Философия и основания математики

Устранимость обозримых противоречий

admin — Thu, 04 Mar 2010 12:03:20 +0000

Мы должны оставить здесь сферу чистой логики и использовать некоторого рода методологические доводы. Мы будем исходить из факта ретротрансляции математической истины, а также из соображений, связанных с обозримостью системы утверждений, принадлежащих элементарному фрагменту теории.
Как мы выяснили, противоречие в системе аксиом может содержаться в одной из следующих форм:
1. Явное противоречие, представимое в форме «А и ие-А».
2. Слабо скрытое противоречие вида А и В, где из В и из аксиом (исключая А) выводится не-А
3. Существенно скрытое противоречие, предполагающее для некоторой аксиомы А существование теоремы в пределах определяющего фрагмента, которая требует допущения не-А
4. Глубоко скрытое противоречие, не выявляемое в пределах определяющего слоя теории.
5. Недостижимое противоречие, не выявляемое практически осуществимым развертыванием теории.
Очевидно, что явные противоречия находятся в сфере практической устранимости и что становление аксиоматики является вместе с тем и полным устранением противоречий этого вида.
Из соображений об элементарности аксиоматики следует, что второй случай противоречивости практически равнозначен первому, ибо все простые аналоги аксиомы А выявляются вместе с самой аксиомой уже на начальном этапе развития теории. Как аксиома или как часть аксиомы утверждение В не может быть связано со сложными производными понятиями. Но это значит, что выведение из В отрицания А не может представлять из себя, проблемы с точки зрения математической практики. Слабо скрытая противоречивость устраняется из математической теории на самых ранних этапах ее систематизации. Нельзя себе представить становления какой-либо системы аксиом без одновременного выявления элементарных аналогов каждой из них.
Этот аргумент имеет, конечно, внелогический характер. Утверждая обозримость всех слабо скрытых противоречий, мы утверждаем фактически некоторые особые возможности чисто практического разрешения проблем. Если аксиоматика обладает слабо скрытыми противоречиями в данном выше их понимании, то она, конечно, полностью освобождается от этих противоречий в процессе своего прояснения, ибо невозможно себе представить такую ситуацию, чтобы математическое сообщество не увидело противоречий, находящихся на расстоянии нескольких логических шагов от аксиом. Однако теоретически гарантировать полное устранение такого рода противоречий нельзя. Здесь мы опять встречаемся с ситуацией, с которой имели дело при рассмотрении процедуры счета. Никто не сомневается, что 12345, сложенное с 54321, даст в итоге 66666, но ясно также, что на теоретическом уровне нельзя исключить некоторую вероятность того, что человечество все еще продолжает заблуждаться в этом конкретном результате. Девис прав в том отношении, что теоретических доказательств отсутствия ошибки здесь не существует.
Это различие между возможностями теоретического и практического разрешения вопроса представляется принципиально важным для проблемы обоснования математики. Наши рассуждения о проблемах обоснования могут быть существенно продвинуты вперед, если мы уйдем от рассмотрения этих проблем только в свете чисто логических возможностей их разрешения и учтем практические критерии математического сообщества, обладающие надежностью. В наших дальнейших рассуждениях мы будем считать математическое сообщество абсолютно критериальным и не будем подвергать сомнению его способность к полному устранению противоречий, лежащих в сфере его практической достижимости.

Механизм ретротрансляции истинности

admin — Sat, 27 Feb 2010 12:04:48 +0000

Математическая теория признается математическим сообществом в качестве существующей прежде всего как система наличных доказательств, т. е. как система переходов от одних утверждений к другим, удовлетворяющая требованию аподиктической очевидности. Математическая теория начинается с теорем как непреложных внутренних связей между объектами. Признание теорем ведет к выявлению принципов, которые имеют своей целью объединить эти теоремы на едином и минимальном логическом основании.
Историческое становление математической теории может быть представлено как взаимовлияние и взаимокорректировка этих двух уровней математической теории. Трудности в формулировке аксиом являются следствием неопределенности и противоречивости определений в теле теории и устранение этих противоречий является необходимым условием становления адекватной аксиоматики. Первые попытки установления принципов дифференциального исчисления выявили, что в основе принятых алгоритмов этого исчисления лежит допущение А + а = А, где величина а является отличной от нуля. Поскольку этот принцип противоречил представлениям о математической строгости, принятым в элементарной математике, то постепенно было выработано новое основание математического анализа, базирующееся на понятии предела и позволяющееся избавиться от такого рода сомнительных допущений. Последовательное развертывание и приложение анализа, основывающееся на понятии предела, выявило, в свою очередь, недостатки в обосновании теорем, признанных ранее доказанными.

