Философия и основания математики

Переход от абстрактной идеи математической истинности к критериям истинности для конкретных принципов

admin — Mon, 26 Jul 2010 11:44:57 +0000

Теория онтологической истинности дает нам основу для прояснения и уточнения этой идеи. Здесь необходимо выделить три положения, которые обеспечивают переход от абстрактной идеи математической истинности к критериям истинности для конкретных принципов:
1. Реальность математической абстракции должна пониматься как ее онтологическая означенность, как внедренность ее в предметную онтологию, порожденную деятельностной ориентацией мышления.
2. Онтологическая истинность математических понятий и принципов является гарантией их абсолютной непротиворечивости в отношении друг к другу.
3. Возможно рациональное обоснование принадлежности конкретных математических принципов к сфере онтологической истинности.
Обоснование этих принципов устраняет неопределенность гёделев-ской установки. Теория онтологической истины позволяет нам обосновать в качестве истинных принципы классической логики, включая закон исключенного третьего, исходные аксиомы арифметики и евклидовой геометрии и, наконец, трансфинитные утверждения, такие, как аксиома бесконечности и аксиома выбора. Анализ онтологического основания математики позволяет понять математическую бесконечность как особую сущность, как необходимое представление предметной онтологии и, таким образом, как представление столь же базовое для математического мышления, как и понятие натурального числа. Мы поняли тот факт, что трансфинитные принципы не обосновываются на основе финитных, а утверждаются в своей надежности на основе собственного онтологического основания. Понимание совместности онтологических истин позволяет указать пути рационального расширения традиционных программ обоснования и распространения их На сферу анализа и теории множеств.
Последовательное обоснование этой позиции приводит к пониманию того факта, что всякая логическая программа обоснования математики является по своей сути онтологической, ибо она нуждается в оправдании некоторой системы исходных принципов в качестве непосредственно истинной. В логическом обосновании математики мы должны уйти как от тесного финитизма, так и от неконтролируемой интуитивности, ведущей к противоречиям. Единственным ориентиром, указывающим границы допустимого отступления от финитности, является здесь понятие онтологической истинности.
С этой точки зрения мы должны считать совершенно несостоятельными все призывы к очищению математики от онтологии как от некоторого рода метафизики. Антионтологизм в философии математики идет .прежде всего от конвенционализма, который понимает математическую реальность как только гипостазирование смыслов, вырабатываемых в рамках формальных структур. Он органически присущ интуиционизму, который мыслит математические объекты как только мысленные конструкции, приемлемые в плане той или другой задачи. Деятельностная теория познания рассматривает математические предметы не как отражение предметов опыта и не как изобретения интеллекта, а как экспликацию предметных представлений, относящихся к универсальной форме мышления. Это значит, что онтология, предполагаемая математикой, —не произвольное построение, которое может быть изменено следующим поколением математиков, а система вневременных интуиции, лежащих в основе человеческого мышления. Достаточно ясно, что отказ от понятия онтологической истинности был бы разрушением всех разумных путей к обоснованию математики69.
Принципиальным моментом гёделевской позиции является тезис о существовании единственной истинной арифметики и единственной истинной теории множеств. Выявление истинных математических теорий дает нам ключ к обоснованию математики в целом, ибо онтологически истинные теории должны быть признаны в качестве абсолютно непротиворечивых. Существование единственной онтологически истинной арифметики, конечно, не противоречит возможности иных арифметик, обладающих логической непротиворечивостью.
Неудача попыток логического обоснования математики привела к возрождению эмпирической философии, к идее математики как некоторого рода абстрактной физики, которая не гарантирована от корректировки и пересмотра своих основ.
Это, конечно, ложное направление мысли. Математика — не физика и не система соглашений, допускающая изменение под влиянием внешних обстоятельств. Выявление несостоятельности логических подходов должно, в действительности, привести нас не к эмпиризму, а к онтологии, к пониманию особой связи математических теорий с категориальной картиной мира.

