Философия и основания математики

Для понимания нового подхода нам нужно произвести некоторые уточнения таких понятий философии математики, как математический объект и математический факт. Математическая теория покоится на замкнутой иерархии объектов, которая делает эту теорию отличной от других математических теорий. Математик имеет дело, во-первых, с объектами исходными, принятыми на основе очевидности, а во-вторых, с объектами производными, полученными на основе различных типов внутренних определений. Два этих класса объектов имеются в любой математической теории. Исходные объекты можно назвать также элементарными, поскольку они лежат в основе всех других определений данной теории. Отличительным признаком исходных объектов является безусловная очевидность их свойств. Производные объекты, как правило, не обладают этим качеством. Математическая теория, начиная с интуитивно ясных объектов и образов, неизбежно восходит к конструкциям, которые будучи строго определены, тем не менее лишены непосредственной ясности своих свойств.
Необходимо отметить два свойства математических объектов, которые важны для понимания строения и развития математической теории. Важнейшее из них — это конечная определимость, заданность математического объекта конечным числом свойств. Этот момент существенно отличает математические объекты от эмпирических, которые бесконечны в том смысле, что их теоретическое определение лишь намечает систему его качеств и не исключает открытия качеств, не согласующихся с принятым определением. Определение в эмпирической теории не задает объект, а лишь указывает на него, как на некоторую сущность, обладающую, в принципе, бесконечным числом независимых друг от друга свойств. В отличие от этого, все свойства математического объекта определены конечным числом требований, зафиксированных в аксиомах или в его исходных определениях. Эта особенность математического объекта проистекает из сущности математической теории как формальной системы, в которой объекту могут быть приписаны лишь свойства, согласованные с его исходным определением.
Другая особенность математических объектов состоит в их строгой соподчиненности. В процессе развития математической теории ее объекты выстраиваются в жесткую иерархию, которая не зависит от произвола отдельного математика и математического сообщества в целом. Понятие натурального числа объективно является более элементарным, чем понятие действительного числа, а понятие действительного числа — более элементарным, чем понятия функции или интеграла, и это объективное соподчинение не может быть устранено никакими перестройками теории. Математическая теория — это прежде всего иерархия зависимых друг от друга объектов, которая однозначно задана в том смысле, что соподчинение соответствующих понятий не может быть изменено произвольно и молекулярные понятия не могут выполнять функцию атомарных. Для каждой математической теории атомарные понятия выделены объективно, самим ее содержанием и не могут быть произвольно изменены.

Понимание логики развития математической теории существенно опирается на понятие математического факта. Под математическим фактом следует понимать прежде всего первичные (сингулярные) высказывания о математических объектах и их связях типа 2 + 2 = 4. Такого рода истины не доказываются и не выводятся из принципов, но подобно первоначальным фактологическим истинам эмпирических наук должны быть приняты как нечто совершенно первичное и безусловное. Выше мы установили, что истины указанного вида непосредственно и с абсолютной необходимостью навязаны нашему сознанию системой онтологических представлений. Они не могут быть изменены в рамках рационального познания, имеющего данную категориальную структуру. В качестве математических фактов следует принять также и интуитивно ясные обобщения типа а + b = Ь + а. Здесь мы имеем дело уже с некоторыми абстракциями от непосредственных праксео-логических очевидностей, но эти абстракции такого рода, что они не нарушают идеальной истинности абстрактных принципов: общее суждение: a + b = b + a —-не менее очевидно и не менее надежно, чем любое сингулярное утверждение типа 2 + 3 = 51.
К системе математических фактов относятся также все суждения, фиксирующие результаты внутри математических процедур проверки, основанных на аподиктической очевидности. Если некто говорит, что число 2 является корнем уравнения х2 — 5х + 6 = 0, то он утверждает безусловно истинный факт, поскольку истинность этого высказывания гарантируется проверкой в сфере аподиктически очевидных процедур.
