Философия и основания математики

Завершенность аксиоматики и завершенность доказательства тождественны в том смысле, что оба этих яёления проистекают из принципиальной конечности математического мышления. Доказательство достигает полной стабилизации, общезначимости и абсолютной надежности вследствие того, что оно состоит из конечного числа переходов, приемлемость каждого из которых устанавливается в конечное время с абсолютной однозначностью. Выбор эффективного пути во множестве аподиктически определенных возможностей всегда разрешается научным сообществом с полной однозначностью. Процесс поиска системы аксиом для сформировавшейся системы доказательств также является проверкой конечного числа вариантов и с необходимостью завершается в конечное историческое время.
Логика становления математической теории обусловлена конечной определимостью математических понятий, которая проистекает в свою очередь из их включенности в формальную систему. Конечная определимость математических понятий делает неизбежным для любой математической теории достижение ею неколебимого (абсолютного) основания, которое в принципе недостижимо для теорий, имеющих дело с фактами опыта.

Хотя математическая теория и не может быть отвергнута прямым экспериментом, она, по мнению Китчера, подвержена косвенному (теоретическому и социальному) опровержению. Если, к примеру, геометрическая система, не включающая в себя некоторого утверждения евклидовой геометрии, становится более пригодной для теоретического описания реальности, то истинность этого утверждения в определенном смысле ставится под сомнение. С этой точки зрения практика современной математической физики может рассматриваться в качестве дополнительного аргумента против априоризма35.
Надо признать, что указанные Китчером моменты фиксируют действительные слабости кантовского априоризма. Отвергнув эмпиризм в обосновании математики, Кант сохранил основную конструкцию эмпиризма, оставив конкретный чувственный образ в качестве исходного для всей системы математических представлений. Но тем самым сохраняется проблема становления принципов математики, имеющих универсальное значение, которую эмпирическая теория познания решает на основе понятия абстракции. В этом плане вопросы Китчера законны. Он прав в том, что следуя своей логике, Кант либо должен был приписать сознанию некоторые общие математические представления с самого начала, либо оставить математику на уровне тривиальностей, данных в непосредственном созерцании.
Эти проблемы, однако, устраняются при деятельностной трактовке априоризма. Созерцание конкретного чувственного объекта само по себе, конечно, не дает нам основания отвлекаться от одних его свойств как случайных и удерживать другие как необходимые. Основания для такого отвлечения открываются здесь только на основе опыта и индукции. Однако ситуация меняется при переходе к сфере априорной конкретности. Процесс формирования математических образов определяется здесь не чувственным восприятием конкретного, но операциональной мысленной активностью субъекта в сфере праксеологических идеализации. Посредством мысленной вариации мы создаем здесь весь ряд допустимых объектов и с самого начала имеем дело не только с данным конкретным треугольником, но и с треугольником вообще, как общим представлением, достигаемым в сфере интеллектуальной вариации. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника является универсальным вследствие того факта, что возможность всех необходимых для этого построений не зависит ни от величины углов, ни от длины сторон треугольника, т. е. оно устойчиво ко всем возможным вариациям этой фигуры. Опираясь на изображение остроугольного треугольника, мы можем доказывать теорему о треугольнике вообще по той причине, что мы доказываем ее, опираясь на те и только на те аспекты представления о треугольнике, которые остаются неизменными в рамках его сущностной вариации36.

