Философия и основания математики

Предпосылка всеведения, которая связана с законом исключенного третьего, представляет собой в действительности не что иное, как идеальное допущение о реальности, обусловленное практической ориентацией мышления. Бог Вейля, обозревающий весь мир и знающий истинное положение дел как в конечных, так и в бесконечных последовательностях, — не мистика, которую надо устранить из науки ради ее строгости, но необходимая предпосылка мыслящего субъекта, нацеленного на истину и действие. Хотя человеческий опыт ограничен, логика теоретического мышления исходит из предпосылки абсолютной истинности, имеет идеальный и телеологический характер и в этом смысле не может отличаться от логики Бога. Она отражает не фактические возможности человека, а минимальные требования к реальности,относительно которой имеет смысл задача рационального познания. Идея проверки законов логики должна быть, таким образом, оставлена как несостоятельная, проистекающая из прямолинейного эмпиризма, типичного для методологического мышления прошлого века.
Мы должны, таким образом, заключить, что вся философия, лежащая в основе брауэровской критики классической логики, является ошибочной. Мы не можем согласиться сегодня ни с тезисом о зависимости логических норм от содержания мышления, ни с требованием их проверки, ни с положением о первичности математики перед логикой. Расхождения в понимании логики существуют и в настоящее время. Но брауэровский релятивизм не может рассматриваться сегодня даже в качестве слабой альтернативы, ибо у нас нет ни малейших оснований думать о логических принципах как производных от каких-либо частных представлений. По самой своей сути нормы логики абсолютно универсальны и не зависят от материала мышления. Логика конечного и логика бесконечного не могут отличаться друг от друга. В обоих случаях мы имеем дело только с системами понятий, претендующими на рациональность, и обе системы в одинаковой степени подчинены общим принципам рациональности, которые заданы целью мышяения. Математик может утверждать, что каждое множество либо конечно, либо бесконечно, ничуть не с меньшим правом, чем он утверждает тот факт, что каждое число либо четно, либо нечетно. Исходная ошибка Брауэра состояла в том, что он принял за условное и изменчивое то,, что в действительности является безусловным и внеисторическим.
Надо сказать, что у Брауэра нет философии логики в полном смысле этого слова, ибо нет систематической защиты основных тезисов и рассмотрения необходимого для этого круга идей. Здесь мы имеем дело скорее с некоторой достаточно произвольной гипотезой ad hoc, которая казалась ему соответствующей общему замыслу конструктивной перестройки математики. Тем более удивительным является тот факт, что изобретенный им миф о ненадежности закона исключенного третьего до сих пор имеет большое число сторонников и оказывает влияние на практику математического мышления.
Методологическая реабилитация закона исключенного третьего, конечно, не ведет к упразднению или ограничению интуиционистской математики. Математическая теория, из каких бы мотивов она не выросла, будет существовать, пока существуют внешние и внутренние запросы к ней. Интуиционистская математика продуктивна в этом отношении и, таким образом, будет оставаться существенной частью современной математики. Но современная философия математики должна устранить претензии интиционизма на построение единственно истинной и единственно строгой математики.

Не все математические свойства в одинаковой степени разрешимы. Мы имеем конечную процедуру определения того, является ли данное натуральное число простым или составным, но мы не имеем аналогичной процедуры относительно свойства рациональности — иррациональности действительных чисел. Связывать приемлемость принципов логики с определенными свойствами со степенью их разрешимости, настаивать на том, что утверждение «Каждое натуральное число либо простое, либо составное» является более надежной посылкой математического рассуждения, чем утверждение «Каждое действительное число либо рационально, либо иррационально» — значит искажать статус логики как универсальной нормативной структуры, подчинять нормы логики внутренним особенностям понятийных систем и степени определенности понятий. В действительности, логика не имеет отношения к такого рода внутренним особенностям понятий. В частности, она никак не связана и с различением конечного и бесконечного, сколь бы важным оно не являлось для понимания математики как науки.