Сущностный характер евклидианского обоснования

admin — Fri, 09 Jul 2010 11:45:15 +0000

Лакатос выделил три типа обоснования теории: евклидианское, ин^ дуктивистское и эмпирицистское70. Суть евклидианского обоснования состоит в том, что истина входит здесь в исходные принципы теории и течет «вниз», к более конкретным утверждениям по дедуктивным каналам передачи истинности. Евклидианское обоснование, таким образом, это аксиоматическое обоснование теории в том случае, когда у нас имеются внелогические доводы за безусловную истинность аксиом. Все традиционные программы обоснования являются евклидиан-скими в том смысле, что они, в конечном итоге, ставят своей задачей свести все содержание теории (или вопрос о ее непротиворечивости) к некоторому множеству безусловно истинных (тривиальных) суждений, логическая совместность которых не подлежит сомнению.
Лакатос был убежден в том, что схема евклидианского обоснования не соответствует логике развития современной науки. Поиски чистого евклидианского обоснования любой науки, в том числе и математики, по его мнению, должны быть оставлены, как покоящиеся на заблуждениях априоризма. Полное обоснование на основе несомненно истинных принципов, с этой точки зрения, не более чем некий идеал, на который ориентируется мышление, но которого оно никогда не достигает в реальной практике обоснования. Лакатос исключает также и возможность индуктивного обоснования математической теории, опирающегося на бесспорные единичные факты (сингулярные суждения). Законы логики запрещают, по его мнению, движение истины «снизу вверх», от фактов к принципам.
Истинное обоснование научного знания, по Лакатосу, — это эмпирицистское или гипотети ко-дедуктивное обоснование, которое не допускает вхождения абсолютной истины в теорию ни сверху, ни снизу, которое рассматривает ее относительной на всех уровнях и перемещает внимание с вопроса: «Каким образом мы знаем истину?» на вопрос: «Каким образом мы улучшаем догадки?». Лакатос убежден, что эта схема обоснования относится и к математике, с тем лишь изменением, что речь здесь идет о фактах существенно иной природы71.
Система рассуждений Лакатоса направлена на то, чтобы доказать нереализуемость идеала безупречного логического обоснования математики и тщетность всех попыток выделить математику из системы остальных наук как строгую и абсолютно обоснованную науку. Для всякого знания, по Лакатосу, всегда остается истинным то положение, что основания не могут быть обоснованы и прогресс обоснования имеет смысл лишь как улучшение имеющихся оснований.
Теория онтологической истинности, очевидно, отвергает логику рассуждений и выводы Лакатоса. Праксеологический анализ показывает, что мы вправе говорить об абсолютно строгих доказательствах и безусловно истинных посылках, лежащих в основе математического мышления. С праксеологической точки зрения, редукция к аподиктической истине — необходимый момент развития математического знания и эта редукция, будучи достигнутой, должна считаться безусловным и окончательным обоснованием редуцированного знания. Мы должны, таким образом, утверждать прямо противоположное тому, что говорит Лакатос, а именно, мы должны настаивать на том, что евклиди-анское обоснование математических теорий проистекает из сущности математического знания и что оно обеспечивает абсолютное обоснование математической теории, не корректируемое дальнейшим развитием математики.

Эмпирицистская (гипотетико-дедуктивная) и евклидианская схемы обоснования

admin — Sun, 04 Jul 2010 11:45:35 +0000

Эмпирицистская (гипотетико-дедуктивная) и евклидианская схемы обоснования не должны противопоставляться друг другу, ибо они выражают, в действительности, не исторические стадии в развитии идеи обоснования, как это склонен был думать Лакатос, а взаимодополнительные типы обоснования, соответствующие различным типам научного знания. Обоснование математического знания, в действительности, может быть только редукцией к аподиктической очевидности. По своей сути оно может быть только евклидианским, так как оно должно ориентироваться на абсолютный фундамент, выявляемый в аподиктической очевидности.
Истины логики и собственно математические истины, связанные с предметной онтологией, составляют два глубинных корня математического мышления, определяющие содержание первичных математических теорий и метод математического мышления в целом. Оба этих типа истины обусловлены деятельностной ориентацией мышления и представляют собой инвариантную и незыблемую основу человеческого мышления вообще. Прояснение этих положений открывает путь к оправданию евклидианского обоснования как сущностного для математической науки. С этой точки зрения, мы должны признать, что выдающиеся математики, наметившие программы обоснования, находились, в принципе, на правильном пути, ибо вопреки всякому скептицизму они стремились выявить незыблемую и некорректируемую основу математического мышления, которая была бы достаточной для оправдания всего значимого содержания математики. Существование сферы такого рода необходимых истин не вызывало у них никаких сомнений. Истоки этой веры, очевидно, проистекали из самой практики математического мышления, в которой каждое доказательство представляет собой редукцию сложных истин к более простым и, в конечном итоге, к истинам, не подвергаемым сомнению.
Теория онтологической истины оправдывает эту веру. Недостаток традиционных программ обоснования математики состоял не в их ев-клидианском характере и не в претензии их на абсолютность, а лишь в отсутствии теории оправдания абсолютности, присущей математическому мышлению по его природе.

