Философия и основания математики

Мы можем, таким образом, утверждать, что аксиоматика как система абстрактных принципов теории в процессе своего развития достигает предельной адекватности в отношении содержания теории, т. е. предельной истинности в смысле совпадения с фактологическим основанием теории. В этом смысле аксиомы математики существенно отличаются от принципов физики и других опытных наук. Принципы физики всегда содержат в себе гипотетический элемент и по своему содержанию всегда выходят за пределы объясняемых ими фактов. Они асимметричны фактам в том смысле, что не выводимы из них и не могут быть оправданы как единственно возможные для объяснения круга фактов. Аксиомы зрелой математической теории, напротив, абсолютно слиты с фактами, они представляют собой лишь общие принципы построения фактов. Поэтому принятие достаточно широкого круга фактов определяет систему аксиом как единственно возможную. В математической теории мы имеем, таким образом, дело с полной симметрией фактов и принципов и с явлением ретротрансля-ции истины, которое не имеет места в эмпирических теориях. Необходимо отметить,, что факт ретротрансляции математической истины не может быть выведен из логических соображений: логика не может оправдать перехода от фактов к принципам. Ретротрансляция обеспечивается здесь генетически, логикой становления математических аксиом и может быть обоснована в своей необходимости только в рамках системного анализа.
Отрицание ретротрансляции истины мотивируется обычно ссылкой на общий принцип логического следования, запрещающий переход от истинности посылок к истинности следствия. В действительности, логика не запрещает таких переходов, она лишь не гарантирует их в общем случае. Кроме потоков истины, гарантируемых логикой, могут существовать потоки, обусловленные спецификой внутренних теоретических связей, т. е. потоки, обусловленные типом знания. Мы можем говорить здесь о теоретически обусловленных потоках истинности.
Анализ логики становления математической теории позволяет увидеть полную несостоятельность эмпирицистской философии математики, пытающейся установить методологическое единство математического и опытного знания. Философы-эмлирицисты упускают из виду, что схемы становления принципов эмпирической науки и принципов математической теории, имея совпадение в ряде моментов, тем не менее, не являются тождественными. Упускается из виду факт неизбежной и полной стабилизации внутренней структуры математической теории, при которой ее аксиоматика приобретает (с точностью до совокупности требований к элементарным объектам) окончательную форму и становится дедуктивно эквивалентной самой теории. В отличие от эмпирической теории каждая математическая теория достигает такой ступени логической организации, при которой ее абстрактные принципы являются идеально соответствующими системе ее внутренних связей.

Слабость теорий Гуссерля состоит в том, что она не разъясняет механизма стабилизации принципов. Какие факторы принуждают сознание, прибегающее к фантазии и вариации, останавливаться на определенных теоретических смыслах как абсолютных для данной системы фактов? Концепция Гуссерля не содержит сколько-нибудь удовлетворительного ответа на этот вопрос, который является основным для понимания статуса математических аксиом. В действительности, мы имеем здесь дело лишь с механизмом ретротрансляции истины, обусловленным системностью математической теории. Аксиоматика арифметики — это минимизированная, а следовательно, абсолютная теория для сингулярных истин арифметики, определенных представлениями предметной онтологии. В своей теории эйдетических истин Гуссерль мистифицировал механизм ретротрансляции истины, имеющий место в процессе самообоснования математических теорий.
Методологический анализ дает нам основание утверждать, что любая теория, включенная в центр математики и используемая для развития других теорий, является непротиворечивой в своей основе, независимо от своего содержания и от того, в какой мере это может быть подтверждено строгим логическим анализом. Диалектические аргументы позволяют, таким образом, защищать фактическую непротиворечивость математики, существующую независимо от возможностей ее логического обоснования. Важно отметить, что мы выходим здесь за пределы логики не на основе истинности аксиом или принципов метатеории, а на основе истинности фактов и механизма ретротранс-ляции истинности. Это более широкое основание для рассуждений о непротиворечивости математического знания, ибо оно в одинаковой мере применимо к любой математической теории.

Становление неразрушимого центра теории неизбежно приводит к выявлению стабильной аксиоматики, которая признается адекватной содержанию теории и становится, в конечном итоге, наиболее строгим ее определением. Аксиоматика приобретает завершенность и неподвижность вследствие завершенности определяющего ее фрагмента теории.