Наконец, к фактологическому основанию математики следует отнести все признанные математические доказательства. Если некоторое доказательство принято как окончательное, то оно неустранимо как определенная связь между суждениями в математической теории, вне зависимости от того, являются ли посылки этого доказательства интуитивно ясными, онтологически или эмпирически значимыми. Мы переходим в математической теории от одних доказательств к другим на основе аксиом, точно так же как в эмпирической теории мы переходим от одних фактов к другим на основе принципов. Если говорить в общем плане, то к фактологической основе математической теории мы должны отнести все утверждения, которые обоснованы в сфере аподиктической очевидности. Это и естественно. Аподиктическая очевидность — это генетическая основа и логический фундамент математической теории. Вся система утверждений, будь это единичные высказывания, непосредственные их обобщения или сложные теоремы, которая строго сводится к этому фундаменту, выступает в дальнейшем развитии теории в качестве абсолютной фактуальной основы, с которой должны быть согласованы все абстрактные принципы теории.

Первая особенность математической теории, отличающая ее от теории эмпирической, состоит в абсолютном характере ее фактологической основы. Противоречие между принципами и фактами в эмпирической теории разрешается не обязательно в пользу фактов: здесь могут быть пересмотрены, уточнены, переинтерпретированы и даже устранены (признаны несуществующими) сами факты. Диалектика теории и фактов в эмпирических теориях неизбежно ведет к постепенному сдвигу обоих полюсов. Попперовская концепция относительности базовых утверждений научной теории в своей основе является, конечно, верной. Но эта концепция не может быть перенесена на математику. В отличие от фактов опыта математические факты, поскольку они значимы в сфере аподиктически очевидного и полностью определены в ней, обладают абсолютной значимостью и не могут быть скорректированы на основе каких-либо теоретических соображений. Сфера математических фактов в этом отношении является абсолютной и, как следствие, внутренняя диалектика математической теории реализуется исключительно за счет перестройки системы теоретических допущений.
Другая особенность математической теории заключается в том, что ее исходные принципы (аксиомы) не только однозначно определяют состав возможных теорем, но и сами однозначно определяются системой признанных теорем. Из принципов физической теории мы выводим определенное множество заключений о фактах — внутренних связях теории, имеющих непосредственную эмпирическую интерпретацию, но сами эти факты никогда не рассматриваются здесь как определяющие множество принципов. В методологии физики мы говорим о том, что одна и та же система фактов в принципе может быть объяснена на основе самых различных теоретических гипотез. Система эмпирических фактов никогда не является достаточной для утверждения некоторых принципов как единственно возможных. В математической теории между теоремами и аксиомами существует одинаково жесткая зависимость в обе стороны: из аксиоматики следует определенное множество теорем и, напротив, принятие в качестве истинных определенного числа теорем требует однозначного признания определенной аксиоматики. Если теорема Пифагора признана, то и аксиома параллельности Евклида признана и т.д. То есть в математической теории мы можем говорить как о строгом выводе теорем на основе аксиом, так и о строгом выводе аксиом на базе принятых теорем. Если modus ponens позволяет нам переходить от аксиом к теоремам, то modus tollens служит основой выявления аксиом, достаточных для доказательства признанного множества теорем. Это важная особенность логического строения математической теории, позволяющая говорить о регротрансляции истинности от фактов к принципам в математической теории, которая очевидно не имеет места в теории эмпирической. Истина вводится в фактуальное основание и течет к принципам, которые получают здесь строгую определенность и однозначное обоснование на основе фактов.
Наиболее важная особенность математической теории состоит в том, что становление аксиоматики достигает здесь предельного состояния, закрывающего возможность дальнейших ее изменений в смысле заключенного в ней содержания. В отличие от эмпирической теории для математической теории является осмысленным понятие абсолютно завершенной системы принципов. В этом контексте мы можем говорить также об идеальной факхуальной истинности как о полной логической симметрии принципов и фактов, устанавливающейся в конечном итоге в развивающейся математической теории. Математическая теория достигает состояния полной завершенности аксиоматики точно так же, как она достигает полной завершенности своих доказательств. Это не внешняя аналогия, а сущностное тождество, проистекающее из природы математического мышления.
