Математическое доказательство
Вопрос о том, может ли математическое доказательство достигнуть уровня полной строгости или завершенности, сводится теперь к вопросу, можем ли мы на какой-либо стадии анализа доказательства гарантировать отсутствие в доказательстве логических (глобальных, но не локальных) контрпримеров. Ответ Лакатоса состоит в том, что этот идеал в подавляющем числе случаев объективно недостижим. Даже в тех случаях, в которых мы можем предполагать законченность доказательства, мы в принципе не можем выработать исчерпывающих аргументов, обосновывающих этот факт. Наша уверенность здесь при всей ее субъективной ясности обречена на то, чтобы оставаться иррациональной.
Для двух первых способов уточнения доказательства этот вывод Лакатоса представляется достаточно убедительным. Метод устранения монстров и метод устранения исключений основаны на том, чтобы посредством конечного числа признаков исключить, в принципе, бесконечное многообразие объектов, не удовлетворяющих теореме. Нет никаких гарантий того, что эта задача является выполнимой для всех классов объектов. Во всяком случае ясно, что двигаясь таким образом по линии, так сказать, исчерпывания отрицательной бесконечности, мы не имеем возможности зафиксировать момент завершения процесса, даже если бы этот момент фактически оказался достигнутым.
Лакатос считает, что и метод анализа доказательства, будучи наиболее эффективным с точки зрения устранения контрпримеров, также не гарантирует полного успеха в уточнении: доказательства. Тривиальные леммы, к которым сводится рассуждение в этом случае, по мнению Лакатоса, также не обладают полной надежностью. История математики, говорит Лакатос, постоянно демонстрирует нам, что тривиально истинные леммы могут превратиться в тривиально ложные и что леммы, опущенные в доказательствах вследствие их полной очевидности, «могут быть не только неверными, но и несовместимыми»30. Уточнение доказательства в стремлении сделать его окончательно строгим представляет собой, по Лакатосу, бесконечный спуск, останавливающийся в данное время на том уровне, где существующие критерии строгости не обнаруживают контрпримеров или логических дефектов. В развитии математических теорий этот спуск проявляется в том, что каждое поколение математиков стремится все более ограничить сферу непосредственных очевидностей, считая необходимым доказать то, что ранее принималось без доказательства. Но прогресс, достигаемый посредством такого увеличения строгости, всегда остается лишь относительным, не устраняющим возможности новых контрпримеров.
Лакатос согласен с тем, что любое реальное доказательство сводится в конечном итоге к последовательности тривиальных переходов, которые мы принимаем только на основе их непосредственной очевидности. Однако он не допускает очевидностей, заслуживающих абсолютного доверия. Он убежден в том, что каждая из этих тривиальных очевидностей может сохранять в себе некоторую некорректность и, таким образом, может стать источником новых контрпримеров.
Строгость доказательства, делает вывод Лакатос, всегда относительна, она зависит от исторически изменяющегося уровня строгости анализа доказательства, т. е. от критериев строгости, которые не остаются неизменными. Мы, считает Лакатос, принимаем теорему в качестве строгой не потому, что она достигла некоторого абсолютного основания и гарантирована от контрпримеров, а потому, что в данный момент она не имеет видимых контрпримеров и видимых логических дефектов с точки зрения принятых критериев строгости. «При каждой «революции строгости», — пишет Лакатос,— анализ доказательства проникал все глубже в доказательство вплоть до- обосновательного слоя, хорошо знакомого основного знания, где верховно правила кристально ясная интуиция, строгость доказательства, а критика изгонялась. Таким образом, различные уровни строгости доказательства отличаются только местом, где должен остановиться критицизм и должно начаться подтверждение. «Достоверность» никогда не может быть достигнута, «основания» никогда не могут быть обоснованы, но «хитрость разума» превращает всякое увеличение строгости а увеличение содержания, в цель математики»31.
Функция доказательств, по Лакатосу, состоит не в том, чтобы обеспечить безупречный вывод догадки из определенных условий, а в том, чтобы максимально улучшить догадку. Смысл доказывания теорем состоит не в достижении абсолютной строгости, но лишь в постоянном приближении к ней.