Здесь важным для нас является то обстоятельство, что любая аксиоматика определяется конечным числом теорем, образующих определяющий фрагмент теории. Расширение надежного центра теории, захватывая ее определяющий фрагмент, придает аксиоматике окончательный характер, независимый от дальнейшего развития теории. Хотя хорошо аксиоматизированная теория продолжает свое развитие, обогащая себя новыми идеями, она развивается уже в системе координат, установленных на основе конечного фрагмента теории, который не допускает изменений в системе своих внутренних связей, а следовательно, и в составе системы аксиом.
Факт непротиворечивости системы аксиом сам по себе недостаточен для заключения о непротиворечивости аксиоматизированной теории в целом, поскольку в содержательной теории остается открытым вопрос о корректности определений, фактически используемых при ее аксиоматическом представлении. Намеченное здесь понимание генезиса определений позволяет устранить сомнения в этом отношении. Становящийся центр теории фиксирует не только систему аксиом, но и систему допустимых определений. Небольшое рассуждение показывает, что факт принадлежности определения центру теории оправдывает не только это конкретное определение, но и его общую схему, обосновывая, таким образом, всю систему связанных с ней производных определений.
В развитии математической теории, таким образом, имеет место конечная детерминация аксиом и определений, необходимых для систематического аксиоматического построения теории в целом. Установившаяся система аксиом не может войти в противоречие с центральными положениями теории, поскольку она находится с ними в отношении идеальной фактуальной истинности, она не может войти в противоречие и с утверждениями, выходящими за пределы определяющего фрагмента, поскольку эти утверждения являются суждениями об объектах, введенных на основе правил, определяющих строение неразрушимого центра теории. Непротиворечивость аксиоматизированной теории устанавливается, таким образом, в конечном поле проверяемых вариаций, на основе согласования конечного множества центральных теорем теории с дедуктивно определяющей их системой аксиом. Как мы выяснили выше, процесс этого согласования конечен во времени и всегда доводится до состояния полной завершенности.
Общая логика исторического самообоснования математической теории выглядит следующим образом: на основе некоторого первичного, достаточно развитого фрагмента теории мы устанавливаем ее логические координаты, состоящие из системы аксиом и правил введения новых объектов (определений), которые совместимы с исходным фрагментом теории как фактуально истинные. При достаточном развитии центрального ядра теории эти координаты устанавливаются однозначным и не подлежащим корректировке образом. Тем самым выделяется аксиоматизированный фрагмент теории, состоящий из бесконечного числа утверждений, который следует считать абсолютно обоснованным, ибо его развертывание в рамках принятых аксиом и правил введения объектов в принципе не может привести к противоречию, разрушающему принципы теории. Общезначимым критерием непротиворечивости является здесь стабильность системы аксиом.
Важно отметить, что утверждение непротиворечивости системы аксиом ни в какой мере не опирается здесь на понятие их онтологической истинности и какой-либо внешней истинности вообще. Если при онтологическом обосновании мы выводим непротиворечивость аксиоматики из онтологической истинности и аподиктической очевидности аксиом, то здесь мы мыслим в соответствии со схемой: конечная определимость математических объектов —► расширение неразрушимого центра —► фактуальная истинность системы аксиом —► непротиворечивость аксиоматизированной теории. Основой этого рассуждения является представление о неизбежном становлении неразрушимого центра теории, который определяет ее законченную аксиоматику, а также и корректность ее внутренних определений.
Теоретики эмпирицизма справедливо указывали на тот факт, что сфера.самоочевидности в математике ограничена и что аксиомы сложных математических теорий генетически столь же вторичны в отношении их содержания, как и принципы физики. Это обстоятельство, конечно, важно: оно показывает, что евклидианская схема не характеризует логики развития математической теории. Они, однако, заблуждаются, пытаясь вывести из этого факта возможность корректировки установленных аксиом и релятивность основания математических теорий вообще. Единство схемы становления математических и физических принципов не означает тождественности их статуса. Математические аксиомы устанавливаются на основе конечного фрагмента теории и они устанавливаются как окончательные, определяемые только неразрушимым фрагментом теории. Математические теории переживают период становления основ, но они не переживают революций, изменяющих эти основы.