Перспективы надежного обоснования

admin — Fri, 25 Jun 2010 11:46:08 +0000

Последовательное проведение онтологической программы позволяет утверждать абсолютную непротиворечивость элементарной математики, т. е. арифметики и евклидовой геометрии. Непротиворечивость арифметики в соответствии с изложенным здесь подходом может быть обоснована различными путями. Она непосредственно следует из факта аподиктической очевидности ее аксиом, доказывается возможностью ее логицистского и интуиционистского представления, она может быть обоснована в формалистской программе посредством генценовского (или подобного ему) доказательства непротиворечивости. В соответствии с теорией онтологической истинности каждый из этих подходов дает абсолютное обоснование непротиворечивости арифметики.
Это значит, что вторая проблема Гильберта, сформулированная как вопрос о возможности строгого обоснования непротиворечивости арифметики, должна считаться в настоящее время несомненно разрешенной в положительном смысле. Специфика этой проблемы состоит в том, что ее полное решение не является чисто математическим, а неизбежно связано с выходом в теорию познания. Колебания, имеющие здесь место до сих пор, объясняются прежде всего указанной двойственностью ее статуса: в чисто логическом плане, без привлечения гносеологической аргументации, оправдывающей возможность использования трансфинитных аксиом, эта проблема не может быть решена.
Большинство современных логиков, ориентируясь на теорему Гё-деля о непротиворечивости, все еще придерживаются мнения, что непротиворечивость арифметики представляет собой факт, обоснованный практикой, но не имеющий математического обоснования, соответствующего стандартам полной строгости. А.Н. Колмогоров и А.Г. Драгалин в своем учебнике по математической логике высказывают мнение, что непротиворечивость арифметики «можно считать твердо обоснованной»72. Слова «можно считать» выдают некоторое колебание, которое, несомненно, также связано с признанными запретами на финитное обоснование. Принятие критериев обосновательно-го рассуждения, основанных на понятии онтологической истинности, устраняет здесь всякую неопределенность.
Обоснование непротиворечивости арифметики указывает путь к обоснованию арифметики действительных чисел и математического анализа в тех пределах, в которых он может быть построен на арифметике действительных чисел. Обоснование операций с действительными числами, разработанное Р. Дедекиндом, основывается на аксиоме непрерывности, которая фиксирует в себе интуитивное представление о прямой линии как непрерывной протяженности7251. Преследуя цель полной арифметизации, Д. Гильберт заменил эту аксиому двумя аксиомами: аксиомой Архимеда и аксиомой Полноты, которые могут быть истолкованы в качестве чисто арифметических, не связанных с геометрической наглядностью. Для онтологического обоснования анализа более приемлем подход Дедекинда, поскольку аксиома непрерывности может быть обоснована как онтологически истинное утверждение, относящееся к общему представлению о величине. Понимание категориальной основы этой аксиомы дает расширение обосновательного слоя, достаточное для полного обоснования анализа.
Важным продвижением в этом направлении является сведение основного содержания анализа к аксиоматике геометрии прямой. Традиционное обосновательное мышление отвергает апелляцию к геометрии как не обеспечивающей полной строгости рассуждения. Мы видели негативное отношение к такому способу обоснования у Больца-но, Фреге, Вейля и Брауэра. С онтологической точки зрения — это методологический предрассудок, проистекающий из отождествления геометрической очевидности с очевидностью эмпирической. Адекватная теория онтологической истинности ставит геометрическую очевидность рядом с арифметической и логической и устраняет все сомнения в корректности математического анализа в той его части, в которой он может быть сведен к аподиктической очевидности геометрических образов.
Таким образом, мы можем заключить, что минимальная задача об-основательной программы, заключающаяся, по Бернайсу, в обосновании математического анализа, несомненно, реализуется онтологическим подходом. Математический анализ, хотя он радикально отличается от арифметики как имеющий дело с объектами, обладающими непрерывностью, в действительности, в своих посылках не выходит за сферу онтологической истинности, таким 'образом, относится к области математики, имеющей полное и абсолютное обоснование73.