Движение аксиоматики к полноте и завершенност

admin — Wed, 17 Feb 2010 12:05:09 +0000

Движение аксиоматики к полноте и завершенности — это постоянная проверка теорем через аксиомы (уточнение истинного содержания теории и определенности производных понятий) и проверка аксиом через теоремы, (установление завершенности и совместности системы аксиом). Система аксиом, которая в начале своего формирования могла содержать в себе некоторые некорректности, неизбежно освобождается от них в процессе своего приложения к системе производных объектов. Здесь необходимо принять во внимание также и тот факт, что любая математическая теория развивается во взаимодействии с другими теориями и, таким образом, в процессе постоянной переинтерпретации своих утверждений в понятиях других теорий. Вновь появившаяся теория может содержать некорректности в определении своих основных понятий, которые устраняются в ее соприкосновении с другими системами понятий. Эйлер, как известно, считал возможным определить операцию умножения мнимых чисел таким образом, что (ai)(6i) = +ab. Большинство математиков не согласилось с этим, но спор был однозначно разрешен только после установления геометрической интерпретации комплексных чисел6. Огромное число примеров свидетельствует о том, что историческое взаимодействие математических теорий является мощным фактором логической гармонизации математического знания и установления окончательной системы исходных определений в каждой из них.
В общем плане это обычная диалектика уровней и структур, которая имеет место в любой теоретической системе. Ее особенность в математике состоит в том, что она обеспечивает здесь окончательное (абсолютное) обоснование исходной системы принципов. Здесь, очевидно, работает тот же механизм достижения абсолюта в конечном пространстве возможностей, о котором мы говорили при анализе надежности доказательства. Мы можем утверждать, что завершенная аксиоматика есть одновременно и абсолютно непротиворечивая аксиоматика вследствие объективной логики своего становления.
Скептик может отвергать законность этой идеи, указывая на то обстоятельство, что проверка математической теории на непротиворечивость посредством ее приложений всегда имеет относительный характер. Он может сказать, что она относится чаще всего только к некоторому фрагменту теории и что она происходит через ссылку к теории, непротиворечивость которой является проблематичной. Это возражение, однако, является истинным лишь по видимости. В действительности, мы имеем здесь ситуацию, совершенно аналогичную ситуации, связанной с установлением надежности доказательств. Как и в случае с доказательством, мы вправе предполагать здесь, что конечное число частичных проверок обеспечивает абсолютный результат: сформулированная система аксиом либо отбрасывается как противоречивая, либо принимается как стабильная и абсолютно корректная. Эти ситуации подобны в том, что как в той, так и в другой мы имеем дело в сущности с поиском необходимого варианта в конечном пространстве возможностей. Мы знаем, что такие ситуации, будучи неразрешимыми теоретически (алгоритмически), с полной определенностью разрешаются практически. Коррекция оснований математической теории происходит в конечное время, и мы фиксируем ее завершение по факту стабилизации аксиоматики, по отсутствию существенно иных вариантов, характерных для этапа ее становления. Факт стабилизации системы аксиом имеет общезначимый характер и может рассматриваться в качестве достаточного признака ее непротиворечивости.