Анализ логики становления аксиом приводит нас к более ясному пониманию несостоятельности идеи глубоко скрытых противоречий в признанной математической теории. Анализ логики становления аксиом показывает, что противоречия в объектах за пределами определяющего фрагмента безразличны для аксиоматики и для аксиоматизированной теории в целом. Схема логического следования Хитмкки, согласно которой аксиоматика может содержать противоречия, выявляемые только в удаленных следствиях теории, является конструкцией, полезной для логики, но не имеющей отношения к реальным математическим теориям. С системной точки зрения стабильная аксиоматика определяется конечным фрагментом теории и при условии своей фактуальной истинности она не может быть поколеблена какими-либо связями за его пределами.
Сказанное означает, что развитие любой математической теории эквифинально в смысле неизбежности установления ее твердых и неколебимых основ. Понимание этого обстоятельства устраняет всякий релятивизм в понимании математического знания, привнесенный поверхностными эмпирическими аналогиями.

Завершенная система аксиом обладает также качеством, которое можно назвать элементарностью. Аксиома является элементарной, когда она формулируется исключительно в первичных понятиях и не требует для своей формулировки никаких производных определений. Аксиоматика арифметики является элементарной в этом смысле. При формулировке геометрических аксиом нам приходится прибегать к понятиям треугольника и прямого угла, которые не относятся к первичным понятиям аксиоматики. Общая логика построения математической теории требует сведения системы аксиом к максимальной элементарности, к максимальному исключению из системы утверждений (аксиом), сформулированных через производные понятия. Самоочевидность и элементарность это те фундаментальные характеристики аксиом, за которые математики не выходят, если они не побуждаются к этому существенной неполнотой теории. Можно выразить это так, что систему аксиом следует считать завершенной, если выявлены все независимые элементарные аксиомы и если она выходит за эти границы лишь в пределах того минимума, который необходим для достижения ее практической полноты в отношении содержания теории.
Мы будем называть аксиоматику завершенной, если она обладает свойствами практической полноты, минимальности и однозначности в разъясненном выше смысле этих эпистемологических характеристик. Теорию, достигшую уровня завершенной аксиоматики, будем называть хорошо аксиоматизированной теорией или зрелой теорией. Общезначимым критерием завершенности системы аксиом, как это уже очевидно из сказанного выше, является ее историческая стабильность, выражающаяся в фактическом прекращении процесса изменений в ее составе, влияющих на ее дедуктивную силу, и в принятии ее математическим сообществом как адекватной содержанию теории. Аксиоматика арифметики, евклидовой геометрии, теории множеств, теории вероятностей является в соответствии с указанным критерием полностью завершенной, а сами эти теории являются несомненно зрелыми или хорошо аксиоматизированными теориями. Общие соображения о логике развития математической теории и история математики позволяют утверждать, что всякая система аксиом достигает в конечном итоге стадии абсолютной завершенности, т. е. полной определенности в составе своих требований к исходным объектам и к процедуре введения производных объектов. В завершенной аксиоматике математическая теория впервые достигает точного определения своего содержания, ибо под теорией в этом случае мы начинаем понимать именно то содержание, ту совокупность утверждений, которая достижима в рамках принятой аксиоматики.

Система аксиом в своем развитии приобретает также и другое важное качество, а именно, логическую необходимость или минимальность. Приобретая полноту, аксиоматика вместе с тем приобретает и свойство минимальности или необходимости. Обе эти тенденции связаны в том плане, что они обусловлены одними и теми же факторами совершенствования структуры математической теории: практическое использование аксиом в одинаковой степени стимулирует как раскрытие еще недостающих, так и устранение избыточных допущений, которые до определенного времени могут присутствовать в аксиоматике. Обе эти тенденции родственны и в том смысле, что они в конечном итоге достигают своей полной фастической реализации. Мы имеем основания думать, что аксиоматика, принятая научным сообществом как достаточная, является вместе с тем и свободной от внутренних излишеств, т. е. абсолютно необходимой или минимальной. Процесс минимизации аксиоматики также конечен и на определенном этапе развития теории мы строго доказываем необходимость каждой из аксиом для вывода теорем, составляющих признанное ядро теории. Система аксиом геометрии, первоначально предложенная Гильбертом, как известно, страдала рядом недостатков: она содержала лишнюю аксиому инцидентности, избыточные допущения относительно конгру-ентности и имела явно недостаточное определение непрерывности2. В настоящее время обнаружение такого рода дефектов в аксиоматике геометрии, конечно, исключено.