Математическая теория, как и теория эмпирическая, появляется первоначально как некоторая система интуитивно ясных утверждений и бесспорных логических связей, относящихся к определенной системе фактов. На этой начальной стадии мы, очевидно, не имеем еще ни полной системы принципов, необходимых для описания исходных объектов, ни целостности самой системы объектов, ни гарантии логической совместности утверждений, принятых в теории. Появление первой несовершенной аксиоматики устанавливает относительное единство утверждений, выявляет логическую последовательность их развертывания и позволяет сделать всю систему теорем более целостной и законченной. Анализ этой системы приводит, в конечном итоге, к формулировке более полной и систематичной аксиоматики и т.д. Мы имеем основание утверждать, что в математической теории, в отличие от физической, эта диалектика конечна, что она завершается в конечное время полной стабилизацией аксиоматики, формулировкой ее в такой форме, которая исключает дальнейшее ее совершенствование в плане заключенного в ней содержания. Диалектика фактов и принципов в математической теории неизбежно завершается достижением предела, выявлением системы аксиом, идеально соответствующей содержанию теории.
Эмпирические теории в этом отношении существенно отличаются от теорий математических. Разумеется, стремление к полноте и законченности принципов имеется и здесь и в определенном смысле оно достигается. Принципы механики, сформулированные Ньютоном, представляют собой пример такого рода завершенной теоретической системы. Однако физическая теория, будучи нацелена на определенный внешний предмет, всегда остается открытой для логических контрпримеров и для соответствующей перестройки принципов. Стабилизация физической теории — это стабилизация по отношению к фрагменту опыта, т. е. к некоторой внетеоретической реальности, и может быть реализована всегда лишь с некоторым приближением, за счет частных гипотез и в пределах корректности фактов, которая не имеет здесь абсолютного значения. Идеальное единство фактов и принципов достигается лишь в математической теории, вследствие безусловной однозначности сферы фактов и конечности процесса абсолютного оправдания принципов.

Приближаясь к стадии завершенности, система аксиом приобретает ряд свойств, которые могут служить признаками этой стадии и ее более детальным определением. Среди этих свойств наиболее важными являются: полнота, минимальность, конечность, элементарность и однозначность.
Под полнотой аксиоматики мы будем понимать здесь достаточность ее для логического представления признанного содержания теории. Такое понимание полноты, конечно, не тождественно логическому или метатеоретическому определению этого понятия. В логическом определении полнота аксиоматики в большинстве случаев принципиально недостижима и мы можем говорить о полноте в этом смысле только относительно самых элементарных теорий типа исчисления высказываний или исчисления предикатов первого порядка. В методологическом смысле, напротив, полнота всегда достижима, ибо каждая математическая теория в процессе своего вызревания достигает такого состояния, когда аксиоматика признается достаточной для воспроизведения всего значимого содержания теории и адекватной ей в том смысле, что само это содержание мы начинаем определять через указание на аксиоматику. Полнота в этом смысле не имеет точного логического определения, но тем не менее она совершенно однозначно фиксируется математическим сообществом и является важнейшим признаком завершенной аксиоматики.
Важно понять, однако, что методологическая полнота — не продукт произвольного установления. Хотя аксиоматика арифметики логически неполна и допускает в принципе неограниченное пополнение, никто из математиков не стремится дополнить ее какими-либо новыми аксиомами или группами аксиом. Причина этого факта заключается в требованиях внутренней детерминации математических объектов, которая имеет объективный характер. Если мы вводим понятие угла и способы определения его величины, то естественно возникает вопрос о сумме углов треугольника, и мы нуждаемся во введении определенных аксиом, достаточных для определенного ответа на этот вопрос. Мы продолжаем вводить новые аксиомы до тех пор, пока очевидные свойства и связи объектов, данные с аподиктической очевидностью, не получат полного объяснения. Из конечности значимых свойств первичных объектов проистекает конечность содержания аксиом, которую мы воспроизводим во всех аксиоматиках теории.