Понятие онтологической истинности

admin — Mon, 07 Jun 2010 11:46:39 +0000

Понятие онтологической истинности позволяет нам также наметить ряд подходов к разрешению вопроса о непротиворечивости теории множеств. Анализ логицистских систем, как мы видели, уже указывает подход, в определенном смысле разрешающий проблему. Та же цель достигается и в интуиционистском анализе, расширенном за счет принципа трансфинитной индукции. Если мы можем подойти к абсолютному обоснованию анализа, то современные логические исследования позволяют сделать вывод об абсолютной непротиворечивости всех наиболее существенных разделов теории множеств. Проблемными теориями остаются в этом случае только «богатые» теории множеств, которые являются мало существенными для математики с точки зрения ее функции. Если изложенная здесь теория онтологической истинности принципов математики является истинной, то современная математика должна быть признана в качестве абсолютно обоснованной. Неопределенность в этом вопросе, существующая до сих пор в умах математиков и философов, проистекает исключительно из неразвитости философии математики и должна быть устранена прогрессом в этой области знания.
Особое место теории множеств в плане логического обоснования, ее сложность в этом отношении, еще требует прояснения. Простота системы отношений, на которых она сформулирована, как кажется, противоречит этому факту. Одно из обстоятельств, определяющих этот факт, заключается, по-видимому, в особенностях ее интуитивной основы. Рассматривая систему аксиом ZF, мы видим, что она содержит в себе положения, которые нельзя отнести ни к сфере логических, ни к сфере онтологических истин. Такова, к примеру, аксиома фундированное™, утверждающая, что все множества построены в конечном итоге из элементов, которые не являются множествами. Очевидно, что это не истина логики и не истина деятельностной онтологии. Для Демокрита ммр состоял из неделимых атомов и в этом смысле все сложное в мире сводилось в конечном итоге к простым элементам. С точки зрения Лейбница всякая монада содержит в себе бесконечное количестве Монад, и с этой точки зрения в мире нет ничего простого. Кант, как известно, противопоставил эти точки зрения на строение мира в качестве одной из своих космологических антиномий. Принимая аксиому фундированности, мы фиксируем более простое, демокри-товское видение мира, оставляя в стороне другое видение, ничуть не менее реальное в метафизическом плане и не более противоречивое с точки- зрения логики. Но это значит, что за аксиоматикой теории множеств, в отличие от аксиоматики арифметики, элементарной геометрии и математического анализа, нет безусловной необходимости, нет той «немыслимости иного», о которой говорил Сггенсер. Математики часто обращают внимание на очевидность аксиом ZF, желая тем самым сблизить принципы теории множеств с принципами элементарных математических теорий, но мы не должны упускать здесь различие между онтологической очевидностью, проистекающей из онтологии математики, и простой наглядностью, которая может иметь эмпирические или натуралистические истоки. Мы должны заключить,таким образом, что аксиоматика теории множеств, взятая как целое, менее качественна в плане своей содержательной основы, чем аксиоматика арифметики или математического анализа. Можно сказать, что она имеет натуралистический характер, поскольку содержит в себе допущения, заведомо выходящие за сферу онтологической истинности. Но это значит, что попытки обоснования теории множеств на основе только онтологически истинных посылок обречены на неудачу.
Здесь будет полезна аналогия с логикой обоснования неевклидовой геометрии у Лобачевского. Как известно, Лобачевский исходил из телесной интерпретации аксиом евклидовой геометрии, основанной на представлении тела, сечения тела и соприкосновения тел. Проблема обоснования аксиомы параллельности была поставлена первоначально в рамках этой интерпретации. Поскольку аксиома параллельности оказалась единственной из аксиом, не выводимой на основе этой интерпретации, то она могла быть понята как произвольная и допускающая замену. С онтологической точки зрения в теории ZF такого рода произвольной посылкой, заведомо выступающей за рамки онтологической интерпретации, является аксиома фундированности, и с этой точки зрения проблема непротиворечивости теории ZF могла бы состоять в логическом обосновании совместности этой аксиомы с остальными аксиомами этой теории. Понятно, что такой подход опирается на предположение, что остальные аксиомы системы удовлетворяют требованию логической или онтологической истинности.