Свойство минимальности завершенной аксиоматики, конечно, также является эпистемологическим, ибо у нас в общем случае нет средств чисто логического обоснования того факта, что все аксиомы независимы и что ни одна из них не содержит аспекта, который можно было бы из нее исключить при более аккуратной формулировке всей системы. На практике, однако, минимальность признанных аксиоматик ни у кого не вызывает сомнений, ибо любой математик знает, что такого рода излишества в системе аксиом, если бы они действительно имели место, не могли бы не обнаружить себя в процессе простых доказательств.
Завершенная аксиоматика обладает некоторым свойством, которое можно назвать структурной конечностью. С логической точки зрения подавляющее число аксиоматик при точном понимании аксиомы \л при разделении аксиом и схем аксиом являются бесконечными, ибо наряду с аксиомами они содержат в себе также и схемы аксиом. При! содержательном понимании аксиоматики различение между аксиомой и схемой аксиом, однако, не является сколько-нибудь существенным, ибо под аксиоматикой мы понимаем здесь не систему формул в определенном логическом языке, а систему содержательных утверждений об элементарных объектах теории. Аксиома индукции с этой точки зрения является элементарным утверждением о некотором достаточно очевидном свойстве натурального ряда, которое имеет тот же статус, что и остальные его свойства. При содержательном понимании аксиом как осмысленных высказываний об элементарных объектах, определяющих их простые свойства и отношения, все системы аксиом безусловно конечны и в принципе не могут быть другими.

Другая линия обоснования намечается в рамках так называемой итеративной концепции, которая представляет собой содержательную интерпретацию аксиом теории множеств, опирающуюся на представление о построении иерархии множеств. Генетическое представление о множествах, которое связывает их в единую конструктивно развертывающуюся систему, продуктивно в том отношении, что оно позволяет уточнить содержательный смысл аксиом, а также понять осмысленность ограничений, накладываемых на понятие множества в процессе построения теории. Если мы принимаем в качестве принципа построения, что элементы множества существуют до множества, то, разумеется, невозможно множество всех множеств и невозможно появление множеств, имеющих себя в качестве своих элементов. Это значит, что теория множеств, аксиомы которой согласованы с итеративной моделью, заведомо не содержит парадоксов Кантора и Рассела. Аксиома фундированности с этой точки зрения предстает в качестве определения множества как объекта, состоящего в конечном итоге из элементов (праэлементов), не являющихся множествами. Как показывает анализ, мы можем подойти с этой точки зрения к обоснованию истинности всех аксиом, содержащихся в таких системах как Z, ZF и ZFC74.
Слабость итеративной концепции состоит в том, что она не свободна от предпосылок эмпирической теории познания и, по этой причине, не может поставить собственно обосновательной задачи. Проясняя эвристические возможности итеративной концепции множеств, Хао Ван говорит вместе с тем, что интуитивная основа аксиом может изменяться исторически и что любая интерпретация не является точной75. Ясно, что такая методологическая установка лишает смысла идею абсолютного обоснования теории на основе ее модели. Положение, однако, меняется, если мы покажем, что в основе этой модели лежат представления об идеальных предметах и их совокупностях. В этом случае мысленные операции получают характер экспликации онтологически необходимых, а следовательно, и абсолютно непротиворечивых представлений. Итеративная схема в той мере, в которой она может быть признана как относящаяся к сфере аподиктической очевидности, должна пониматься в качестве первичной и абсолютно обосновательной базы теории множеств. Задача, таким образом, состоит в соединении итеративного прояснения аксиом теории множеств с понятием онтологической истинности.
Анализ методологии обоснования позволяет считать в высшей мере вероятным допущение, что все основные теории современной математики, включая и теорию множеств, могут быть обоснованы в своей непротиворечивости в рамках некоторой рациональной программы логико-онтологического обоснования математики. Арифметика и теория множеств могут быть поняты как теории, эксплицирующие в своих идеализациях основные представления предметной онтологии и, следовательно, как формальные конструкции, обладающие предельной степенью логической надежности. Признание этих двух теорий в качестве онтологически истинных решает вопрос об абсолютном обосновании всей современной математики.

Рассмотрим систему аксиом Т, выражающую теоретико-типовое задание теории множеств, которая состоит из трех следующих аксиом:
Т1. Аксиома объемности. Два класса являются тождественными, если они имеют одни и те же элементы.
Т2. Аксиома выделения. Для всякого предложения, определяющего объект типа г, существует соответствующий ему класс типа г + 1.
ТЗ. Аксиома бесконечности. Существует множество, которое нельзя перенумеровать посредством любого конечного отрезка натурального ряда.
