Философия и основания математики

Релятивизм в современной философии математики проистекает прежде всего из слабости общей теории познания, которая все еще не может преодолеть установок эмпиризма и психологизма. Философ-эмпирицист, видя перед собой вечные истины математики, не пытается объяснить их как факты особой природы, а пытается подчинить их универсальной схеме, нацеленной на объяснение всякого знания на основе опыта. Подобно средневековому схоласту он не объясняет факты, а ведет борьбу с ними. Он пытается доказать, что несмотря на поразительную надежность математические теоремы все-таки не абсолютно надежны и в этом отношении могут быть поставлены рядом с истинами эмпирических наук. Этот устойчивый предрассудок может быть устранен только через восстановление и углубление теории априорного знания.
Наш вывод о завершенности зрелых математических доказательств покоится на двух посылках, обоснованных в рамках праксеологиче-ского априоризма, а именно на тезисе о существовании аподиктических очевидностей, неуязвимых для контрпримеров, и на тезисе о конечном характере доказательства как специфической деятельности в сфере идеальной предметности. Признание этих положений полностью опровергает всякий релятивизм в понимании математического доказательства и математического мышления в целом, ибо отсюда следует, что всякое математическое доказательство в процессе своего совершенствования в течение конечного времени освобождается от всех очевидностей, не имеющих аподиктического характера.
Для построения адекватной философии математики мы должны признать факт особой достоверности математики и оставить пог >ггки отождествления ее с опытными науками. Мы должны признать, что математика покоится на твердом фундаменте аподиктической очевидности, которая является ее генетической основой, ее высшей логикой, основой ее доказательств и, наконец, естественной базой, на которой может быть построено ее обоснование.

Наиболее веский аргумент против психологической и социокультурной релятивизации математического доказательства дает сама математическая практика. Математики, в большинстве случаев, конечно, верят в полную надежность и окончательность признанных доказательств: вряд ли кто допускает, что на новом уровне строгости, с точки зрения некоторых новых представлений об убедительности мы объявим в качестве не вполне надежных элементарные законы арифметики, основную теорему алгебры или доказательство того, что аксиома параллельных не выводима из других аксиом евклидовой геометрии. Нет никакого сомнения в том, что В.А. Успенский как логик ни минуты не сомневается в том, что непротиворечивость исчисления высказываний и неполнота арифметики доказаны абсолютно, и что соответствующие теоремы не подлежат пересмотру. Надежность признанных доказательств представляет собой факт, подтверждаемый всей историей математики, и этот факт не может быть поставлен под сомнение на основе абстрактных доводов эмпирической или социокультурной философии науки.
Здесь надо обратить внимание на то обстоятельство, что аргументы от фактических возможностей человека и человечества в целом не имеют прямого отношения к философскому вопросу о надежности математики и к критике априоризма. Тезис, который защищает математический априоризм, состоит не в том, что математики не могут делать ошибок или что эти ошибки не могут быть скрытыми некоторое время, а в том, что в математике в отличие от опытных наук в конечном итоге достигается полная определенность, не подверженная какой-либо ревизии в будущем. При защите априоризма мы можем абстрагироваться от времени и средств, которые требуются для достижения этой определенности в конкретных случаях. То, что обсуждает Девис, — вопрос практики, а не вопрос гносеологического статуса математических утверждений. Вопрос о том, обладаем ли мы способностью не впадать в ошибки в процессе поиска математических доказательств, и вопрос о том, достигаем ли мы завершенности доказательства, — это разные вопросы. Специфика математического мышления состоит в том, что отрицательный ответ на первый вопрос вполне совместим с положительным ответом на второй.
М.А. Розов высказывает идею, что бытие математических объектов может быть понято как бытие элементов нормативных систем, воспроизводимых на основе механизма социальной эстафеты, который состоит в подражании образцам мыслительной деятельности. Поскольку образец не определяет однозначно способов своей реализации, то математические структуры, по Розову, в принципе не могут обладать абсолютной стабильностью и однозначностью42.
