Предметная очевидность
Это очевидность, связанная с мысленными операциями в сфере идеальных предметов, которая лежит в основе математики и позволяет нам с полной определенностью утверждать, что 2 + 2 = 4, 5 + 7= 12и т. п. Предметная очевидность задает законы операций с идеальными предметами, которые предполагаются в процессе реального счета и предшествуют ему как устойчивое мысленное представление. Мы не считаем волны на море или мысли в голове человека, поскольку они не удовлетворяют или плохо удовлетворяют требованиям к вещам, поддающимся счету. Считаемые предметы должны быть стабильными, изолированными (различимыми) и аддитивными в том смысле, что операции с ними не должны вести к их соединению или исчезновению. Мы можем говорить, что арифметика применяется только к той реальности, в которой с достаточной точностью реализуются представления об идеальных предметах и их связях, лежащие в основе понятия числа, и сама арифметика должна рассматриваться прежде всего как описание этих представлений.
Предметная очевидность лежит не только в основе арифметики, но и в основе всех других математических наук. В алгебре мы отвлекаемся от мысленных единиц и от конкретных представлений об их соединениях и разделениях, а сосредоточиваем внимание на знаках как эмпирически данных вещах и операциях с ними. Но наша уверенность в надежности алгебраических операций, конечно, покоится на том, что знаки и операции со знаками в достаточной степени удовлетворяют требованиям к идеальной предметности, лежащим в основе арифметики. При переходе к абстрактным областям математики мы заменяем операции с идеальными предметами — операциями с чувственными предметами, которые могут сохранять свойства идеальных предметов. Такая замена имеет тот смысл, что она позволяет говорить о числах и множествах за пределами их мысленного представления, сохраняя при этом безусловную надежность выводов, свойственную началам математической науки.
Предметная очевидность является аподиктической очевидностью в том смысле, что очевидный результат арифметического или знакового рассуждения не может быть поставлен под сомнение каким-либо логическим анализом или контрпримерами. Любое теоретическое рассуждение в математике было бы немедленно отвергнуто, если бы оно вошло в противоречие с выводами, достигнутыми на ее основе. Формализованное доказательство представляется для нас непогрешимым именно по той причине, что оно сводится к аподиктически очевидным манипуляциям с предметами (знаками). Философы, однако, преувеличивают значимость мышления на этом уровне, когда объявляют формализованное доказательство единственной подлинной гарантией надежности математического рассуждения.