Если мы можем допустить, что аксиомы 1-я и 2-я являются логическими или хотя бы аналитическими истинами, предопределенными сферой логической истинности, то система аксиом в целом должна быть признана в качестве абсолютно совместной на основе принципа совместности логических и онтологических истин.
Есть основания думать, что эта система действительно может быть отнесена к классу логицистских, а следовательно, и к классу абсолютно обоснованных систем. Здесь следует принять во внимание, что Рассел и Уайтхед исходят из логического определения понятия множества, а именно из его понимания как области значений пропозициональной функции. При таком определении множества истинность аксиомы объемности непосредственно проистекает из логического определения тождества порождающих формул. Аксиома выделения утверждает, что для любого множества А и свойства В, такого, что для любого х, содержащегося в А, В(х) либо истинно, либо ложно, существует множество В(х), состоящее в точности из тех элементов, для которых В истинно. Из истинности закона исключенного третьего следует возможность строгого разделения множества А на элементы, удовлетворяющие признаку В и не удовлетворяющие ему при достаточной корректности выделяющего признака, т. е. свойства В26. Поскольку теоретико-типовое построение теории обеспечивает максимальную корректность выделяющих признаков посредством индуктивного введения всех новых понятий только на основе признанных, то аксиома выделения сводится здесь к тавтологии, утверждающей, что корректно ограниченная (в рамках признанных свойств) пропозициональная функция сохраняет свойства пропозициональной функции, которой соответствует определенное множество.
Несомненно правы критики логицизма, которые указывают, что исходная база теории множеств, связанная с понятием логической функции недостаточна для ассимиляции содержательной теории множеств в полном объеме. Но нужно признать, что в рамках теории типов достигается экспликация понятия множества, превращающая аксиому объемности и аксиому выделения в тождественно истинные логические утверждения. Отсюда следует, что система Т, взятая в целом, удовлетворяет свойствам логицистской системы и должна быть признана, в соответствии с нашими критериями, в качестве абсолютно непротиворечивой.

Обычная критика аксиомы выбора с точки зрения конструктивности неприемлема прежде всего в силу неприемлемости самого требования конструктивности в качестве универсального критерия строгости. Эта критика некорректна и в том отношении, что она не усматривает ограничивающего характера аксиомы выбора. Мы должны обратить особое внимание на тот момент, что аксиома выбора сводит понятие множества к объектам идеальной предметности. Можно сказать, что именно аксиома выбора вносит в теорию множеств конструктивность, приближая общее понятие множества к хорошо определенным дискретным арифметическим множествам. Аксиома выбора связывает теорию множеств с первичными онтологическими идеализаци-ями, которые являются предельно надежным фундаментом математического мышления.
Аксиома выбора в отличие от аксиомы бесконечности непроблематична для современной теории множеств, ибо доказана ее совместность с системой аксиом ZF, и, следовательно, — непротиворечивость системы ZFC при условии непротиворечивости ZF. Онтологическое обоснование, однако, важно для прояснения вопроса о реальном статусе теории множеств. Если мы вправе рассматривать аксиому бесконечности и аксиому выбора в качестве онтологически истинных суждений, то система аксиом ZFC получает привилегированное положение среди аксиоматических систем теории множеств, подобное положению евклидовой геометрии среди существующих и возможных геометрических систем. Мы вправе в этом случае говорить о ZFC как о реальной теории множеств, соответствующей онтологическому основанию понятия множества. Желая, к примеру, доказать гипотезу континуума, неразрешимую в ZFC, мы можем перестроить аксиоматику, заменив аксиому выбора аксиомой детерминированности. Мы можем получить в этом случае в каких-то отношениях более эффективную систему, но это будет все-таки искусственная система, отступающая от онтологического основания математического знания.
В «Principia Mathematica» Уайтхед и Рассел высказывают мнение, что невыводимость аксиомы выбора из принципов логики делает очень сомнительной значительную часть теории трансфинитных ординалов. С праксеологической точки зрения этот вывод не может быть принят. Аксиома выбора представляет собой часть онтологически истинной математики и, таким образом, предельно надежную основу математической теории, построенной на онтологически истинных аксиомах. В методологическом плане это означает, что аксиома, несмотря на свою внелогическую природу, не может быть источником ненадежности для логицистской теории множеств.