Идея проверяемости у Брауэра имеет очевидную связь с критикой метафизики в позитивистской философии науки. «Мы будем мыслить строго, если устраним метафизические доводы из наших рассуждений и будем принимать только те положения, которые проверяемы в опыте» — таков методологический тезис позитивизма и он, в определенном смысле, переносится Брауэром на математику56. Закон исключенного третьего дает повод для обвинения в метафизичности, ибо он содержит в себе допущение о действительном положении дел, независимом от наблюдателя и от возможностей наблюдения вообще.
Позитивистская идея научной строгости состоит в том, чтобы избавиться от такого рода допущений и обосновать научное знание вплоть до самых высших его принципов только в рамках эмпирической проверки. Несостоятельность этой идеи в настоящее время очевидна. Последней основой нашего знания является не чувственный опыт и основанная на нем система проверок, как это думали позитивисты, а система категориальных интуиции, в которых происходит упорядочение опыта, и которые сами по себе не зависят от опыта и не проверяются им. Логика — часть этой высшей структуры мышления, ее утверждения метафизичны в полном смысле этого слова, ибо они ье взяты из опыта и не поддаются опытной корректировке, и вместе : тем они являются необходимой структурой мышления, основой строгости и всякой возможной проверки. Математическая интуиция произ-водна от категориальной (метафизической) интуиции, математическая строгость основана в конечном итоге на метафизической строгости, на безусловной интуитивной ясности категорий пространства, времени, части и целого, порядка и т. п. Мы должны понять тот простой факт, что наиболее строгая часть человеческого мышления в принципе непроверяема, ибо она как последняя система координат лежит в основе всякой проверки и всякого строгого мышления. Брауэр прав в том, что опираясь на закон исключенного третьего, мы входим в область метафизических (принципиально непроверяемых) утверждений, но он заблуждается, считая такой выход связанным с потерей строгости и определенности мышления. В действительности, выход к метафизике в форме аподиктически очевидных принципов логики является выходом к априорной системе координат, к необходимым и наиболее надежным условиям понятийного мышления вообще, и, таким образом, к наивысшей возможной строгости. Закон исключенного третьего является неотъемлемой частью этой априорной нормативной сетки, и классическая математика, принимая этот закон, нигде не отступает от уровня предельной строгости.

Идея зависимости логики от материала мышления, на которой настаивал Брауэр, является с этой точки зрения элементарным заблуждением, проистекающим из упрощенного эмпирического понимания структуры научного знания, типичного для XIX века. Те же истоки имеет и культурологический релятивизм, согласно которому различные цивилизации могут иметь различную логику. Эта идея также не подтверждается фактически и не находит никаких доводов в рациональной теории познания.
С праксеологической точки зрения мы должны отвергнуть также и общий тезис Брауэра о первичности математики перед логикой. Брауэр, несомненно, прав в том, что математика базируется на собственных интуициях, и что математик не нуждается в логике, когда он движется на уровне интуитивно ясных математических конструкций. Мы должны признать наличие интуитивной основы математики, независимой от логики. Исходя из этой правильной и глубокой идеи, Брауэр пытался определить логику на основе математики, дать ее принципам математическое истолкование и, таким образом, установить точные границы ее действия. Он пытался свести логику к математике, точно так же как Фреге и Рассел пытались осуществить обратную редукцию. В настоящее время, однако, ясно, что оба эти проекта являются бесперспективными. Хотя математика в своих исходных интуициях независима от логиш но и логика не в меньшей' степени независима от математики, ибо она базируется на очевидностях иной природы, имеющих более общий характер и не связанных со спецификой математического зяания.
Замысел Брауэра состоял в гом, чтобы построить математику совершенно независимо от логики, основываясь только на собственно математической интуиции, связанной с идеей построения. То, что при этом называется логикой., — ато не часть классической логики и не логика вообще, а только система схем преобразования, соответствующих понятию конструктивности., запись переходов, сохраняющих конструктивность в языке классической логики. Различие между классической и интуиционистской логикой состоит не в том, что последняя не содержит тех или иных форм вывода, но в смысловой основе, с которой они связаны): если классическая логика опирается на категориальные интуиции, представляя собой универсальную онтологию мышления, то интуиционистская логика базируется только на интуиции конструирования, то есть на представлениях специального вида. Интуиционистская логика, таким образом, — это не общая логика математического мышления, а лишь средство систематизации той части математики, которая допускает внелогическое (конструктивное) представление.