Слабость теорий Гуссерля

admin — Fri, 05 Feb 2010 12:22:32 +0000

Слабость теорий Гуссерля состоит в том, что она не разъясняет механизма стабилизации принципов. Какие факторы принуждают сознание, прибегающее к фантазии и вариации, останавливаться на определенных теоретических смыслах как абсолютных для данной системы фактов? Концепция Гуссерля не содержит сколько-нибудь удовлетворительного ответа на этот вопрос, который является основным для понимания статуса математических аксиом. В действительности, мы имеем здесь дело лишь с механизмом ретротрансляции истины, обусловленным системностью математической теории. Аксиоматика арифметики — это минимизированная, а следовательно, абсолютная теория для сингулярных истин арифметики, определенных представлениями предметной онтологии. В своей теории эйдетических истин Гуссерль мистифицировал механизм ретротрансляции истины, имеющий место в процессе самообоснования математических теорий.
Методологический анализ дает нам основание утверждать, что любая теория, включенная в центр математики и используемая для развития других теорий, является непротиворечивой в своей основе, независимо от своего содержания и от того, в какой мере это может быть подтверждено строгим логическим анализом. Диалектические аргументы позволяют, таким образом, защищать фактическую непротиворечивость математики, существующую независимо от возможностей ее логического обоснования. Важно отметить, что мы выходим здесь за пределы логики не на основе истинности аксиом или принципов метатеории, а на основе истинности фактов и механизма ретротранс-ляции истинности. Это более широкое основание для рассуждений о непротиворечивости математического знания, ибо оно в одинаковой мере применимо к любой математической теории.

Непротиворечивость содержательной теории

admin — Sun, 31 Jan 2010 12:24:05 +0000

От непротиворечивости содержательной аксиоматики мы должны перейти теперь к непротиворечивости содержательной теории в целом. Так как содержательно аксиоматизированная теория оставляет открытым вопрос о приемлемой логике, то здесь возникают проблемы, относящиеся к приемлемости некоторых типов определений, имеющих чисто логическую природу. Таковы, к примеру, непредикативные (самоприменимые) определения. Системный подход позволяет разрешить эту трудность на основе представления о системной детерминации определений. Мы можем поставить также вопрос о непротиворечивости обычного содержательного математического рассуждения, которое условно можно назвать рассуждением математических учебников, которое исходит из известных принципов, но не занимается строгим прояснением состава этих принципов. Поскольку математическая теория в этом смысле включает в себя понятия различной степени корректности, то постановка вопроса о ее непротиворечивости может показаться незаконной. Однако это неверно. Системные понятия позволяют выработать здесь достаточно значимые определения и критерии.

Завершенность математического понятия

admin — Thu, 14 Jan 2010 12:25:09 +0000

Завершенность математического понятия может быть обоснована также исходя из его конечной определимости. Математическое понятие, доказавшее свою эффективность, имеет неустранимое, логически оправданное содержание и не может иметь бесконечного количества дефектов. Но это значит, что необходимо конечное число познавательных контекстов, конечное число задач, решаемых с использованием этого понятия, для того, чтобы выявить эти дефекты и подойти к его адекватному определению в рамках данной теории.
Назовем общим (глобальным) обоснованием понятия его введение в теорию на основе признанных аксиом. Будем называть понятие локально обоснованным, если оно принято только на основе своей эффективности. Достаточно ясно, что в развитии математической теории локальное обоснование предшествует глобальному и само по себе может быть достаточным в смысле строгости. Понятия арифметики, евклидовой геометрии, теории вероятностей и т. п., разумеется, были строгими и до аксиоматизации этих теорий. Мы имеем основания утверждать, что возможно абсолютное логическое обоснование понятия исключительно на основе его использования. Такого рода локальное и абсолютное обоснование реализуется через взаимодействие данного понятия со смежными понятиями в процессе решения конкретных задач и не зависит от уровня логической систематизации теории в целом.
В качестве примера, иллюстрирующего движение понятия к полной корректности своих внутренних определений, можно рассмотреть развитие понятия дисЬференциала в XVIII веке. Первоначальное его понимание, как уже сказано выше (это относится как к трактовке Лейбница, так и к трактовке Ньютона), было мало приемлемым с точки зрения строгости. Не было, во-первых, однозначного решения вопроса о том, следует ли понимать эту величину большей нуля или равной нулю. Лейбниц склонялся к первому пониманию, в то время как Эйлер и некоторые другие математики развивали представление о дифференциале как о величине, равной нулю. Длительное время дифференциал отождествлялся с приращением функции, что привносило неясность и заведомую нестрогость в операции с этой величиной. Не было адекватного определения предела и непрерывности, что закрывало путь к полному теоретическому обоснованию понятия дифференциала и алгоритмов дифференциального исчисления вообще. Однако решение новых теоретических проблем и прикладных задач вело постепенно, но неизбежно к устранению всех этих неясностей. Лангранж провел строгое различение приращения функции и дифференциала как главного приращения. Даламбер, следуя Ньютону и Эйлеру, сделал ясным для математиков то обстоятельство, что при вычислении дифференциала мы имеем дело просто с предельным переходом и с отношением функций, которое может стремиться к любому числу при исчезающе малых приращениях этих функций. Стало ясно, что для строгого понимания дифференциала и алгоритма его вычисления следует уточнить интуитивное понятие предела и обосновать корректные правила обращения с этим понятием. Даламбер уже написал основные концептуальные равенства типа lim(a + b) = lima + lim6, но само понятие предела оставалось неопределенным, понимаемым на уровне интуитивной ясности. Коши завершил это прояснение основных понятий анализа посредством формальной экспликации понятия предела, которое давало возможность доказывать его существование и в тех случаях, в которых это не подтверждалось непосредственной интуицией. Мы можем сказать, что через полтора века после своего появления понятие дифференциала приобрело, наконец, строгое определение, не поддающееся какой-либо дальнейшей корректировке, изменяющей его смысл.

