Философия и основания математики

Вторая проблема, которую ставит Китчер, а именно, проблема практической нереализуемости априорных требований к математическим объектам, также связана со спецификой априорного знания. В эмпирической сфере мы можем утверждать лишь то, что обосновано конечным опытом, и должны рассматривать все остальное лишь в качестве более или менее вероятной гипотезы. Эмпирические утверждения не выходят за пределы конечного. Онтологические утверждения, напротив, продиктованы интенциями деятельности, и они органически связаны с идеей бесконечности, ибо всякая человеческая деятельность есть выход за пределы конечного. Возможность бесконечной делимости отрезка есть следствие бесконечности пространства и времени, а эти последние представления — необходимая праксеологическая гипотеза, проистекающая из ориентации нашей деятельности на преодоление конечности. Мы должны понять, что чувственный опыт не определяет истин онтологии. Онтология вместе с зависимыми от нее принципами математики продиктована деятельностью, а именно, универсальными регулятивами деятельности. Постулирование бесконечности — необходимая часть категориальной онтологии, а вследствие этого, и необходимый аспект исходных математических представлений.
Вопрос о точности отражения объекта в понятиях имеет смысл в отношении объектов опыта, допускающих автономное исследование, но он не имеет отношения к объектам априорным. Принципы, продиктованные в аподиктической интуиции, являются исходными принципами мышления и не могут ставиться под сомнение в рамках рационального мышления. Свойства треугольника заданы в сфере аподиктической очевидности, т. е. на предельном уровне точности, доступном для мышления. Вопрос о точности описания свойств объектов, заданных с аподиктической очевидностью, не может быть признан корректным.
Возможное уменьшение веса элементарной математики в будущей физике также не может рассматриваться в качестве веского аргумента против априоризма. Априорность математической теории не означает ее эмпирической универсальности. Уже в дискуссиях о неевклидовых геометриях в конце XIX века было хорошо осознано, что наличие многих геометрий в структуре математики и их широкая применимость в физике не подрывают особого статуса евклидовой геометрии, ее уникального положения как необходимой формы видения реальности. Наличие многих геометрий говорит о том, что не вся математика априорна, но сам по себе этот факт не опровергает тезиса об априорности евклидовой геометрии.
Китчеровскую критику априоризма надо признать последовательной, если встать на почву психологической теории познания, из которой он исходит. С психологической точки зрения нельзя доказать наличие такой сущности, как аподиктическая очевидность, и с этой точки зрения выглядит вполне законным его тезис, что всякая интуиция столь же ограничена и ненадежна, как и сила обычного восприятия37. Представляется, однако, что сама идея психологической теории познания является несостоятельной. Любая теория познания прежде всего должна выявить принципы, имеющие интерсубъективное значение, и по этой причине она не может исходить из фактов психологии и их обобщений. Эти факты приобретают гносеологический статус только тогда, когда они санкционируются целевыми установками познания, т. е. тогда, когда они приобретают праксеологическое обоснование. Психологическая теория познания оставляет без объяснения основные факты, связанные с математикой: непреложность исходных математических утверждений и историческую стабильность признанных математических доказательств.