Достижимость полной аксиоматики не может быть поставлена под сомнение некоторыми колебаниями относительно состава аксиом, которые иногда возникают на практике. Те математики, которые желают сделать ряд ординалов жестко определенным подобно натуральному ряду чисел, будут склонны к принятию аксиомы детерминированности как элемента системы аксиом теории множеств, поскольку эта аксиома снимает ряд таких неопределенностей, делая, в частности, доказуемой континуум-гипотезу. Другие математики будут настаивать на специфичности ряда ординалов и на принципиальной неопределенности некоторых его свойств, навеянных арифметическими аналогиями. Идея методологической полноты состоит, однако, не в том, что аксиоматика всегда устанавливается с полной однозначностью, а в том, ч^о в математической теории, на определенной стадии ее развития, не остается содержания, не сведенного к некоторым явно выраженным принципам.

Свойства полноты, минимальности и элементарности аксиоматики позволяют понять основное качество завершенной аксиоматики, которое состоит в ее идеальной истинности в отношении фактологической основы теории. Характеризуя аксиоматический метод, мы обычно подчеркиваем возможность использования различных аксиоматик для представления содержания одной и той же теории. В этрм утверждении есть определенный смысл. Вариации в выборе отдельных аксиом и аксиоматики в целом возможны и реализуются на практике. Наряду с гильбертовской аксиоматикой евклидовой геометрии возможна аксиоматика, основанная на понятии симметрии, а также и некоторые другие варианты. Ту же ситуацию мы можем наблюдать и в других аксиоматизированных теориях. С содержательной стороны, однако, эта многовариантность не представляется существенной.
Каждая аксиома имеет аналоги, а именно утверждения, равносильные ей в дедуктивном отношении. Так, для аксиомы Евклида о параллельных мы можем указать несколько таких аналогов. Вот некоторые из них: «Сумма углов треугольника равна двум прямым», «Всегда можно построить окружность, проходящую через три точки, не лежащие на одной прямой», «Существуют подобные фигуры», «Эквидистанта прямой в данной плоскости также прямая», «Через данную точку внутри угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны», «Площадь треугольника может быть сделана как угодно большой при увеличении его сторон», «Перпендикуляр и наклонная к одной прямой всегда пересекаются». Этот список может быть продолжен за счет более сложных утверждений, доказательство которых связано с использованием аксиомы параллельности. Каждое из этих утверждений доказуемо в аксиоматике геометрии, включающей аксиому Евклида, и каждое, будучи взято в качестве аксиомы, позволяет доказать аксиому Евклида как истинное утверждение. Подобные же аналоги могут быть указаны и для других аксиом, откуда уже становится ясным, что в принципе возможны аксиоматики, различающиеся по набору исходных терминов, но равносильные друг другу в смысле логического обоснования содержания теории.
Однако это теоретически возможное разнообразие не должно вводить нас в заблуждение. Уже беглый взгляд на приведенные выше по ложения, являющиеся аналогами аксиомы Евклида, показывает их существенный недостаток, присущий почти всем из них. Все они сзяза-ны с конструктивно более сложными объектами, такими как треугольник, круг, подобие, площадь, и в этом смысле являются утверждениями незлементарными. Для каждой математической теории существует объективная иерархия понятий, в которой соотношение простоты и сложности однозначно определено вне зависимости от ее оформления в понятиях. Если мы при формулировке аксиом будем руководствоваться принципом их максимальной элементарности, то теоретическое разнообразие аксиоматик полностью исчезает.