Мы выяснили, что математика использует понятие истины в особом смысле, радикально отличном от того смысла, в котором это понятие используется в опытных науках и даже в логике. Математическое утверждение следует считать непосредственно истинным, если оно соответствует универсальной предметной онтологии. Нетрудно видеть, что аксиома выбора полностью соответствует понятию онтологически истинного суждения. Первая часть этой аксиомы, а именно постулат о возможности выбора элемента из любого множества, утверждает не что иное, как дискретный и аддитивный характер рассматриваемых множеств, что выражает собой наиболее существенный аспект предметной онтологии. Не все мыслимые множества обладают указанным качеством. Выделяя отдельную мысль из совокупности мыслей, содержащихся в нашем сознании, мы никогда не можем быть уверены, что выделили только одну мысль, а также и в том, что выделили целую мысль, не оставив ее части или эквивалента среди оставшихся мыслей. Известное канторовское определение множества как всякой мыслимой совокупности слишком широко, ибо оно включает и расплывчатые множества, не удовлетворяющие требованиям идеальной предметности23. Аксиома выбора, таким образом, является не каким-то неопределенным расширением математики, как это обычно представляется в ее интуиционистской критике, а совершенно напротив — радикальным сужением класса множеств, допустимых к рассмотрению: она ориентирует на «правильные» множества, которые в достаточной степени дискретны и в которых не возникает проблем с отождествлением и различением элементов. Аксиома выбора привязывает теорию множеств к наиболее простому, дискретному или арифметическому пониманию множества, и, таким образом, она никак не,может рассматриваться в качестве дополнительного источника противоречий или некорректности доказательств.
Второй содержательный момент аксиомы выбора связан с идеей бесконечности: вправе ли мы, исходя из возможности выбора элемента из множества в каждом отдельном случае, заключать о возможности такого выбора для произвольной совокупности множеств? Затруднение состоит здесь, очевидно, в понимании сферы применения схемы полной индукции, возможности применения ее к бесконечной совокупности множеств. При правильном понимании специфики математических суждений критика аксиомы выбора в этом пункте также должна быть отклонена. Переход от реализуемости выбора в каждом отдельном случае к одновременной реализуемости в бесконечном случае является проблемой, если речь идет о некоторой фактической реализуемости. Онтология, определяющая математическое мышление, не связана с идеей времени и, таким образом, свободна от временных и пространственных ограничений. Если нам известно, что выбор реализуем для каждого множества по отдельности, то с математической точки зрения он реализуем одновременно для всех множеств: соображения времени, пространства и количества, существенные для физического рассмотрения, не имеют здесь никакого значения. Это обстоятельство ясно также и с точки зрения общей философии логики. Как уже было отмечено, логика рассматривает классы исключительно с точки зрения их связи по объему и полностью абстрагируется от их структуры, мощности или порядка. Из допущения «существует для каждого» она неизменно выводит «существует для всех», безотносительно к составу рассматриваемых совокупностей. Корректность аксиомы выбора в этом моменте также не может вызывать каких-либо сомнений24.
Корректность аксиомы выбора в последнем из ее аспектов не нуждается в обосновании: она непосредственно вытекает из аксиомы подмножеств, которая признает существующими все подмножества данного множества.

Аксиома выбора утверждает возможность построить новое множество, выбирая по одному и только одному элементу из произвольной совокупности множеств, принятых в теории. Эта аксиома распадается на три положения, каждое из которых требует особого обсуждения. Она предполагает дизъюнктивный характер множества, т. е. расчлененность его на элементы, отделяемые от множества в целом, выполнимость выбора для произвольной совокупности множеств и то допущение, что результат выбора будет множеством, допустимым в качестве объекта строгого математического рассуждения, в отличие от совокупностей типа множества всех множеств и т. п.
Обычная критика аксиомы выбора состоит в указании на неконструктивный характер процедуры выбора, который она допускает, и на приложимость этой процедуры к произвольной совокупности множеств.
Особенностью аксиомы выбора является ее очевидность, непосредственная данность сознанию в качестве бесспорной истины. К. Гедедоь допускал, что самоочевидность этой аксиомы может быть использована для непосредственного обоснования ее истинности. Его мысль шла в том направлении, что эта аксиома является аналитической при некотором более широком понимании аналитичности, чем тривиальная тавтологичность22. Праксеологический анализ, однако, показывает, что здесь мы имеем дело с синтетическим положением, которое может быть оправдано на основе понятия онтологической истинности.