Кристаллическое образование в мире понятийных систем

admin — Sat, 02 Jan 2010 12:26:14 +0000

Математическая теория —- это кристаллическое образование в мире понятийных систем. Развитие математической теории имеет своим неизбежным результатом образование центрального ядра теории, которое является законченным и неразрушимым. Зрелая математическая теория родственна кристаллу по внутренней жесткости своих связей. Парменид утверждал, что мир неподвижен по той причине, что все места в нем заняты. Зрелая математическая Теория, как и сформировавшийся кристалл, не может изменять своих внутренних связей: в отношении своих основных понятий она абсолютно правильна и абсолютно закончена. Причем математическая теория в отличие от реального кристалла обладает безусловной (идеальной) законченностью. В кристалле как физическом объекте могут навсегда остаться некоторые погрешности структуры, не скорретированные в процессе становления. В математической теории это исключено, поскольку каждое поколение математиков строит этот кристалл заново, проверяя работу предшественников. Как и при проверке доказательств, математическое сообщество обладает здесь конечной во времени и абсолютной критериальностью.
Ясно, что формирование окончательной структуры математической теории определено наличием относящихся к ней завершенных доказательств. Центр математической теории приобретает неразрушимость вследствие того, что система составляющих его логических связей приобретает статус завершенных и не подлежащих корректировке. Его корректировка становится невозможной, вследствие того, что она потребовала бы отказа от теорем, обладающих завершенностью и полной надежностью. Достигая зрелости своих доказательств, теория одновременно приобретает и ту окончательную структуру, которая не подлежит изменению.
Сказанное означает, что математическая и эмпирическая теории существенно различаются в общей схеме своего исторического развития. В математической теории понятия неизбежно достигают уровня полной корректности, в эмпирической теории этого не происходит, в математической теории достигается полная стабилизация внутренних дедуктивных связей, эмпирическая теория в общем случае не имеет такого предела. Если рост эмпирической теории подобен росту города, при котором застройка периферии ведет к постоянной перестройке центра, то рост математической теории должен быть уподоблен росту кристалла, который характеризуется расширением центра, не подверженного более какими-либо радикальными изменениями. Это две различные схемы роста, соответствующие различным типам знания. Математические теории переживают стадию установления основ, но они не переживают революций, отвергающих эти основы.
Эмпирическая философия математики всегда пыталась подтянуть развитие математики к некоторой общенаучной схеме, позволяющей настаивать на относительности всех, даже наиболее обоснованных математических утверждений. Ясно, что этот замысел нереализуем. Развитие математической теории определено конечной и полной стабилизацией понятий, которая не имеет места в системе эмпирического знания.

