«Семь размышлений о философии математики»
Близкие воззрения на природу доказательства изложены в статье В.А. Успенского «Семь размышлений о философии математики». В отличие от Девиса Успенский делает акцент на социокультурном контексте доказательства: изменчивый характер самых фундаментальных верований, лежащих в основе рационального мышления, исключает, по его мнению, возможность математических рассуждений, имеющих вневременное значение. Успенский исходит из положения, что доказательство — это убедительное рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы способны убеждать других40. Представление о доказательстве при таком его понимании оказывается неразрывно связанным с языковыми средствами и с социальной психологией человеческого общества. Поскольку и то, и другое меняется с ходом истории, то неизбежно меняются и наши оценки, относящиеся к качеству доказательств. «Если математика и абсолютна, — заключает Успенский, — то только на уровне повседневного опыта — точно так же как абсолютна ньютоновская физика применительно к явлениям средних размеров»41.
Очевидно, что здесь мы приходим к некоторому крайнему релятивизму. Если у Лакатоса доказательства, не будучи идеально надежными, тем не менее, имеют тенденцию к увеличению надежности, то в понимании доказательства, которое мы видим у Девиса и Успенского, такая тенденция исключена.
При психологическом обосновании релятивности доказательства упускается из виду объективная системность математики, тот факт, что неверный результат неизбежно обнаруживает себя в «кроссворде» математической теории, входя в столкновение с другими результатами. Математика очищает себя от ошибок не только через проверку доказательств, но и посредством системности теории. Каждое доказательство может иметь ошибки, но вместе с тем каждое доказательство полностью освобождается от них, включаясь в центр теории и во взаимодействие с другими доказательствами. Если бы действительно математики ошибались в сложении таких чисел как 12345 и 54321, то тогда мы имели бы удивительное и необъяснимое явление гармонического сочетания многих тысяч ложных утверждений и совокупного соответствия системы этих утверждений практике. Изложенные выше соображения о конечном характере процесса проверки в математике полностью исключают такую возможность.