Завершенная аксиоматика задается однозначно в том смысле, что она выражает вполне определенную систему требований к элементарным объектам, которая так или иначе выражается любой аксиоматикой данной теории. Если теория достаточно развита и аксиоматически определена, то, вообще говоря, мы всегда знаем, какие требования к исходным объектам должна содержать ее аксиоматика. Современные учебники приводят различные аксиоматики евклидовой геометрии, но человек, сведущий в геометрии, сразу же находит, где и как здесь выражена идея параллельности, где и как заданы основные требования к инцидентности и т.д. Зрелая аксиоматика задана содержанием теории однозначно в том смысле, что она всегда фиксирует в себе один и тот же набор требований к элементарным объектам. Этот набор требований конечен и строго определен иерархией объектов. Различные аксиоматики зрелой математической теории —это лишь варианты понятийного представления этой единой системы требований к исходным объектам, которые могут сравниваться друг с другом лишь с точки зрения их удобства в том или другом отношении.

Мы можем, таким образом, утверждать, что аксиоматика как система абстрактных принципов теории в процессе своего развития достигает предельной адекватности в отношении содержания теории, т. е. предельной истинности в смысле совпадения с фактологическим основанием теории. В этом смысле аксиомы математики существенно отличаются от принципов физики и других опытных наук. Принципы физики всегда содержат в себе гипотетический элемент и по своему содержанию всегда выходят за пределы объясняемых ими фактов. Они асимметричны фактам в том смысле, что не выводимы из них и не могут быть оправданы как единственно возможные для объяснения круга фактов. Аксиомы зрелой математической теории, напротив, абсолютно слиты с фактами, они представляют собой лишь общие принципы построения фактов. Поэтому принятие достаточно широкого круга фактов определяет систему аксиом как единственно возможную. В математической теории мы имеем, таким образом, дело с полной симметрией фактов и принципов и с явлением ретротрансля-ции истины, которое не имеет места в эмпирических теориях. Необходимо отметить,, что факт ретротрансляции математической истины не может быть выведен из логических соображений: логика не может оправдать перехода от фактов к принципам. Ретротрансляция обеспечивается здесь генетически, логикой становления математических аксиом и может быть обоснована в своей необходимости только в рамках системного анализа.
Отрицание ретротрансляции истины мотивируется обычно ссылкой на общий принцип логического следования, запрещающий переход от истинности посылок к истинности следствия. В действительности, логика не запрещает таких переходов, она лишь не гарантирует их в общем случае. Кроме потоков истины, гарантируемых логикой, могут существовать потоки, обусловленные спецификой внутренних теоретических связей, т. е. потоки, обусловленные типом знания. Мы можем говорить здесь о теоретически обусловленных потоках истинности.
Анализ логики становления математической теории позволяет увидеть полную несостоятельность эмпирицистской философии математики, пытающейся установить методологическое единство математического и опытного знания. Философы-эмлирицисты упускают из виду, что схемы становления принципов эмпирической науки и принципов математической теории, имея совпадение в ряде моментов, тем не менее, не являются тождественными. Упускается из виду факт неизбежной и полной стабилизации внутренней структуры математической теории, при которой ее аксиоматика приобретает (с точностью до совокупности требований к элементарным объектам) окончательную форму и становится дедуктивно эквивалентной самой теории. В отличие от эмпирической теории каждая математическая теория достигает такой ступени логической организации, при которой ее абстрактные принципы являются идеально соответствующими системе ее внутренних связей.

Из факта завершенности аксиоматики несомненно следует факт ее непротиворечивости. Движение математической теории к стадии завершенности представляет одновременно и полное очищение ее от внутренних противоречий.
Историческое совершенствование математической теории может быть рассмотрено в двух различных планах: в плане эволюции ее утверждений (аксиом и теорем) и в плане становления системы ее внутренних определений. Речь идет здесь, разумеется, об одном и том же процессе, но при теоретическом анализе мы получаем здесь существенно различные картины, выявляющие различные моменты становления математической теории. Исследуя теорию, в первом плане мы рассматриваем ее как процесс исторического взаимодействия утверждений разного уровня, приводящий ее к более зрелому состоянию и, в конечном итоге, к полному оформлению ее внутренней структуры. Во втором плане развитие теории представляется как движение ее определений к состоянию их полной корректности. Мы должны здесь рассмотреть прежде всего логику взаимодействия принципов (аксиом) с системой ее фактологических утверждений (теорем и сингулярных высказываний).