Такое понимание статуса математических объектов, конечно, не может быть принято. Оно ошибочно прежде всего потому, что противоречит бесспорному факту, состоящему в наличии единой, общезначимой и устойчивой в своих связях системы математических теорий. Ничто в математике не доказывает многозначности или неопределенности математических понятий. Для объяснения статуса объектов математики необходима не историческая, а функциональная точка зрения, объясняющая априорное знание из самого акта действия. Если бы все человечество потеряло на время память и прервало бы все исторические эстафеты, то, возродившись к жизни, оно бы неизбежно воспроизвело реальную логику, арифметику и абстрактную онтологию в том же самом виде, ибо эти структуры поддерживаются не в силу традиции, но под давлением функции, т. е. из необходимости действовать. Утверждение «2 + 2 = 4» укоренено в нашем сознании не потому, что оно, подобно некоторому обычаю, передается из поколения в поколение, а потому, что оно необходимо функционально. Оно неизбежно воспроизводится в любую эпоху как элемент априорной формы мышления, продиктованной деятельностью.

Близкие воззрения на природу доказательства изложены в статье В.А. Успенского «Семь размышлений о философии математики». В отличие от Девиса Успенский делает акцент на социокультурном контексте доказательства: изменчивый характер самых фундаментальных верований, лежащих в основе рационального мышления, исключает, по его мнению, возможность математических рассуждений, имеющих вневременное значение. Успенский исходит из положения, что доказательство — это убедительное рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы способны убеждать других40. Представление о доказательстве при таком его понимании оказывается неразрывно связанным с языковыми средствами и с социальной психологией человеческого общества. Поскольку и то, и другое меняется с ходом истории, то неизбежно меняются и наши оценки, относящиеся к качеству доказательств. «Если математика и абсолютна, — заключает Успенский, — то только на уровне повседневного опыта — точно так же как абсолютна ньютоновская физика применительно к явлениям средних размеров»41.
Очевидно, что здесь мы приходим к некоторому крайнему релятивизму. Если у Лакатоса доказательства, не будучи идеально надежными, тем не менее, имеют тенденцию к увеличению надежности, то в понимании доказательства, которое мы видим у Девиса и Успенского, такая тенденция исключена.
При психологическом обосновании релятивности доказательства упускается из виду объективная системность математики, тот факт, что неверный результат неизбежно обнаруживает себя в «кроссворде» математической теории, входя в столкновение с другими результатами. Математика очищает себя от ошибок не только через проверку доказательств, но и посредством системности теории. Каждое доказательство может иметь ошибки, но вместе с тем каждое доказательство полностью освобождается от них, включаясь в центр теории и во взаимодействие с другими доказательствами. Если бы действительно математики ошибались в сложении таких чисел как 12345 и 54321, то тогда мы имели бы удивительное и необъяснимое явление гармонического сочетания многих тысяч ложных утверждений и совокупного соответствия системы этих утверждений практике. Изложенные выше соображения о конечном характере процесса проверки в математике полностью исключают такую возможность.

Существуют и другие аргументы против математической строгости, основанные на фактах психологии мышления. В качестве примера можно рассмотреть соображения П.Дж. Девиса, согласно которым никакое математическое рассуждение не может претендовать на окончательную строгость уже по той причине, что человеческая деятельность по узнаванию и воспроизведению символов, с которой связано математическое доказательство, не может быть идеально надежной. Уже арифметика больших чисел, считает Девис, не может вызывать полного доверия. Он пишет: «...Арифметика больших чисел может быть построена только с уменьшающейся надежностью. Как только мы уходим от тривиальных сумм, арифметические операции покрываются туманом неопределенности»38. Наша вера в то, что прибавление числа 12345 к числу 54321 дает в результате именно 666666, считает Девис, в значительной степени представляет собой гипотезу, которая может быть опровергнута. По его мнению, современные математические рассуждения, в особенности, когда они в достаточной степени сложны, переполнены ошибками, которые невозможно устранить. «Таким образом, — пишет он, —- будучи далекими от рассуждений, основанных на разуме, или от задачи исчерпывающего понимания, доказательства в книгах по современным разделам математики являются часто только стилизованным менуэтом, который автор вытанцовывает вместе со своим читателем, чтобы достичь определенной социальной цели. То, что начиналось с разума, стало эстетикой и имеет тенденцию превратиться в анастезию»39. Девис полагает, что практика математики и понимание ограниченных возможностей человека отклоняют все претензии априоризма и платонизма.