С праксеологической точки зрения мы должны отбросить и требование проверяемости. Идея проверяемости законов логики несостоятельна, поскольку эти законы — не индуктивные обобщения на основе опыта, а нормы, накладываемые на мышление его функцией. Мы запрещаем принятие А и не-А одновременно не потому, что знаем, что нигде в мире А и не-А не могут сосуществовать, а потому, что такое принятие разрушило бы практическую ориентацию нашего знания, потому, что теория отвечающая на наши вопросы суждениями в форме «А и не-А» не имеет для нас практической ценности. Аналогичным образом, мы утверждаем «А или не-А» в качестве истинного и универсального принципа не потому, что он в достаточной степени проверен в опыте, а по той причине, что этот принцип заключает в себе требование точности понятий, проистекающее из допущения истинности посылок рассуждения. Деление всех вещей в мире относительно любого признака А на два класса: А или не-А — идет не от фактов, не от возможности проверки, а от фундаментального подразделения бытия и небытия, имеющего праксеологическую природу и лежащего в основе всякого рационального мышления. Эти законы — не обобщения опыта, а нормы, навязанные функцией знания.
Здесь мы видим эмпирические и индуктивистские истоки мышления Брауэра. Высказывания о конечных множествах, по его мнению,надежны, поскольку можно достичь их подтверждения, просматривав элементы множества друг за другом. Это представление, имеющее смысл в сфере опытного знания (на нем основано различение полной и неполной индукции), становится смутным и практически бессодержательным в применении к математике. П. Бернайс справедливо указывал на то обстоятельство, что Очень большие конечные множества столь же недостижимы для нас в смысле проверки, как и множества бесконечные55. Это значит, что и для конечных множеств существует только принципиальная возможность проверки, некая совершенно неуловимая тень проверки. Дело не в том, что граница между проверяемым и непроверяемым й математике проведена Брауэром неточно, а в том, что сама идея проверяемости перенесена в математику незаконно, без должного понимания природы математического знания. Простые арифметические равенства, которые проверены несчетное число раз в обыденной практике, являются безусловными для нашего сознания отнюдь не в результате совокупности этих проверок. Логика и арифметика имеют не эмпирическое, а онтологическое основание своей безусловной значимости.

Традиционная философия исходила из идеи универсальности логических норм и их независимости от материала мышления. Эта позиция с полной ясностью была выражена И. Кантом. Согласно Канту, логика — это наука не для частных видов предметов, но для предметов вообще. Логика, по Канту, может быть уподоблена грамматике, которая исследует формы выражения мысли, независимо от предметов^ о которых идет речь. С этой точки зрения интуиционистские ограничения, конечно, неприемлемы.
Многие логики и философы допускали зависимость логических норм от опыта. У Дж.Ст. Милля, как мы видели, логика представляет собой систему конвенций, отражающих связь между психическими состояниями субъекта. У Спенсера логика отражает общую структуру вещей и в этом смысле также зависит от некоторого аспекта реальности. В принципе, и у Милля, и у Спенсера логика может изменяться в процессе эволюции человеческого мышления. Но важно отметить, что в обоих этих случаях логика зависит от некоторого общего (идеального или материального) основания, и ее возможное изменение не нарушает ее универсальности: это изменение может быть здесь лишь переходом от одной системы универсальных норм к другой. Логика в таком ее понимании не априорна, но неизменно универсальна, одинакова для индивидов и всех областей знания.
Брауэр в своем понимании логики занял крайне релятивистскую позицию: логика зависит у него от типа рассматриваемых объектов и, таким образом, заведомо и неаприорна, и неуниверсальна. Логика математики может отличаться у него от логики обычного языка, а логика теории множеств должна быть другой, чем логика арифметики. С точки зрения современной теории познания эта позиция является совершенно неудовлетворительной. Наиболее значимые современные концепции логики — операционалистская и эволюционная — оправдывают идею универсальности логических норм. Позиция Брауэра опровергается и историей науки. Зависимость логики от содержания мышления, очевидно, должна была бы проявиться в истории науки, которая полна переворотов, связанных со сменой объектов мышления. До настоящего времени мы, однако, не имеем здесь ни одного ясного примера, подтверждающего идею Брауэра о возможной перестройке логики.