Мы должны оставить здесь сферу чистой логики и использовать некоторого рода методологические доводы. Мы будем исходить из факта ретротрансляции математической истины, а также из соображений, связанных с обозримостью системы утверждений, принадлежащих элементарному фрагменту теории.
Как мы выяснили, противоречие в системе аксиом может содержаться в одной из следующих форм:
1. Явное противоречие, представимое в форме «А и ие-А».
2. Слабо скрытое противоречие вида А и В, где из В и из аксиом (исключая А) выводится не-А
3. Существенно скрытое противоречие, предполагающее для некоторой аксиомы А существование теоремы в пределах определяющего фрагмента, которая требует допущения не-А
4. Глубоко скрытое противоречие, не выявляемое в пределах определяющего слоя теории.
5. Недостижимое противоречие, не выявляемое практически осуществимым развертыванием теории.
Очевидно, что явные противоречия находятся в сфере практической устранимости и что становление аксиоматики является вместе с тем и полным устранением противоречий этого вида.
Из соображений об элементарности аксиоматики следует, что второй случай противоречивости практически равнозначен первому, ибо все простые аналоги аксиомы А выявляются вместе с самой аксиомой уже на начальном этапе развития теории. Как аксиома или как часть аксиомы утверждение В не может быть связано со сложными производными понятиями. Но это значит, что выведение из В отрицания А не может представлять из себя, проблемы с точки зрения математической практики. Слабо скрытая противоречивость устраняется из математической теории на самых ранних этапах ее систематизации. Нельзя себе представить становления какой-либо системы аксиом без одновременного выявления элементарных аналогов каждой из них.
Этот аргумент имеет, конечно, внелогический характер. Утверждая обозримость всех слабо скрытых противоречий, мы утверждаем фактически некоторые особые возможности чисто практического разрешения проблем. Если аксиоматика обладает слабо скрытыми противоречиями в данном выше их понимании, то она, конечно, полностью освобождается от этих противоречий в процессе своего прояснения, ибо невозможно себе представить такую ситуацию, чтобы математическое сообщество не увидело противоречий, находящихся на расстоянии нескольких логических шагов от аксиом. Однако теоретически гарантировать полное устранение такого рода противоречий нельзя. Здесь мы опять встречаемся с ситуацией, с которой имели дело при рассмотрении процедуры счета. Никто не сомневается, что 12345, сложенное с 54321, даст в итоге 66666, но ясно также, что на теоретическом уровне нельзя исключить некоторую вероятность того, что человечество все еще продолжает заблуждаться в этом конкретном результате. Девис прав в том отношении, что теоретических доказательств отсутствия ошибки здесь не существует.
Это различие между возможностями теоретического и практического разрешения вопроса представляется принципиально важным для проблемы обоснования математики. Наши рассуждения о проблемах обоснования могут быть существенно продвинуты вперед, если мы уйдем от рассмотрения этих проблем только в свете чисто логических возможностей их разрешения и учтем практические критерии математического сообщества, обладающие надежностью. В наших дальнейших рассуждениях мы будем считать математическое сообщество абсолютно критериальным и не будем подвергать сомнению его способность к полному устранению противоречий, лежащих в сфере его практической достижимости.

Математическая теория признается математическим сообществом в качестве существующей прежде всего как система наличных доказательств, т. е. как система переходов от одних утверждений к другим, удовлетворяющая требованию аподиктической очевидности. Математическая теория начинается с теорем как непреложных внутренних связей между объектами. Признание теорем ведет к выявлению принципов, которые имеют своей целью объединить эти теоремы на едином и минимальном логическом основании.