Вторая проблема, которую ставит Китчер, а именно, проблема практической нереализуемости априорных требований к математическим объектам, также связана со спецификой априорного знания. В эмпирической сфере мы можем утверждать лишь то, что обосновано конечным опытом, и должны рассматривать все остальное лишь в качестве более или менее вероятной гипотезы. Эмпирические утверждения не выходят за пределы конечного. Онтологические утверждения, напротив, продиктованы интенциями деятельности, и они органически связаны с идеей бесконечности, ибо всякая человеческая деятельность есть выход за пределы конечного. Возможность бесконечной делимости отрезка есть следствие бесконечности пространства и времени, а эти последние представления — необходимая праксеологическая гипотеза, проистекающая из ориентации нашей деятельности на преодоление конечности. Мы должны понять, что чувственный опыт не определяет истин онтологии. Онтология вместе с зависимыми от нее принципами математики продиктована деятельностью, а именно, универсальными регулятивами деятельности. Постулирование бесконечности — необходимая часть категориальной онтологии, а вследствие этого, и необходимый аспект исходных математических представлений.
Вопрос о точности отражения объекта в понятиях имеет смысл в отношении объектов опыта, допускающих автономное исследование, но он не имеет отношения к объектам априорным. Принципы, продиктованные в аподиктической интуиции, являются исходными принципами мышления и не могут ставиться под сомнение в рамках рационального мышления. Свойства треугольника заданы в сфере аподиктической очевидности, т. е. на предельном уровне точности, доступном для мышления. Вопрос о точности описания свойств объектов, заданных с аподиктической очевидностью, не может быть признан корректным.
Возможное уменьшение веса элементарной математики в будущей физике также не может рассматриваться в качестве веского аргумента против априоризма. Априорность математической теории не означает ее эмпирической универсальности. Уже в дискуссиях о неевклидовых геометриях в конце XIX века было хорошо осознано, что наличие многих геометрий в структуре математики и их широкая применимость в физике не подрывают особого статуса евклидовой геометрии, ее уникального положения как необходимой формы видения реальности. Наличие многих геометрий говорит о том, что не вся математика априорна, но сам по себе этот факт не опровергает тезиса об априорности евклидовой геометрии.
Китчеровскую критику априоризма надо признать последовательной, если встать на почву психологической теории познания, из которой он исходит. С психологической точки зрения нельзя доказать наличие такой сущности, как аподиктическая очевидность, и с этой точки зрения выглядит вполне законным его тезис, что всякая интуиция столь же ограничена и ненадежна, как и сила обычного восприятия37. Представляется, однако, что сама идея психологической теории познания является несостоятельной. Любая теория познания прежде всего должна выявить принципы, имеющие интерсубъективное значение, и по этой причине она не может исходить из фактов психологии и их обобщений. Эти факты приобретают гносеологический статус только тогда, когда они санкционируются целевыми установками познания, т. е. тогда, когда они приобретают праксеологическое обоснование. Психологическая теория познания оставляет без объяснения основные факты, связанные с математикой: непреложность исходных математических утверждений и историческую стабильность признанных математических доказательств.

Хотя математическая теория и не может быть отвергнута прямым экспериментом, она, по мнению Китчера, подвержена косвенному (теоретическому и социальному) опровержению. Если, к примеру, геометрическая система, не включающая в себя некоторого утверждения евклидовой геометрии, становится более пригодной для теоретического описания реальности, то истинность этого утверждения в определенном смысле ставится под сомнение. С этой точки зрения практика современной математической физики может рассматриваться в качестве дополнительного аргумента против априоризма35.
Надо признать, что указанные Китчером моменты фиксируют действительные слабости кантовского априоризма. Отвергнув эмпиризм в обосновании математики, Кант сохранил основную конструкцию эмпиризма, оставив конкретный чувственный образ в качестве исходного для всей системы математических представлений. Но тем самым сохраняется проблема становления принципов математики, имеющих универсальное значение, которую эмпирическая теория познания решает на основе понятия абстракции. В этом плане вопросы Китчера законны. Он прав в том, что следуя своей логике, Кант либо должен был приписать сознанию некоторые общие математические представления с самого начала, либо оставить математику на уровне тривиальностей, данных в непосредственном созерцании.