Факт универсальности логики становится предельно ясным в рамках праксеологической концепции познавательных норм, в которой логика понимается как система требований к форме мышления, продиктованная практической ценностью знания. С этой точки зрения логика универсальна, поскольку ее внутренняя структура не связана с каким-либо конкретным опытом и с эмпирическими подразделениями вообще.
Законы логики являются идеально нормативными в том смысле, что они идут от должного, от идеальных задач знания, но не от его реального состояния. На этом, собственно, основан и сам механизм действия логических норм. Наше знание, как правило, далеко от истины, понятия не обладают определенностью, исходные суждения не согласованы друг с другом. Но в теоретическом мышлении, на уровне формального соподчинения понятий, мы действуем с ним исходя из предположения абсолютной истинности посылок, полной определенности понятий и непротиворечивости исходных описаний. Это дает возможность увидеть отклонения нашего знания от идеала и внести изменения в систему наших посылок. Эффективность логики как механизма дедукции состоит, таким образом, в априорном приложении идеала к некоторому явно не идеальному положению дел. Трактовка логики как зависимой от материала мышления лишает ее принципы нормативного статуса, ибо индуктивное знание не может быть строгой нормой для другого индуктивного знания. Логика эффективна именно за счет своей идеальности, полной независимости от материала мышления.

Аргумент от неразрешимости наиболее весом, так как он основан на логическом факте, который не может быть поставлен под сомнение: многие математические теории неполны и далеко не все проблемы разрешимы в смысле доказательства А или не-А. Однако этот аргумент, если подходить к делу достаточно строго, также бьет мимо цели. Когда мы говорим, что в теории возможна ситуация, при которой некоторое утверждение недоказуемо и неопровержимо, то мы делаем высказывание о доказуемости, относящееся к метатеории. А именно, мы утверждаем, что формула «А или не-А» не является универсальной в метаязыке при определенной ее интерпретации (существует доказательство А или существует доказательство не-А). Но почему ограничение, существенное для метатеории, для характеристики системы доказательств должно истолковываться и как ограничение на логику самих доказательств, то есть на логику теории? Общее логическое рассмотрение показывает, что указанное метатеоретическое ограничение будет сохраняться при различных изменениях логики доказательства. Метатеоретическая формула «А или не-А», в общем случае, не универсальна и для классических, и для интуиционистских теорий. Никакой прямой связи между логикой теории и логикой метатеории не существует. Но это значит, что допустимая логика доказательства в теории должна иметь некоторое автономное оправдание, по крайней мере, ясно, что ее возможные ограничения не проистекают непосредственно из ограничений, значимых для метатеории. При строгом различении между логикой теории и логикой метатеории то положение, что не все проблемы разрешимы, никак не может быть истолковано как аргумент для отказа от классической логики.

Вопрос о том, насколько законным является принятое Брауэром определение отрицания, сводится к вопросу о том, насколько это определение продиктовано функцией математики. Подход с этой позиции позволяет утверждать, что никакого опровержения закона исключенного третьего здесь также не происходит. Единственный мотив, оправдывающий принятие в интуиционистской математике именно такого определения отрицания — это стремление сделать операцию отрицания содержательной, определить ее через понятие построения. Но, как уже было сказано, требование содержательности не проистекает из приложений математики и не может определять логику математического мышления.
Специфика отрицания в классической логике состоит в том, что оно обеспечивает двузначность этой логики. В настоящее время мы имеем все доводы за то, что двузначность реальной логики проистекает из глубинных предпосылок мышления и не может быть устранена на основе каких-либо частных фактов или произвольных определений.