Историческое становление математической теории может быть представлено как взаимовлияние и взаимокорректировка этих двух уровней математической теории. Трудности в формулировке аксиом являются следствием неопределенности и противоречивости определений в теле теории и устранение этих противоречий является необходимым условием становления адекватной аксиоматики. Первые попытки установления принципов дифференциального исчисления выявили, что в основе принятых алгоритмов этого исчисления лежит допущение А + а = А, где величина а является отличной от нуля. Поскольку этот принцип противоречил представлениям о математической строгости, принятым в элементарной математике, то постепенно было выработано новое основание математического анализа, базирующееся на понятии предела и позволяющееся избавиться от такого рода сомнительных допущений. Последовательное развертывание и приложение анализа, основывающееся на понятии предела, выявило, в свою очередь, недостатки в обосновании теорем, признанных ранее доказанными.

Движение аксиоматики к полноте и завершенности — это постоянная проверка теорем через аксиомы (уточнение истинного содержания теории и определенности производных понятий) и проверка аксиом через теоремы, (установление завершенности и совместности системы аксиом). Система аксиом, которая в начале своего формирования могла содержать в себе некоторые некорректности, неизбежно освобождается от них в процессе своего приложения к системе производных объектов. Здесь необходимо принять во внимание также и тот факт, что любая математическая теория развивается во взаимодействии с другими теориями и, таким образом, в процессе постоянной переинтерпретации своих утверждений в понятиях других теорий. Вновь появившаяся теория может содержать некорректности в определении своих основных понятий, которые устраняются в ее соприкосновении с другими системами понятий. Эйлер, как известно, считал возможным определить операцию умножения мнимых чисел таким образом, что (ai)(6i) = +ab. Большинство математиков не согласилось с этим, но спор был однозначно разрешен только после установления геометрической интерпретации комплексных чисел6. Огромное число примеров свидетельствует о том, что историческое взаимодействие математических теорий является мощным фактором логической гармонизации математического знания и установления окончательной системы исходных определений в каждой из них.
В общем плане это обычная диалектика уровней и структур, которая имеет место в любой теоретической системе. Ее особенность в математике состоит в том, что она обеспечивает здесь окончательное (абсолютное) обоснование исходной системы принципов. Здесь, очевидно, работает тот же механизм достижения абсолюта в конечном пространстве возможностей, о котором мы говорили при анализе надежности доказательства. Мы можем утверждать, что завершенная аксиоматика есть одновременно и абсолютно непротиворечивая аксиоматика вследствие объективной логики своего становления.
Скептик может отвергать законность этой идеи, указывая на то обстоятельство, что проверка математической теории на непротиворечивость посредством ее приложений всегда имеет относительный характер. Он может сказать, что она относится чаще всего только к некоторому фрагменту теории и что она происходит через ссылку к теории, непротиворечивость которой является проблематичной. Это возражение, однако, является истинным лишь по видимости. В действительности, мы имеем здесь ситуацию, совершенно аналогичную ситуации, связанной с установлением надежности доказательств. Как и в случае с доказательством, мы вправе предполагать здесь, что конечное число частичных проверок обеспечивает абсолютный результат: сформулированная система аксиом либо отбрасывается как противоречивая, либо принимается как стабильная и абсолютно корректная. Эти ситуации подобны в том, что как в той, так и в другой мы имеем дело в сущности с поиском необходимого варианта в конечном пространстве возможностей. Мы знаем, что такие ситуации, будучи неразрешимыми теоретически (алгоритмически), с полной определенностью разрешаются практически. Коррекция оснований математической теории происходит в конечное время, и мы фиксируем ее завершение по факту стабилизации аксиоматики, по отсутствию существенно иных вариантов, характерных для этапа ее становления. Факт стабилизации системы аксиом имеет общезначимый характер и может рассматриваться в качестве достаточного признака ее непротиворечивости.