Эти проблемы, однако, устраняются при деятельностной трактовке априоризма. Созерцание конкретного чувственного объекта само по себе, конечно, не дает нам основания отвлекаться от одних его свойств как случайных и удерживать другие как необходимые. Основания для такого отвлечения открываются здесь только на основе опыта и индукции. Однако ситуация меняется при переходе к сфере априорной конкретности. Процесс формирования математических образов определяется здесь не чувственным восприятием конкретного, но операциональной мысленной активностью субъекта в сфере праксеологических идеализации. Посредством мысленной вариации мы создаем здесь весь ряд допустимых объектов и с самого начала имеем дело не только с данным конкретным треугольником, но и с треугольником вообще, как общим представлением, достигаемым в сфере интеллектуальной вариации. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника является универсальным вследствие того факта, что возможность всех необходимых для этого построений не зависит ни от величины углов, ни от длины сторон треугольника, т. е. оно устойчиво ко всем возможным вариациям этой фигуры. Опираясь на изображение остроугольного треугольника, мы можем доказывать теорему о треугольнике вообще по той причине, что мы доказываем ее, опираясь на те и только на те аспекты представления о треугольнике, которые остаются неизменными в рамках его сущностной вариации36.

Некоторые общие аргументы в защиту математического релятивизма были приведены Ф. Китчером в его книге «Природа математического знания» (1984). Если Лакатос опровергал строгость математического доказательства, исходя из его строения и логики становления, то Китчер нацелен скорее на общее философское оправдание релятивизма: он намерен доказать невозможность какой-либо стоящей альтернативы эмпиризму и релятивизму в философии математики. Особое место он уделяет критике априорного созерцания, которая признается в кантовской философии математики в качестве источника исходных математических представлений.
Кантовская версия априоризма, по мнению Китчера, неявно предполагает разрыв между объектом, созерцаемым in concreto, и понятием объекта вообще, к которому разум восходит, опираясь на это конкретное чувственное представление. Здесь, считает Китчер, возникает проблема отбрасывания несущественных свойств (irrelevance problem): мы должны уяснить критерии, на основе которых случайные свойства исходного созерцаемого объекта отделяются от необходимых. Почему, к примеру, при интуитивном восприятии остроугольного треугольника, мы заключаем, что сумма углов треугольника равна двум прямым, но не заключаем, что все треугольники остроугольны? Для того чтобы преодолеть эту трудность, мы должны, по мнению Китчера, наряду с интуицией объекта как такового допустить интуицию, разделяющую существенное от несущественного в его свойствах, т. е. интуицию более высокого порядка, не допускаемую ни в одной из версий априоризма. Китчер усматривает здесь регресс к бесконечности, которая подрывает идею априорного созерцания в целом. Кантовская версия априоризма порождает, по мнению Китчера, и другую проблему (practical impossibility problem), состоящую в том, чтобы понять, как может быть дано в чистой интуиции то, что не может быть дано в опыте, а следовательно, и в конкретном представлении (к примеру, деление отрезка до бесконечности). Наконец, считает Китчер, здесь неизбежно возникает проблема точности отражения (exactness problem): на каком основании мы можем быть уверены, что в интуитивном видении объекта мы приписываем ему в точности те свойства, которые он в действительности имеет. Речь идет здесь очевидно об адекватности интуитивного видения математических объектов и об устойчивости свойств, фиксируемых в чистом созерцании33.
Указанные проблемы, по мнению Китчера, непреодолимы для априоризма, а следовательно, обоснование надежности математического доказательства, опирающееся на какую-либо версию априорной интуиции, не может быть удовлетворительным. Соображения, проистекающие из анализа априоризма и из реальной практики современной науки, по мнению Китчера, достаточны для того, чтобы считать неразумной саму возможность формировать абсолютную веру на базе какой-либо интуиции. Интуиция, считает Китчер, будь она конструктивистской или платонистской, хорошо или плохо определенной, не может нести той познавательной нагрузки, которую предписывает ей априоризм34.