Пределы логического обоснования

admin — Tue, 01 Jun 2010 11:47:32 +0000

Понятие онтологической истинности позволяет по-новому взглянуть на границы строгого обоснования математики. Оптимистический момент, который мы в достаточной степени прояснили, состоит в том, что к сфере строгого обоснования мы можем отнести, в действительности, значительно большую часть математики, чем та система простых теорий, относительно которых можно провести доказательство непротиворечивости в финитной метатеории.
Однако нетрудно убедиться, что намеченная программа, даже в наиболее либеральной ее формулировке, все-таки не дает нам универсального подхода к решению проблемы. Мы должны учесть здесь режде всего тот факт, что сфера аподиктически очевидной математики коррелятивна сфере категориального видения мира, которая имеет вневременный и инвариантный характер. Мы имеем основания предполагать, к примеру, что представления Евклида о свойствах прямых и плоскостей ни в чем не отличались от наших и что они не могут измениться и для будущих математиков. Система аподиктических истин — это узкое и абсолютно инвариантное ядро математического знания, имеющее ограниченные дедуктивные возможности. С другой стороны, несомненным является факт постоянного усложнения математических структур. Хотя любая математическая теория опирается на аподиктически очевидный центр как на глубинное основание своего метода, в становлении своих определений и принципов она независима от его дедуктивных и конструктивных возможностей. История математики — это постоянное усложнение ее структуры, процесс зарождения теорий, находящихся за пределами воображения предшествующих поколений математиков и качественно новых по составу своих понятий. Простое сопоставление этих двух фактов говорит об ограниченности сферы онтологического обоснования: у нас нет оснований утверждать, что любая математическая теория может быть сведена к онтологически истинной основе и обоснована на основе онтологической истинности.
В своей истории математика дважды приводилась к единству своего содержания на основе небольшой группы самоочевидных принципов, не подвергаемых сомнению. Первая такая редукция (тривиализация) была осуществлена в «Началах» Евклида, вторая, по общему признанию, — в середине XIX века в работах К. Вейерштрасса и Р. Дедекинда по арифметизации анализа. Можно утверждать, что теория множеств, поскольку ее аксиомы самоочевидны и поскольку она определяет содержание существующей математики, как раз и является базой новой тривиализации. Однако мы должны учесть здесь полуонтологический характер теоретико-множественной аксиоматики, и то обстоятельство, что, являясь очевидной и предельно убедительной в своей истинности, она тем не менее не обладает статусом аксиом арифметики и геометрии. Хотя теория множеств в определенном смысле унифицирует современную математику, она не представляет собой ее онтологического обоснования и такое обоснование для современной математики, скорее всего, недостижимо.

