Аналогичное соображение справедливо и для логики предикатов высших порядков. Формальное представление арифметики с самого начала требует использования предикатов второго порядка, так как аксиома индукции не может быть записана конечным образом в исчислении предикатов первого порядка. Но содержит ли в себе это исчисление новую систему аподиктически очевидных логических истин? Ответ здесь также должен быть отрицательным. Исчисление предикатов второго и более высоких порядков важно для логического анализа математики в том плане, что оно позволяет выразить исходные принципы математических теорий в их истинном логическом соподчинении. Это исчисление, как показывает теория типов, может служить также основой для формулировки правил, ограничивающих область допустимых объектов математического рассуждения. Однако было бы ошибочным ставить формулы этой логики наряду с первичными интуитивно ясными принципами реальной логики. Здесь мы имеем дело снова только с логико-подобной структурой, заведомо выходящей за сферу категориально оправданной и абсолютно обоснованной реальной логики. Логики высшего порядка должны рассматриваться как приемлемые математические структуры, но не как часть реальной логики, определенной общими целями знания33.
Развитие математической логики совершенствует логику как средство описания математических форм, как базу для теории формальных определений, как систему понятий, необходимых для анализа доказательства и т. п., но оно не обогащает системы собственно логических истин, не увеличивает системы аподиктически очевидных схем, определяющих шаги доказательства. Реальное математическое рассуждение опирается только на интуитивно ясные формы, которые в полном своем объеме зафиксированы в традиционной логике.

В рубрике: Надежность логических норм