Слабость концепции Лакатоса проявляется более всего в том факте, что она противоречит фактам истории математики. Если бы Лакатос был прав, если бы наше бесконечное движение к строгости было действительно связано с постоянной корректировкой тривиальных лемм, то все наши теоремы постоянно распухали бы от добавления все новых и новых ранее упущенных лемм. Ничего подобного в реальной математике не происходит. Замечательный факт, относящийся к существованию математических теорий, состоит в том, что никакие контрпримеры никогда не разрушали их признанных результатов. Контрпримеры в математике всегда возникали только на периферии теории, в точках ее роста и полностью устранялись ее систематическим построением.
Лакатосовская критика математического доказательства должна быть, таким образом, полностью отвергнута. Она является ценной лишь в том отношении, что побуждает более внимательно исследовать основания нашей веры в строгость математического рассуждения.

Лакатос смешивает понятия строгости и надежности доказательства, выводя недостижимость надежности из недостижимости окончательной строгости. Ясно, что строгость доказательства может возрастать и после достижения им полной надежности. Аксиоматизация и формализация несомненно увеличивают строгость доказательств, но они никогда не дезавуируют законченных содержательных доказательств в смысле зависимости определенных следствий от определенных посылок. Совершенствование языка и критериев строгости в зрелой теории не опровергает принятых теорем, а ориентируется на них как на свой исходный и абсолютный базис. Бесконечный процесс обновления языка математики и уточнения критериев строгости не означает бесконечной корректировки посылок и бесконечного процесса устранения контрпримеров. Историческое углубление анализа доказательства не может поколебать завершенные доказательства и систему признанных теорем.
Лакатос прав в том, что каждая новая эпоха в математике сужает чисто интуитивный базис математики, заключая в строгие определения те понятия и утверждения, которые использовались раньше на интуитивном уровне. История понятий числа, функции, множества, алгоритма и т. п. хорошо иллюстрирует то положение, что все интуитивное, имплицитное в математике рано или поздно эксплицируется, оформляется в точном языке, задается аксиоматически и формализуется. Но Лакатос, несомненно, ошибается, допуская, что такого рода экспликация очевидностей может поставить под сомнение признанные утверждения теории. Эта идея не находит никакого подтверждения в истории математического мышления и противоречит общей логике соподчинения строгости и надежности в математическом рассуждении. В действительности, новые критерии строгости принимаются только в том случае, если они согласуются с уже признанным содержанием математики. Анализ доказательства не проникает в сферу сложившегося математического знания, которая представляет, таким образом, систему абсолютных и некорректируемых дедуктивных связей.
Лакатос убежден в том, что математики не имеют и не могут иметь объективных критериев строгости, достаточных для того, чтобы однозначно зафиксировать факт строгого доказательства даже в тех случаях, в которых мы его в действительности достигли. В этом положении Лакатоса есть доля истины, состоящая в том, что не существует полной системы требований и процедур, которая позволяла бы во всех случаях производить проверку доказательства и выносить окончательный вердикт относительно его строгости. Однако позиция, проистекающая из идеи аподиктической очевидности, указывает нам путь к позитивному решению проблемы. Мы можем утверждать, что каждое доказательство неизбежно приходит к стадии завершенности, исключающей контрпримеры, и что мы обладаем объективными критериями этой стадии. Этот критерий состоит, во-первых, в признании доказательства математическим сообществом, а во-вторых, во вхождении его в центр математической теории. С этой точки зрения, доказательства, признанные математическим сообществом и существенно задействованные в теории, следует считать абсолютно завершенными и неуязвимыми для критики. Эти критерии окончательной строгости, не будучи логическими, тем не менее являются общезначимыми и объективными.