Формализуемые аспекты универсальной онтологии

admin — Fri, 28 May 2010 11:48:04 +0000

Многие факты позволяют думать, что арифметика, геометрия и теория множеств исчерпывают в себе все формализуемые аспекты универсальной онтологии, вследствие чего математика будущего не может иметь какого-либо онтологического основания кроме того, которое уже зафиксировано в рамках этих онтологически означенных теорий. Если это так, то онтологическое обоснование математики распространяется только на часть математических теорий, не очень удаленных от исторического центра математики. Это значит, что используя онтологические доводы, мы можем расширить возможности евклидианского подхода, но не можем прийти к программе, имеющей универсальное значение.
Это положение следует и из непосредственного рассмотрения программ обоснования. Гильбертовский замысел состоял как раз в создании программы, имеющей универсальное значение. Этот замысел, конечно, не мог быть реализован. Принципиальная ограниченность формалистской программы обоснования следует уже из того факта, что каждое такое обоснование является индивидуальным, особенным для каждой теории, связанным с ее конкретной структурой. Возможность формалистского обоснования непосредственно зависит от сложности теории. Если ограниченная арифметика поддается обоснованию в соответствии с гильбертовской схемой, то арифметика в целом не допускает такого обоснования, абсолютное обоснование аксиом геометрии без аксиомы непрерывности не распространяется на геометрическую, аксиоматику в целом и т.д. Поскольку эта индивидуальность подхода,, зависимость его конкретной структуры теории сохраняется и при возможных расширениях метатеории, о которых шла речь выше, то это расширение лишь отодвигает границу досягаемости, но никогда не устраняет ее полностью. Программа логического обоснования математики могла бы претендовать на универсальность лишь в том случае, если бы она исходила исключительно из общих свойств математической теории, т. е. из свойств формальной структуры вообще, не связывая себя с конкретными качествами рассматриваемой теории типа финитности, разрешимости, сложности и т. п.
Наша оценка онтологической программы, таким образом, должна быть двоякой. С одной стороны, мы должны настаивать на ее возможности существенно расширить сферу логического обоснования математики. С другой стороны, мы должны утверждать, что расширение сферы действия логических программ и использование методов содержательного обоснования непротиворечивости теорий на основе онтологической истинности их аксиом не устраняет проблему обоснования в ее общей постановке. Освобождение от логических ограничений, связанных с понятием финитности, не открывает еще нам пути к универсальности. Устраняя методологические барьеры типа финитности и конструктивности, мы неизбежно встречаемся с онтологическим барьером, проистекающим из самой сущности логико-онтологического обоснования математики и допустимых здесь средств. Всякая логическая программа обоснования, как бы широко она не была сформулирована, ограничена консервативной содержательной базой обоснования, привязанной к аподиктической очевидности, и индивидуальными характеристиками самой теории, которые неизбежно делают ее частной программой.
Здесь возможны два выхода: либо мы должны указать на некоторые принципиально новые подходы, достаточно качественные и соразмерные математике в целом, либо мы должны согласиться с фаллиби-листской идеей о невозможности полного обоснования математики, оговаривая при этом, что этот тезис не относится к теориям, подчиненным теории множеств, которые в принципе могут получить абсолютное обоснование своей непротиворечивости. Наш успех в этом случае будет состоять в том, что мы обосновали абсолютную надежность некоторых теорий, логическое обоснование которых считалось невозможным, отвоевав у скептиков некоторую область за пределами простых систем в метатеоретическом их понимании.
Многие факты указывают на то, что мы должны двигаться в соответствии с первым вариантом. Практика показывает, что строгость математической теории не зависит от характера принципов, лежащих в ее основе. Нет никаких оснований считать, что математик, рассуждающий о топологических классификациях или вероятностных распределениях, рассуждает менее строго, чем математик, решающий элементарную арифметическую задачу. Любая математическая теория независимо от своего содержания ведет себя как совершенно определенная система, гарантирующая получение истинных следствий из истинных посылок. Но это значит, что причины, принуждающие нас рассматривать математическое рассуждение в качестве абсолютно строгого, никак не зависят от содержания его посылок и от возможности редукции его содержания к аподитически очевидным истинам или к несомненно обоснованным теориям. Но существование общезначимого, практического критерия строгости рассуждения, не связанного с содержанием теории, предполагает и наличие соответствующего теоретического критерия, т. е. системы принципов, обосновывающих наше восприятие математического мышления как абсолютно надежного.
Основной недостаток логического подхода к обоснованию математики состоит не в том, что он не дает абсолютного обоснования — аргументы скептиков здесь совершенно несостоятельны, а в том, что он не вытекает из общего определения математической теории и, следовательно, заведомо не может претендовать на универсальность. Теоретическая задача состоит, таким образом, в переходе к новым критериям, которые бы совмещали в себе абсолютность обоснования, общезначимость и универсальность — применимость к математике в целом.

Объекты, факты и принципы

admin — Tue, 11 May 2010 11:49:38 +0000

Для понимания нового подхода нам нужно произвести некоторые уточнения таких понятий философии математики, как математический объект и математический факт. Математическая теория покоится на замкнутой иерархии объектов, которая делает эту теорию отличной от других математических теорий. Математик имеет дело, во-первых, с объектами исходными, принятыми на основе очевидности, а во-вторых, с объектами производными, полученными на основе различных типов внутренних определений. Два этих класса объектов имеются в любой математической теории. Исходные объекты можно назвать также элементарными, поскольку они лежат в основе всех других определений данной теории. Отличительным признаком исходных объектов является безусловная очевидность их свойств. Производные объекты, как правило, не обладают этим качеством. Математическая теория, начиная с интуитивно ясных объектов и образов, неизбежно восходит к конструкциям, которые будучи строго определены, тем не менее лишены непосредственной ясности своих свойств.
Необходимо отметить два свойства математических объектов, которые важны для понимания строения и развития математической теории. Важнейшее из них — это конечная определимость, заданность математического объекта конечным числом свойств. Этот момент существенно отличает математические объекты от эмпирических, которые бесконечны в том смысле, что их теоретическое определение лишь намечает систему его качеств и не исключает открытия качеств, не согласующихся с принятым определением. Определение в эмпирической теории не задает объект, а лишь указывает на него, как на некоторую сущность, обладающую, в принципе, бесконечным числом независимых друг от друга свойств. В отличие от этого, все свойства математического объекта определены конечным числом требований, зафиксированных в аксиомах или в его исходных определениях. Эта особенность математического объекта проистекает из сущности математической теории как формальной системы, в которой объекту могут быть приписаны лишь свойства, согласованные с его исходным определением.
Другая особенность математических объектов состоит в их строгой соподчиненности. В процессе развития математической теории ее объекты выстраиваются в жесткую иерархию, которая не зависит от произвола отдельного математика и математического сообщества в целом. Понятие натурального числа объективно является более элементарным, чем понятие действительного числа, а понятие действительного числа — более элементарным, чем понятия функции или интеграла, и это объективное соподчинение не может быть устранено никакими перестройками теории. Математическая теория — это прежде всего иерархия зависимых друг от друга объектов, которая однозначно задана в том смысле, что соподчинение соответствующих понятий не может быть изменено произвольно и молекулярные понятия не могут выполнять функцию атомарных. Для каждой математической теории атомарные понятия выделены объективно, самим ее содержанием и не могут быть произвольно изменены.