Для многих математиков начала XX века представлялось достаточно убедительным допущение Брауэра о том, что источником парадоксов, обнаруженных в теории множеств, является использование закона исключенного третьего за пределами его значимости. В настоящее время, однако, эта гипотеза не выглядит убедительной. Еще в начале XX века Б. Рассел показал, что все известные парадоксы устраняются при принятии естественных ограничений при определении понятий, которые он сформулировал в своей теории типов. Э. Церме-ло (1908) показал, что возможно непротиворечивое аксиоматическое представление теории множеств при запрете на отношение самопринадлежности множеств, т. е. при исключении выражений вида X £ X. А.Н. Колмогоров в статье «О принципе tertium non datur» (1925) установил, что для широкого класса математических рассуждений закон исключенного третьего совершенно безопасен: он не может быть источником парадоксов, ибо парадоксы, содержащиеся в классической теории, неизбежно воспроизводились бы и в аналоге этой теории, не использующей закон исключенного третьего. Аналогичное заключение следует также и из результата К. Гёделя (1933), согласно которому все противоречия классической арифметики, если такие существуют, воспроизводятся и в интуиционистской арифметике. Мы можем с полной определенностью утверждать: со времен Брауэра логика не получила ни одного результата, подтверждающего предположение, что закон исключенного третьего является источником парадоксов в теории множеств. Исследования, в общем, подтверждают идею Рассела, согласно которой возникновение парадоксов обусловлено логикой определений, но не логикой дедукции.

Идея содержательности математики достаточно естественна для математиков XIX века. Она проистекает из понимания математики как науки о некоторых непреложных фактах, данных с очевидностью, подобных фактам опытных наук. Рост абстрактности математики вошел в противоречие с таким представлением о ее предмете. Методологический конфликт между сторонниками содержательной и сторонниками символьной математики был неизбежен.
Нечто подобное наблюдалось и в физике. Многие физики воспринимали рост абстрактности своей науки как уход от истинного предмета физики, подмену его математическими фикциями. Постепенно, однако, было понято, что целью физики является не отыскание наглядного и понятного для всех механизма явлений, а предсказание и объяснение явлений из минимума принципов, которые сами по себе могут быть далеко не очевидными. Как только было понято предсказательное, чисто дедуктивное значение физических теорий, традиционные ребования наглядности и понятности физических принципов были отброшены как излишние, не проистекающие из функции физической теории.
Аналогичное изменение в методологических воззрениях произошло и в математике. В настоящее время уже достаточно ясно, что задача математических теорий состоит не в описании некоторой очевидности, а в построении систем объектов и операций, полезных для моделирования реальных отношений, открываемых в науке и технике. С этой точки зрения, которую можно назвать функциональной или прагматической, требования содержательности и интуитивной ясности понятий, которые были столь существенными для Гаусса, Кронекера и Брауэра, представляются произвольными ограничениями, не проистекающими из сущности (назначения) математики. Это относится и к требованию конструктивности. Никто не откажется от использования математической теории только потому, что некоторые ее посылки не обладают интуитивной ясностью или конструктивностью. Математическая практика далеко вышла за пределы этих ограничений. Но это значит, что основной аргумент Брауэра против закона исключенного третьего покоится на произвольном допущении о природе математической теории, не проистекающем из ее назначения.
В основе второго аргумента Брауэра лежит определенное понимание утверждения и отрицания, которое Брауэр считает необходимым принять для сферы истинной математики. В классической математике эти понятия дополняют друг друга так, что отрицание истины есть ложь и отрицание лжи есть истина, вследствие чего двойное отрицание всегда приводит нас в исходную позицию. В принципе и при конструктивном определении математического существования эта симметрия могла бы быть сохранена, если бы мы определили отрицание как просто отсутствие построения. Закон исключенного третьего остался бы в таком случае общезначимым и означал бы относительно определенного объекта, что либо его построение существует, либо нет. Но Брауэр определяет отрицание не просто как отсутствие осуществленного построения объекта, но как наличие некоторого рассуждения, а именно, доказательства абсурдности предположения о существовании этого объекта. Но тем самым немедленно разрушается классическая дихотомия истинности и ложности, ибо фактическое отсутствие построения, очевидно, не тождественно доказательству его принципиальной невозможности. Операция отрицания становится более сложной и двойное отрицание уже не приводит нас к исходному состоянию. Так появляются псевдообъекты типа действительного числа, относительно которого абсурдно утверждение его иррациональности и в то же время невозможно утверждение рациональности.

