное надежным, не может быть отвергнуто с точки зрения каких-либо критериев строгости. Надежность является первичной характеристикой доказательства в том смысле, что надежно доказанная теорема есть факт, с которым должны считаться все критерии строгости, в том числе и те, которые будут введены в будущем. Наглядное рассуждение, сводящее площадь параллелограмма к площади прямоугольника, не строго, но мы отвергли бы любые критерии строгости, которые поставили бы его под сомнение. Надежное доказательство является в принципе строгим в том смысле, что оно будет неизбежно подтверждено в любом более строгом варианте теории.
Переходя к более широкому кругу объектов, мы уточняем критерии строгого рассуждения, прибавляя новые критерии, которые не учитывались раньше. Однако эти новые критерии, будучи необходимыми в новой области объектов, не затрагивают старых объектов, а точнее, они являются всегда тривиально выполнимыми по отношению к ним. Доказательства существования, введенные Коши, были важными для наведения, порядка в анализе, но они ничего не изменили в геометрии и алгебре, поскольку в этих областях существование объектов доказывается самим способом их введения, а именно аподиктически очевидной конструкцией в конечном множестве простых объектов. Можно сказать поэтому, что вновь вводимые критерии строгости не имеют обратной силы: они реально значимы лишь для новых областей и всегда вводятся лишь при условии сохранения всех доказательств, признанных надежными.
Отсюда и необычная с точки зрения методологии опытных наук ситуация: не имея полной системы критериев строгости, мы имеем несомненную возможность говорить о полной строгости относительно конкретных математических доказательств и теорий. Появление новых критериев строгости может привести к более точному определению понятий, лежащих в основе доказательства, но оно не может отвергнуть признанное доказательство по существу, в смысле следования определенных выводов из определенных посылок. Строгость анализа доказательства определяется полностью особенностями данной теории, и она абсолютна в том смысле, что не может измениться с появлением новых критериев в новых областях математики. Можно сказать, что математическая строгость определяется локальным и, вследствие этого, абсолютным образом. Доказательство, строгое в рамках арифметической теории, будет всегда оставаться таковым, какие бы новые критерии строгости не появились в будущем.
