Математическая практика
Наиболее веский аргумент против психологической и социокультурной релятивизации математического доказательства дает сама математическая практика. Математики, в большинстве случаев, конечно, верят в полную надежность и окончательность признанных доказательств: вряд ли кто допускает, что на новом уровне строгости, с точки зрения некоторых новых представлений об убедительности мы объявим в качестве не вполне надежных элементарные законы арифметики, основную теорему алгебры или доказательство того, что аксиома параллельных не выводима из других аксиом евклидовой геометрии. Нет никакого сомнения в том, что В.А. Успенский как логик ни минуты не сомневается в том, что непротиворечивость исчисления высказываний и неполнота арифметики доказаны абсолютно, и что соответствующие теоремы не подлежат пересмотру. Надежность признанных доказательств представляет собой факт, подтверждаемый всей историей математики, и этот факт не может быть поставлен под сомнение на основе абстрактных доводов эмпирической или социокультурной философии науки.
Здесь надо обратить внимание на то обстоятельство, что аргументы от фактических возможностей человека и человечества в целом не имеют прямого отношения к философскому вопросу о надежности математики и к критике априоризма. Тезис, который защищает математический априоризм, состоит не в том, что математики не могут делать ошибок или что эти ошибки не могут быть скрытыми некоторое время, а в том, что в математике в отличие от опытных наук в конечном итоге достигается полная определенность, не подверженная какой-либо ревизии в будущем. При защите априоризма мы можем абстрагироваться от времени и средств, которые требуются для достижения этой определенности в конкретных случаях. То, что обсуждает Девис, — вопрос практики, а не вопрос гносеологического статуса математических утверждений. Вопрос о том, обладаем ли мы способностью не впадать в ошибки в процессе поиска математических доказательств, и вопрос о том, достигаем ли мы завершенности доказательства, — это разные вопросы. Специфика математического мышления состоит в том, что отрицательный ответ на первый вопрос вполне совместим с положительным ответом на второй.
М.А. Розов высказывает идею, что бытие математических объектов может быть понято как бытие элементов нормативных систем, воспроизводимых на основе механизма социальной эстафеты, который состоит в подражании образцам мыслительной деятельности. Поскольку образец не определяет однозначно способов своей реализации, то математические структуры, по Розову, в принципе не могут обладать абсолютной стабильностью и однозначностью42.
Такое понимание статуса математических объектов, конечно, не может быть принято. Оно ошибочно прежде всего потому, что противоречит бесспорному факту, состоящему в наличии единой, общезначимой и устойчивой в своих связях системы математических теорий. Ничто в математике не доказывает многозначности или неопределенности математических понятий. Для объяснения статуса объектов математики необходима не историческая, а функциональная точка зрения, объясняющая априорное знание из самого акта действия. Если бы все человечество потеряло на время память и прервало бы все исторические эстафеты, то, возродившись к жизни, оно бы неизбежно воспроизвело реальную логику, арифметику и абстрактную онтологию в том же самом виде, ибо эти структуры поддерживаются не в силу традиции, но под давлением функции, т. е. из необходимости действовать. Утверждение «2 + 2 = 4» укоренено в нашем сознании не потому, что оно, подобно некоторому обычаю, передается из поколения в поколение, а потому, что оно необходимо функционально. Оно неизбежно воспроизводится в любую эпоху как элемент априорной формы мышления, продиктованной деятельностью.
