Исключение формальных обобщений
Мы должны строго отделить реальную логику от математической логики. Достаточно ясно, что исчисления математической логики — лишь формальные расширения схем реальной логики, не имеющие отношения к логике как нормативной основе мышления.
Простым примером в этом отношении являются многозначные логики. По аналогии с двузначной логикой мы можем строить формальные исчисления с любым числом значений истинности, но ясно, что здесь мы имеем дело не с расширением принципов реальной логики, атольг ко с формальными их обобщениями, не имеющими статуса логики как нормативной основы мышления.
Не относится к реальной логике и такая логическая конструкция, как логика многоместных предикатов. Строгая запись математических утверждений в ряде случаев требует использования символики многоместных предикатов. Утверждение, что для любых двух точек х и у, лежащих на прямой, найдется точка z, равноудаленная от них обоих, может быть записано формулой (x)(y)3z В(х}у,г), где предикат В означает трехместный предикат «быть равноудаленным. Если это утверждение истинно для определенных х, у и z, то для них будет заведомо ложным утверждение В{х,г,у) и мы можем написать истинную формулу: -3x3y3z (В{г,х,у)&В(х,г,у)), которая является теоремой геометрии. Однако сама эта запись, будучи вполне корректной, не дает нам средств вывода, принадлежащих логике многоместных предикатов. Это и понятно: чистое логическое следование может основываться либо на свойствах логических отношений между высказываниями, которые зафиксированы в логике высказываний, либо на свойствах кванторов, которые определены аксиомами узкого исчисления предикатов. Других оснований для чисто логического перехода не существует. Логика отношений, таким образом, играет,в математике экспликативную роль и приобретает дедуктивное зна^ние только в том случае, когда применяется как математическая структура, описывающая конкретные множества с заданными отношениями типа симметричности, транзитивности и т. п. С этой точки зрения мы можем утверждать, что логика отношений, введенная Д. Шредером и Б. Расселом, которая была воспринята многими философами в начале XX века как существенное обогащение традиционной логики, является, в действительности, специфической метаматематической теорией, полезной для аксиоматического построения арифметики и теории множеств, но никак не расширяющей сферы реальной логики.