Практическое оправдание определений

admin — Wed, 30 Dec 2009 12:26:33 +0000

Идея неразрушимого центра теории имеет важное методологическое значение, поскольку она позволяет нам говорить об обосновании понятий и принципов на основе факта их принадлежности к этому центру.
С методологической точки зрения важно то, что принадлежность к центру теории оправдывает логическую корректность определений даже в тех случаях, где собственно логическое оправдание в принципе недостижимо. Такая проблема существует, к примеру, в отношении непредикативных определений. Математики начала XX века намерены были полностью исключить непредикативные определения как содержащие логический круг, однако вскоре обнаружилось, что эти определения вовлечены даже в арифметические рассуждения. Некоторые формы непредикативных определений поддаются реабилитации через сведение их к рекурсивным определениям и на основе понятия конечной устранимости10. Достаточно очевидно, что полностью эта проблема неразрешима: мы не можем провести здесь строгой разграничительной линии на основе чисто логических определений. Те же проблемы возникают при использовании объектов, введенных на основе аксиомы свертывания. Эти проблемы, однако, могут получить решение на основе принципа системной детерминации.
Рассматривая вопрос о порочном круге в математических рассуждениях, связанных с использованием непредикативных определений, Гёдель писал: «Можно показать, что формализм арифметики не удовлетворяет принципу порочного круга в первой его форме, так как аксиомы влекут существование действительных чисел, определимых в этом формализме, только с обращением ко всему множеству действительных чисел. ...Я хотел бы рассматривать это как доказательство того, что скорее ложен принцип порочного круга, нежели ложна классическая математика...»11. За этим коротким замечанием Гёделя стоит в сущности новая идея принятия объектов и определений, устраняющая многие проблемы, порождаемые чисто логическим подходом. Суть ее состоит в том, что не логическая теория, а математическая практика определяет приемлемость той или другой системы определений.
Идея абсолютности локального обоснования дает нам практический принцип оправдания определений, основывающийся на их вхождении в состав зрелой теории. Если мы видим, что непредикативные определения существенны для обоснования признанных утверждений арифметики, то мы должны считать эти определения (в используемой форме) абсолютно корректными для данной теории. Если введение абстрактных объектов, основанных на аксиоме выбора, оказывается необходимым для обоснования центральных теорем математического анализа, то логическая корректность этой аксиомы и объектов, введенных на ее основе, не может быть поставлена под сомнение. В оправдании определений практика должна быть поставлена выше логики. Мы должны признать, что сама вызревающая теория демонстрирует нам типы допустимых объектов и что мы должны признать эти объекты в качестве корректных, независимо от возможностей их логического обоснования.
Эти соображения позволяют нам сделать более осмысленным введенное выше различение между логикой дедукции и логикой определений. Брауэр наставал на том, что все принципы логики должны быть выведены из практики математического мышления. В общем плане эта идея, конечно, не может быть принята. Логика дедукции, несомненно универсальна, автономна от математики и должна быть обрснована из самих целей мышления и независимо от какой-либо практики. Однако эта идея представляется верной для логики определений. Типы определений, которые мы принимаем в конкретной математической теории, заведомо не определены чистой логикой, ибо они различны в различных теориях. Это значит, что первичным и абсолютным критерием здесь может выступать только сама практика, проясняющая необходимость тех или иных определений для построения центра теории.
Вхождение определения в центр теории говорит не только о корректности данного определения, но о корректности его схемы или правила, лежащего в его основе, т. е. о приемлемости всех объектов, заданных в соответствии с этой схемой. Мы, таким образом, можем считать абсолютно оправданными все типы определений, вовлеченных в построение неразрушимого центра теории. Мы должны говорить о безусловном примате практики в процессе принятия определений в том смысле, что практически оправдавшие себя определения не могут быть устранены из теории, а принадлежность определения центру теории должна быть признана универсальным и абсолютным критерием его корректности.