Понимание логики развития математической теории

admin — Sun, 02 May 2010 11:49:59 +0000

Понимание логики развития математической теории существенно опирается на понятие математического факта. Под математическим фактом следует понимать прежде всего первичные (сингулярные) высказывания о математических объектах и их связях типа 2 + 2 = 4. Такого рода истины не доказываются и не выводятся из принципов, но подобно первоначальным фактологическим истинам эмпирических наук должны быть приняты как нечто совершенно первичное и безусловное. Выше мы установили, что истины указанного вида непосредственно и с абсолютной необходимостью навязаны нашему сознанию системой онтологических представлений. Они не могут быть изменены в рамках рационального познания, имеющего данную категориальную структуру. В качестве математических фактов следует принять также и интуитивно ясные обобщения типа а + b = Ь + а. Здесь мы имеем дело уже с некоторыми абстракциями от непосредственных праксео-логических очевидностей, но эти абстракции такого рода, что они не нарушают идеальной истинности абстрактных принципов: общее суждение: a + b = b + a —-не менее очевидно и не менее надежно, чем любое сингулярное утверждение типа 2 + 3 = 51.
К системе математических фактов относятся также все суждения, фиксирующие результаты внутри математических процедур проверки, основанных на аподиктической очевидности. Если некто говорит, что число 2 является корнем уравнения х2 — 5х + 6 = 0, то он утверждает безусловно истинный факт, поскольку истинность этого высказывания гарантируется проверкой в сфере аподиктически очевидных процедур.
Наконец, к фактологическому основанию математики следует отнести все признанные математические доказательства. Если некоторое доказательство принято как окончательное, то оно неустранимо как определенная связь между суждениями в математической теории, вне зависимости от того, являются ли посылки этого доказательства интуитивно ясными, онтологически или эмпирически значимыми. Мы переходим в математической теории от одних доказательств к другим на основе аксиом, точно так же как в эмпирической теории мы переходим от одних фактов к другим на основе принципов. Если говорить в общем плане, то к фактологической основе математической теории мы должны отнести все утверждения, которые обоснованы в сфере аподиктической очевидности. Это и естественно. Аподиктическая очевидность — это генетическая основа и логический фундамент математической теории. Вся система утверждений, будь это единичные высказывания, непосредственные их обобщения или сложные теоремы, которая строго сводится к этому фундаменту, выступает в дальнейшем развитии теории в качестве абсолютной фактуальной основы, с которой должны быть согласованы все абстрактные принципы теории.