Брауэр считает, что в своем развитии логика зависит от многих факторов и, в принципе, даже в сфере обычного мышления возможны различные логики. Он не исключает возможности, что люди, изолированные от нашей цивилизации, могут иметь существенно иную логику53. В своем развитии логика зависит от объектов мышления и изменяется с изменением содержания мышления. Традиционная логика математического доказательства сформировалась через оперирование с конечными совокупностями объектов. Вследствие привычки ее законам был приписан априорный характер и были утеряны представления об условиях ее применимости, связанные с ее происхождением. Сбои, которые начинает давать классическая логика в применении к бесконечным множествам, в этом плане вполне естественны. «...Догма универсальной истинности закона исключенного третьего должна рассматриваться как феномен истории цивилизации того же порядка, как и долго державшееся верование в рациональность числа ж или вера в то, что небесный свод вращается вокруг Земли»54.

Закон исключенного третьего безусловно применим к конечным множествам, ибо «для свойств, полученных с помощью закона исключенного третьего внутри специфически конечных систем, всегда достижимо их эмпирическое подтверждение, если мы имеем достаточно времени в своем распоряжении»49. Для бесконечных множеств такая проверка в принципе невозможна. Закон исключенного третьего, считает Брауэр, имеет определенный смысл и по отношению к бесконечному множеству элементов, если для конкретного свойства Р мы можем показать, что любой элемент этого множества либо обладает свойством Р, либо не обладает им. В некоторых случаях это возможно. Так, для каждого из натуральных чисел мы можем утверждать, что оно либо простое, либо составное, так как мы имеем способ эффективного определения принадлежности числа либо к множеству простых, либо к множеству составных чисел. Для множества свойств, однако, такой процедуры не существует. Здесь может иметь место неразрешимая или, по крайней мере, еще неразрешенная проблема и мы не имеем основания a priori предполагать выполнимость закона «А или не-А» для каждого из таких свойств. Мы не имеем оснований, считает Брауэр, утверждать, к примеру, что каждое из множеств некоторой совокупности множеств либо конечно, либо бесконечно, ибо такое утверждение предполагает наличие процедуры отображения любого множества из этой совокупности либо на начальный отрезок натурального ряда, либо его или его части, — на множество чисел натурального ряда в целом50.
Некто может возразить в том смысле, что существует объективное положение дел, независимое от наблюдателя, и что на самом деле все-таки существует только одно из двух: либо А, либо не-А Эти возражения, считает Брауэр, исходят из незаконной объективации математических истин, из метафизического предположения, что и после того, как человечество будет уничтожено, они будут существовать наряду с законами природы. Ценность интуиционистской математики, по его мнению, состоит в том, что она освободила математическое мышление от апелляции «к гипотетическому всеведующему существу»51. Г. Вейль писал в поддержку этой идеи Брауэра: «Принцип исключенного третьего для таких утверждений (для утверждений принадлежности или непринадлежности некоторого свойства всем числам натурального ряда — В.П.) мог бы быть справедливым для Бога, способного обозревать все натуральные числа как бы единым взором, но не для человеческой логики».

Если оба компонента формы «А или не-А» истолковываются в смысле некоторой процедуры (построения или доказуемости), то утверждение этой формы в качестве универсального принципа становится, по мнению Брауэра, ничем иным как утверждением разрешимости всех проблем. «Вопрос о значимости принципа исключенного третьего, — пишет Брауэр, — эквивалентен вопросу о том, могут ли существовать неразрешимые проблемы. Нет никакого достаточного основания, которое иногда высказывается, что не существует никаких неразрешимых проблем»48.
В отличие от приведенных выше этот аргумент является более общим, так как он не предполагает конструктивного истолкования утверждения и отрицания. Здесь достаточно предположить, что утверждение и отрицание связаны с доказуемостью в каком-либо смысле. Он покоится на предположении (которое впоследствии было строго доказано К. Геделем), что существуют истинные математические высказывания, неразрешимые в системе.