Еще одно заблуждение Лакатоса, существенно определяющее его позицию, состоит в неадекватном понимании статуса математических определений. Лакатос убежден (эта идея особенно ясно выражена в последних разделах его книги), что любое определение может быть неявно расширено, и это обстоятельство само по себе может быть источником контрпримеров. Доводы, которые Лакатос приводит здесь, страдают неясностью и оторванностью от практики математического рассуждения. Можем ли мы, к примеру, привести контрпример к теореме Пифагора, расширив понятие прямой? Конечно, при развитой фантазии можно постараться это сделать, приписав прямой, к примеру, некоторые свойства кривой линии, но вряд ли кто будет считать рассуждение, основанное на такой фантазии, рассуждением в рамках геометрии Евклида. Математическое понятие в отличие от понятия эмпирического на определенной стадии зрелости жестко определяется через другие понятия теории и его произвольное расширение (явное или неявное) тем самым совершенно исключается. Мы не можем изменить свойства прямой, не изменив свойств плоскости, точки, треугольника и т.д., т. е. не разрушив системы понятий теории вообще. Зрелая математическая теория не только однозначно определяет структуру своих доказательств, но и свою собственную структуру, причем таким образом, что исключается всякая возможность переопределения ее основных понятий.
Расширение понятия, чреватое контрпримерами, возможно только на первоначальном уровне его становления, когда оно еще не вошло в жесткую систему принятых определений. Контрпримеры при доказательстве теоремы Эйлера, которые анализирует Лакатос, возникают до тех пор, пока мы рассматриваем многогранник на интуитивном уровне, вне его строгого логического определения, и они немедленно исчезают, как только это понятие редуцируется к адекватной системе понятий, раскрывающей его содержание. Доказательство теоремы Эйлера в рамках современной топологии никем не подвергается сомнению. Диалектика доказательств и опровержений, ярко продемонстрированная Лакатосом в своей книге, безусловно имеет место на этапе становления теорем, но она не может быть отнесена к любой теореме и не может служить основанием для заключения о релятивности математического доказательства вообще. Используя аналогию Поппера, мы можем сказать, что в математике, как и во всякой другой науке, мы начинаем забивать сваи в болото, но в отличие от других наук эти сваи достигают здесь твердого грунта, абсолютного обосно-вательного слоя, не подверженного изменению. Центр зрелой математической теории является неразрушимым в том смысле, что он не допускает никаких контрпримеров и никаких опровержений. Здесь может обнаружиться недостаток строгости, но никогда не будет места для критики надежности.

Общее направление мысли Лакатоса непосредственно связано с попперовским учением относительно предпосылок человеческого мышления. R «Логике научного исследования» К. Поппер так выражает свою мысль: «В эмпирическом базисе объективной науки нет ничего ^абсолютного». Наука не покоится на твердом фундаменте фактов. Жесткая структура ее теории поднимается, так сказать, над болотом. Она подобна зданию, воздвигнутому на сваях. Эти сваи забивают в болото, но не достигают никакого естественного или «донного» основания. Если мы перестаем забивать сваи дальше, то вовсе не потому, что достигли твердой почвы. Мы останавливаемся тогда, когда убеждены, что сваи достаточно прочны и способны, по крайней мере некоторое время, выдерживать тяжесть нашей структуры»32. Основная мысль Лакатоса та же самая. Она сводится к тому, что математика не является исключением в ряду теоретических наук, и что ее утверждения, будучи более обоснованными, не являются обоснованными абсолютно, а ее доказательства, будучи более надежными и устойчивыми, чем объяснения в опытных науках, никогда не являются абсолютно надежными и абсолютно устойчивыми.
Изложенный выше подход к пониманию надежности математического доказательства делает логику наших возражений совершенно определенной. С точки зрения праксеологической теории очевидности основная ошибка Лакатоса состоит в том, что он не отделяет ассерторических очевидностей от аподиктических и не осознает особого обосновательного статуса последних. Это убеждение Лакатоса существенно связано с эмпирическим воззрением на математику, согласно которому математические очевидности в своей основе являются очевидностями эмпирического и индуктивного порядка. Это воззрение, однако, не обосновано, и оно полностью опровергается на основе более глубокого анализа природы первичных математических идеализации. Если первичные очевидности математики относятся к универсальной форме мышления, то они внеэмпиричны, вневременны и недоступны для корректировки на основе каких-либо контрпримеров. Но это значит, что регресс в посылках не может быть бесконечным. Он неизбежно задерживается на уровне аподиктических оче-видностей или посредством однозначно определенных утверждений, принятых в качестве аксиом.