Априорность математики нуждается в особом обосновании, даже если наличие априорного знания в виде логики и категорий принято. Здравый человеческий рассудок может примириться с априорностью логических принципов, но законы арифметики являются более содержательными, тесно связанными с операциями опыта и, вследствие этого, мало согласующимися с общей идеей внеопытного знания.
Косвенное соображение в пользу положения об априорности истин элементарной математики проистекает из самоочевидности этих истин. Как уже сказано, априорные истины даны сознанию в особой степени очевидности, которая преобладает над очевидностями, относящимися к содержанию знания. Таковы, к примеру, нормы логического умозаключения. Но в таком случае, сама аподиктическая очевидность может быть использована в качестве критерия априорного знания. Если мы посмотрим на исходные представления арифметики и геометрии, то должны будем признать, что они являются- аподиктически очевидными, либо полученными из аподиктически очевидных истин на основе аподиктически очевидных мысленных операций. Пифагорейский тезис, согласно которому ложь не может быть присоединена к утверждениям о числах, понятен современному математику ничуть не в меньшей мере, чем математикам (да и всем людям) во все времена. Элементарные арифметические и геометрические истины даны человеческому сознанию с непреложностью и этот факт заставляет нас признать, что здесь мы имеем дело с представлениями, отличными от представлений опытных наук.
Общее теоретическое обоснование априорности исходных математических идеализации требует рассмотрения структуры универсальной онтологии. То, что мы называем универсальной, абстрактной или категориальной онтологией, состоит из двух существенно различных частей, которые можно назвать, соответственно, причинной и предметной онтологией. Чтобы действовать, мы нуждаемся в наличии причинных связей. Причинность является, таким образом, универсальным онтологическим основанием деятельности. Система онтологических категорий, включающая категории материи, пространства, времени, причинности, случайности, необходимости, бытия, небытия и т. п.,является целостной в том смысле, что все эти категории описывают аспекты реальности, определяющие деятельность, а точнее, акт деятельности в его необходимых онтологических предпосылках. Эта часть онтологии может быть названа каузальной или динамической, так как в центре ее находится представление о причинной связи, определяющее практическое отношение человека к миру.
Причинная онтология, однако, не исчерпывает всей сферы универсальных онтологических представлений. Для того чтобы действовать, мы нуждаемся не только в идеальных представлениях о причинных связях, но и в идеальных представлениях о предметах, с которыми мы действуем. Передвигая и вращая предметы, мы должны рассматривать их как те же самые. В процессе действия мы неизбежно опираемся на допущение тождества предметов и их внутренних связей, т. е. на идеальные представления о предметах как удовлетворяющих общим условиям деятельности. Точно так же, как деятельность вырабатывает у нас идеальные представления об универсальности причинной связи, она вырабатывает и представления о мире как совокупности идеальных предметов, которые конечны в пространстве и времени, относительно стабильны в своих формах, отделены друг от друга и т.д. Наряду с каузальной онтологией, которая выражает собой идеальные условия акта действия, мы имеем систему праксеологических идеализации, которая может быть названа предметной онтологией и которая представляет собой систему идеализированных представлений о предметах, проистекающую из общих условий деятельности.

Понятие практики как фундаментальное для теории познания было выдвинуто в XIX веке двумя выдающимися мыслителями, а именно К. Марксом и Ч.С. Пирсом. Более глубоким и более соответствующим нашей задаче является марксистское понимание практики как предметной преобразовательной деятельности общества в целом.
В марксисткой теории познания подчеркивается, что практика является стимулом познания, основой познания (в смысле наличного материала и средств), а также высшим критерием истинности теорий и идей. К этим несомненно верным положениям необходимо добавить еще одно, состоящее в том, что практика является нормативной основой познания, т. е. источником универсальных норм, которым подчинено всякое мышление. Это положение важно в том отношении, что оно дает нам возможность понять априорное знание без каких-либо мистических гипотез, исходя только из естественных задач мышления.
Если некоторая развивающаяся и функционирующая система является частью другой более широкой системы, то в своих функциях она неизбежно подчинена целям этой последней системы и общие регу-лятивы ее развития могут быть поняты только при рассмотрении этого функционального соподчинения. Этот абстрактный системный принцип должен быть руководящим и при нашем подходе к проблемам теории познания. Познавательная деятельность человека — это функциональная часть его практической деятельности, а это значит, что высшие нормы, регулирующие познавательную деятельность, имеют праксеологическую природу и должны быть выведены в конечном итоге из практической функции знания.

Основное положение, из которого мы исходили при описании особенностей математического доказательства, состоит в том, что в его основе лежит система некорректируемых очевидностей, которая является глубинной основой исходных математических теорий и операциональной основой математического мышления вообще. Принимая это положение, мы, естественно, приходим к некоторому варианту апри-ористской философии математики.
Математический априоризм диктуется самой практикой математического мышления. Мы все осознаем самоочевидность и некоррек-тируемость утверждений элементарной математики типа: 2 + 2 = 4 и безусловную интерсубъективность и историческую устойчивость признанных доказательств. Практика математического мышления постоянно демонстрирует нам первичность интуитивной основы математического рассуждения перед всяким его лингвистическим оформлением и общезначимый характер этой основы. Это значит, что математический априоризм не может быть отвергнут, он может быть лишь более или менее правильно объяснен с теоретико-познавательных позиций.
Слабость традиционного априоризма состоит прежде всего в неспособности объяснить сам факт априорного знания. В этой главе будет изложена новая концепция априоризма, которая исходит из понимания математических очевидностей как универсальных структур мышления, порожденных его практической ориентацией.