Отличия от теории эмпирической

admin — Thu, 29 Apr 2010 11:51:37 +0000

Первая особенность математической теории, отличающая ее от теории эмпирической, состоит в абсолютном характере ее фактологической основы. Противоречие между принципами и фактами в эмпирической теории разрешается не обязательно в пользу фактов: здесь могут быть пересмотрены, уточнены, переинтерпретированы и даже устранены (признаны несуществующими) сами факты. Диалектика теории и фактов в эмпирических теориях неизбежно ведет к постепенному сдвигу обоих полюсов. Попперовская концепция относительности базовых утверждений научной теории в своей основе является, конечно, верной. Но эта концепция не может быть перенесена на математику. В отличие от фактов опыта математические факты, поскольку они значимы в сфере аподиктически очевидного и полностью определены в ней, обладают абсолютной значимостью и не могут быть скорректированы на основе каких-либо теоретических соображений. Сфера математических фактов в этом отношении является абсолютной и, как следствие, внутренняя диалектика математической теории реализуется исключительно за счет перестройки системы теоретических допущений.
Другая особенность математической теории заключается в том, что ее исходные принципы (аксиомы) не только однозначно определяют состав возможных теорем, но и сами однозначно определяются системой признанных теорем. Из принципов физической теории мы выводим определенное множество заключений о фактах — внутренних связях теории, имеющих непосредственную эмпирическую интерпретацию, но сами эти факты никогда не рассматриваются здесь как определяющие множество принципов. В методологии физики мы говорим о том, что одна и та же система фактов в принципе может быть объяснена на основе самых различных теоретических гипотез. Система эмпирических фактов никогда не является достаточной для утверждения некоторых принципов как единственно возможных. В математической теории между теоремами и аксиомами существует одинаково жесткая зависимость в обе стороны: из аксиоматики следует определенное множество теорем и, напротив, принятие в качестве истинных определенного числа теорем требует однозначного признания определенной аксиоматики. Если теорема Пифагора признана, то и аксиома параллельности Евклида признана и т.д. То есть в математической теории мы можем говорить как о строгом выводе теорем на основе аксиом, так и о строгом выводе аксиом на базе принятых теорем. Если modus ponens позволяет нам переходить от аксиом к теоремам, то modus tollens служит основой выявления аксиом, достаточных для доказательства признанного множества теорем. Это важная особенность логического строения математической теории, позволяющая говорить о регротрансляции истинности от фактов к принципам в математической теории, которая очевидно не имеет места в теории эмпирической. Истина вводится в фактуальное основание и течет к принципам, которые получают здесь строгую определенность и однозначное обоснование на основе фактов.
Наиболее важная особенность математической теории состоит в том, что становление аксиоматики достигает здесь предельного состояния, закрывающего возможность дальнейших ее изменений в смысле заключенного в ней содержания. В отличие от эмпирической теории для математической теории является осмысленным понятие абсолютно завершенной системы принципов. В этом контексте мы можем говорить также об идеальной факхуальной истинности как о полной логической симметрии принципов и фактов, устанавливающейся в конечном итоге в развивающейся математической теории. Математическая теория достигает состояния полной завершенности аксиоматики точно так же, как она достигает полной завершенности своих доказательств. Это не внешняя аналогия, а сущностное тождество, проистекающее из природы математического мышления.
Математическая теория, как и теория эмпирическая, появляется первоначально как некоторая система интуитивно ясных утверждений и бесспорных логических связей, относящихся к определенной системе фактов. На этой начальной стадии мы, очевидно, не имеем еще ни полной системы принципов, необходимых для описания исходных объектов, ни целостности самой системы объектов, ни гарантии логической совместности утверждений, принятых в теории. Появление первой несовершенной аксиоматики устанавливает относительное единство утверждений, выявляет логическую последовательность их развертывания и позволяет сделать всю систему теорем более целостной и законченной. Анализ этой системы приводит, в конечном итоге, к формулировке более полной и систематичной аксиоматики и т.д. Мы имеем основание утверждать, что в математической теории, в отличие от физической, эта диалектика конечна, что она завершается в конечное время полной стабилизацией аксиоматики, формулировкой ее в такой форме, которая исключает дальнейшее ее совершенствование в плане заключенного в ней содержания. Диалектика фактов и принципов в математической теории неизбежно завершается достижением предела, выявлением системы аксиом, идеально соответствующей содержанию теории.
Эмпирические теории в этом отношении существенно отличаются от теорий математических. Разумеется, стремление к полноте и законченности принципов имеется и здесь и в определенном смысле оно достигается. Принципы механики, сформулированные Ньютоном, представляют собой пример такого рода завершенной теоретической системы. Однако физическая теория, будучи нацелена на определенный внешний предмет, всегда остается открытой для логических контрпримеров и для соответствующей перестройки принципов. Стабилизация физической теории — это стабилизация по отношению к фрагменту опыта, т. е. к некоторой внетеоретической реальности, и может быть реализована всегда лишь с некоторым приближением, за счет частных гипотез и в пределах корректности фактов, которая не имеет здесь абсолютного значения. Идеальное единство фактов и принципов достигается лишь в математической теории, вследствие безусловной однозначности сферы фактов и конечности процесса абсолютного оправдания принципов.