Сфера абсолютной надежности

admin — Mon, 21 Dec 2009 12:27:49 +0000

Устанавливая факт непротиворечивости аксиоматического представления содержательной математической теории, мы достигаем конечной цели всего нашего рассуждения, ибо мы получаем возможность говорить о существенной непротиворечивости всех центральных математических теорий и об абсолютной непротиворечивости всех стабильных аксиоматик, признанных математическим сообществом. Мы приходим к пониманию того положения, что за коллективным восприятием математической теории как несомненно надежной лежит объективный факт, заключающийся в том, что теория находится на той стадии своего развития, когда возможные противоречия на ее периферии уже не затрагивают ее центра. Мы подходим здесь к обоснованию надежности математической теории не из анализа ее содержания или формальной структуры, а исключительно из логики ее становления.
Традиционная парадигма обоснования математики выдвигает на первый план структурное (формальное) представление математической теории как единственно соответствующее точной постановке проблемы обоснования и доказательного ее решения. Эта парадигме, определена философией начала XX века, которая приписывала надежность только формальному обоснованию. В настоящее время мы постепенно осознаем то обстоятельство, что формальная теория пторич-на по отношению к содержательной, поскольку она может принимать только те факты, которые обоснованы с содержательной точки зрения. Формализация теории не вносит в теорию никакой дополнительной истинности и никакой дополнительной надежности и достаточно очевидно, что непротиворечивость формализованного представления во всех случаях, в которых она фактически имеет место, есть лишь следствие гармонизации теории на содержательном уровне.

Цель обосновательных рассуждений

admin — Tue, 01 Dec 2009 12:28:09 +0000

Целью обосновательных рассуждений, в конце концов, является обоснование надежности содержательных математических теорий. Несомненно, что там, где достигается строгое логическое (метатеоре-тическое) обоснование непротиворечивости формализованного исчисления, оно может считаться полным обоснованием соответствующей содержательной теории, гарантирующим отсутствие противоречий в ее основных утверждениях. Логика обоснования заключается здесь в переходе от непротиворечивости формальной модели к непротиворечивости содержательного аксиоматического представления теории. Суть системного подхода состоит в том, что он нацелен непосредственно на обоснование непротиворечивости содержательных аксиоматических систем. Мы выводим здесь факт непротиворечивости теорий из анализа логики их развития и стремимся сформулировать признаки ее логической надежности без обращения к свойствам формализованной модели теории.
Если приведенные соображения верны, то нужно признать, что все основные теории современной математики вне зависимости от возможностей их логического анализа являются существенно непротиворечивыми и абсолютно непротиворечивыми в рамках их систематического аксиоматического представления. Это относится в данном случае не только к центральным теориям математики, таким, как арифметика, геометрия и алгебра, но и к таким теориям, как теория вероятностей, топология и теория множеств, в ее признанных аксиоматических представлениях.
Выше были приведены аргументы за непротиворечивость теории множеств, опирающиеся на онтологическую значимость ее основных аксиом. Системный анализ дает нам более убедительный подход к решению этой проблемы, опирающийся на факт стабильности ее аксиом. Теория множеств (это относится по крайней мере к наиболее употребительным и практически используемым ее представлениям) является, с системной точки зрения, не менее надежной, чем всякая другая теория современной математики, имеющая признанную аксиоматику.
Вся история развития теории множеств связана с сомнениями в ее корректности. В начале XX века, после того как Цермело представил первый вариант аксиоматического представления теории множеств (1908), Пуанкаре писал: «Автор думал избежать наиболее существенных парадоксов, запретив себе всякие спекуляции за пределами полностью замкнутого Menge; он думал избежать парадокса Ришара, не ставя никаких вопросов, кроме дефинитных, что по тому смыслу, который он вкладывает в это выражение, исключает всякое рассмотрение объектов, которые могут быть определены конечным числом слов. Но если он хорошо запер свою овчарню, то я не убежден, что он не запер туда и волка»14. Та же мысль звучит и в высказывании Г. Вейля, которое было сделано через четыре десятилетия: «...У нас нет гарантий непротиворечивости Z, — пишет Вейль, — за исключением того эмпирического факта, что до сих пор из нее не выведено никаких противоречий»15. Утверждения того же типа мы находим и в современных книгах по математической логике. Общий смысл их состоит в том, что хотя в рамках признанных аксиоматик теории множеств не выведено никаких противоречий, у нас нет полной гарантии, что это не произойдет в будущем.