Лакатос смешивает понятия строгости и надежности доказательств
Лакатос смешивает понятия строгости и надежности доказательства, выводя недостижимость надежности из недостижимости окончательной строгости. Ясно, что строгость доказательства может возрастать и после достижения им полной надежности. Аксиоматизация и формализация несомненно увеличивают строгость доказательств, но они никогда не дезавуируют законченных содержательных доказательств в смысле зависимости определенных следствий от определенных посылок. Совершенствование языка и критериев строгости в зрелой теории не опровергает принятых теорем, а ориентируется на них как на свой исходный и абсолютный базис. Бесконечный процесс обновления языка математики и уточнения критериев строгости не означает бесконечной корректировки посылок и бесконечного процесса устранения контрпримеров. Историческое углубление анализа доказательства не может поколебать завершенные доказательства и систему признанных теорем.
Лакатос прав в том, что каждая новая эпоха в математике сужает чисто интуитивный базис математики, заключая в строгие определения те понятия и утверждения, которые использовались раньше на интуитивном уровне. История понятий числа, функции, множества, алгоритма и т. п. хорошо иллюстрирует то положение, что все интуитивное, имплицитное в математике рано или поздно эксплицируется, оформляется в точном языке, задается аксиоматически и формализуется. Но Лакатос, несомненно, ошибается, допуская, что такого рода экспликация очевидностей может поставить под сомнение признанные утверждения теории. Эта идея не находит никакого подтверждения в истории математического мышления и противоречит общей логике соподчинения строгости и надежности в математическом рассуждении. В действительности, новые критерии строгости принимаются только в том случае, если они согласуются с уже признанным содержанием математики. Анализ доказательства не проникает в сферу сложившегося математического знания, которая представляет, таким образом, систему абсолютных и некорректируемых дедуктивных связей.
Лакатос убежден в том, что математики не имеют и не могут иметь объективных критериев строгости, достаточных для того, чтобы однозначно зафиксировать факт строгого доказательства даже в тех случаях, в которых мы его в действительности достигли. В этом положении Лакатоса есть доля истины, состоящая в том, что не существует полной системы требований и процедур, которая позволяла бы во всех случаях производить проверку доказательства и выносить окончательный вердикт относительно его строгости. Однако позиция, проистекающая из идеи аподиктической очевидности, указывает нам путь к позитивному решению проблемы. Мы можем утверждать, что каждое доказательство неизбежно приходит к стадии завершенности, исключающей контрпримеры, и что мы обладаем объективными критериями этой стадии. Этот критерий состоит, во-первых, в признании доказательства математическим сообществом, а во-вторых, во вхождении его в центр математической теории. С этой точки зрения, доказательства, признанные математическим сообществом и существенно задействованные в теории, следует считать абсолютно завершенными и неуязвимыми для критики. Эти критерии окончательной строгости, не будучи логическими, тем не менее являются общезначимыми и объективными.
Еще одно заблуждение Лакатоса, существенно определяющее его позицию, состоит в неадекватном понимании статуса математических определений. Лакатос убежден (эта идея особенно ясно выражена в последних разделах его книги), что любое определение может быть неявно расширено, и это обстоятельство само по себе может быть источником контрпримеров. Доводы, которые Лакатос приводит здесь, страдают неясностью и оторванностью от практики математического рассуждения. Можем ли мы, к примеру, привести контрпример к теореме Пифагора, расширив понятие прямой? Конечно, при развитой фантазии можно постараться это сделать, приписав прямой, к примеру, некоторые свойства кривой линии, но вряд ли кто будет считать рассуждение, основанное на такой фантазии, рассуждением в рамках геометрии Евклида. Математическое понятие в отличие от понятия эмпирического на определенной стадии зрелости жестко определяется через другие понятия теории и его произвольное расширение (явное или неявное) тем самым совершенно исключается. Мы не можем изменить свойства прямой, не изменив свойств плоскости, точки, треугольника и т.д., т. е. не разрушив системы понятий теории вообще. Зрелая математическая теория не только однозначно определяет структуру своих доказательств, но и свою собственную структуру, причем таким образом, что исключается всякая возможность переопределения ее основных понятий.
Расширение понятия, чреватое контрпримерами, возможно только на первоначальном уровне его становления, когда оно еще не вошло в жесткую систему принятых определений. Контрпримеры при доказательстве теоремы Эйлера, которые анализирует Лакатос, возникают до тех пор, пока мы рассматриваем многогранник на интуитивном уровне, вне его строгого логического определения, и они немедленно исчезают, как только это понятие редуцируется к адекватной системе понятий, раскрывающей его содержание. Доказательство теоремы Эйлера в рамках современной топологии никем не подвергается сомнению. Диалектика доказательств и опровержений, ярко продемонстрированная Лакатосом в своей книге, безусловно имеет место на этапе становления теорем, но она не может быть отнесена к любой теореме и не может служить основанием для заключения о релятивности математического доказательства вообще. Используя аналогию Поппера, мы можем сказать, что в математике, как и во всякой другой науке, мы начинаем забивать сваи в болото, но в отличие от других наук эти сваи достигают здесь твердого грунта, абсолютного обосно-вательного слоя, не подверженного изменению. Центр зрелой математической теории является неразрушимым в том смысле, что он не допускает никаких контрпримеров и никаких опровержений. Здесь может обнаружиться недостаток строгости, но никогда не будет места для критики надежности.
