Математические объекты реальны
Математические объекты реальны также и в том смысле, что в отличие от чистых фикций они обладают обязательной интерпретацией в мире опыта. Как уже было сказано, человеческое познание и сама человеческая деятельность были бы невозможными, если бы эмпирическая реальность радикально расходилась с представлениями, выраженными в онтологии. Мы не можем утверждать в качестве абсолютно истинного суждения, что все явления имеют причину, но само наше существование говорит о том, что достаточное количество явлений подчиняется этому правилу и что категориальные представления, связанные с причинностью, всегда интерпретируемы в мире опыта. Не все реальные совокупности объектов могут быть подведены под понятие числа или под понятие множества, но само наше существование и процесс деятельности доказывают наличие объектов в эмпирическом мире, которые с достаточной точностью воспроизводят основные свойства этих идеальных образов.
Праксеологический априоризм, таким образом, отличается от традиционного тем, что он является одновременно и реализмом. Связывая исходные математические идеализации с универсальной онтологией, праксеологический априоризм оправдывает традиционную веру математиков в реальную значимость математических объектов и теорий. От кантовского априоризма с его абсолютной имманентностью форм мышления мы должны возвратиться к априоризму Лейбница, для которого универсальные принципы мышления выступают одновременно и в качестве основополагающих характеристик реальности. Ясно, что такого рода реализм относится только к генетически исходной группе математических понятий, имеющих онтологическую значимость. К внутренним объектам теории, полученным на основе конструкции, применение понятий априорности и реальности не имеет смысла.
Сказанное позволяет понять рациональный смысл известных высказываний К. Гёделя о реальном статусе математических объектов.
Гёдель, как известно, настаивал на том, что математика имеет дело со специфическими математическими объектами, существующими во внечувственном мире, до и независимо от математических теории"5'. Он допускал также, что наряду со способностью к чувственному восприятию человек обладает способностью внечувственного восприятия, обеспечивающего ему доступ в мир математических объектов. «Несмотря на свою несхожесть с чувственным восприятием, — писал Гёдель, — мы имеем нечто подобное ему также и для объектов теории множеств, что усматривается в том факте, что аксиомы теории множеств навязаны нам как несомненно истинные»28.
С онтологической точки зрения идея Гёделя о реальном статусе математических объектов может быть понята как указание на предметную онтологию, существующую независимо от математики и определяющую структуру исходных математических понятий. Поскольку предметная онтология является выражением структуры мира, выявляемой деятельностью, то исходные математические идеализации следует считать обусловленными реальностью в той же мере, что и законы физики. Идея Гёделя об аналоге восприятия, раскрывающего мир математических объектов, также имеет смысл. Из самого факта онтологического видения мира следует, что наряду с чувственным восприятием предметов человеческое сознание опирается также и на внечувственное видение мысленных объектов типа пространства, времени, материальной точки и прямой линии. Мы должны признать факт интеллектуальной интуиции, навязывающей нам законы идеальной предметности. Законченный ряд натуральных чисел недопустим эмпирически, но необходим с точки зрения интеллектуальной интуиции. Гёдель безусловно прав в том, что исходные очевидности математики — это не очевидности опыта и не продукт систематизации опыта. Математические предметы могут рассматриваться только как акты мысленного конструирования в рамках фундаментальных очевидностей сознания.