Лакатос смешивает понятия строгости и надежности доказательства, выводя недостижимость надежности из недостижимости окончательной строгости. Ясно, что строгость доказательства может возрастать и после достижения им полной надежности. Аксиоматизация и формализация несомненно увеличивают строгость доказательств, но они никогда не дезавуируют законченных содержательных доказательств в смысле зависимости определенных следствий от определенных посылок. Совершенствование языка и критериев строгости в зрелой теории не опровергает принятых теорем, а ориентируется на них как на свой исходный и абсолютный базис. Бесконечный процесс обновления языка математики и уточнения критериев строгости не означает бесконечной корректировки посылок и бесконечного процесса устранения контрпримеров. Историческое углубление анализа доказательства не может поколебать завершенные доказательства и систему признанных теорем.
Лакатос прав в том, что каждая новая эпоха в математике сужает чисто интуитивный базис математики, заключая в строгие определения те понятия и утверждения, которые использовались раньше на интуитивном уровне. История понятий числа, функции, множества, алгоритма и т. п. хорошо иллюстрирует то положение, что все интуитивное, имплицитное в математике рано или поздно эксплицируется, оформляется в точном языке, задается аксиоматически и формализуется. Но Лакатос, несомненно, ошибается, допуская, что такого рода экспликация очевидностей может поставить под сомнение признанные утверждения теории. Эта идея не находит никакого подтверждения в истории математического мышления и противоречит общей логике соподчинения строгости и надежности в математическом рассуждении. В действительности, новые критерии строгости принимаются только в том случае, если они согласуются с уже признанным содержанием математики. Анализ доказательства не проникает в сферу сложившегося математического знания, которая представляет, таким образом, систему абсолютных и некорректируемых дедуктивных связей.
Лакатос убежден в том, что математики не имеют и не могут иметь объективных критериев строгости, достаточных для того, чтобы однозначно зафиксировать факт строгого доказательства даже в тех случаях, в которых мы его в действительности достигли. В этом положении Лакатоса есть доля истины, состоящая в том, что не существует полной системы требований и процедур, которая позволяла бы во всех случаях производить проверку доказательства и выносить окончательный вердикт относительно его строгости. Однако позиция, проистекающая из идеи аподиктической очевидности, указывает нам путь к позитивному решению проблемы. Мы можем утверждать, что каждое доказательство неизбежно приходит к стадии завершенности, исключающей контрпримеры, и что мы обладаем объективными критериями этой стадии. Этот критерий состоит, во-первых, в признании доказательства математическим сообществом, а во-вторых, во вхождении его в центр математической теории. С этой точки зрения, доказательства, признанные математическим сообществом и существенно задействованные в теории, следует считать абсолютно завершенными и неуязвимыми для критики. Эти критерии окончательной строгости, не будучи логическими, тем не менее являются общезначимыми и объективными.
Еще одно заблуждение Лакатоса, существенно определяющее его позицию, состоит в неадекватном понимании статуса математических определений. Лакатос убежден (эта идея особенно ясно выражена в последних разделах его книги), что любое определение может быть неявно расширено, и это обстоятельство само по себе может быть источником контрпримеров. Доводы, которые Лакатос приводит здесь, страдают неясностью и оторванностью от практики математического рассуждения. Можем ли мы, к примеру, привести контрпример к теореме Пифагора, расширив понятие прямой? Конечно, при развитой фантазии можно постараться это сделать, приписав прямой, к примеру, некоторые свойства кривой линии, но вряд ли кто будет считать рассуждение, основанное на такой фантазии, рассуждением в рамках геометрии Евклида. Математическое понятие в отличие от понятия эмпирического на определенной стадии зрелости жестко определяется через другие понятия теории и его произвольное расширение (явное или неявное) тем самым совершенно исключается. Мы не можем изменить свойства прямой, не изменив свойств плоскости, точки, треугольника и т.д., т. е. не разрушив системы понятий теории вообще. Зрелая математическая теория не только однозначно определяет структуру своих доказательств, но и свою собственную структуру, причем таким образом, что исключается всякая возможность переопределения ее основных понятий.
Расширение понятия, чреватое контрпримерами, возможно только на первоначальном уровне его становления, когда оно еще не вошло в жесткую систему принятых определений. Контрпримеры при доказательстве теоремы Эйлера, которые анализирует Лакатос, возникают до тех пор, пока мы рассматриваем многогранник на интуитивном уровне, вне его строгого логического определения, и они немедленно исчезают, как только это понятие редуцируется к адекватной системе понятий, раскрывающей его содержание. Доказательство теоремы Эйлера в рамках современной топологии никем не подвергается сомнению. Диалектика доказательств и опровержений, ярко продемонстрированная Лакатосом в своей книге, безусловно имеет место на этапе становления теорем, но она не может быть отнесена к любой теореме и не может служить основанием для заключения о релятивности математического доказательства вообще. Используя аналогию Поппера, мы можем сказать, что в математике, как и во всякой другой науке, мы начинаем забивать сваи в болото, но в отличие от других наук эти сваи достигают здесь твердого грунта, абсолютного обосно-вательного слоя, не подверженного изменению. Центр зрелой математической теории является неразрушимым в том смысле, что он не допускает никаких контрпримеров и никаких опровержений. Здесь может обнаружиться недостаток строгости, но никогда не будет места для критики надежности.

Релятивистский тезис относительно строгости доказательства исходит из допущения, что новые, более жесткие критерии строгости могут, в принципе, перевести в класс нестрогих любое доказательство, которое принималось до этого как безусловно строгое. Это допущение, однако, несостоятельно: оно покоится на ложном понимании субординации между строгостью и надежностью в математическом рассуждении.
Как мы уже выяснили, абсолютно надежное доказательство, проведенное на уровне аподиктической очевидности, может быть нестрогим, нуждающимся в более точном выражении своих предпосылок. Доказательство является надежным (завершенным), если все его неявные посылки относятся к сфере аподиктической очевидности. В этом случае контрпример невозможен, хотя доказательство может не обладать полной строгостью. Строгость — это лингвистическая характеристика доказательства, качество терминологической оболочки, санкционирующее надежность доказательства. Но надежность как таковая должна существовать уже до этой санкции как качество, выработанное на уровне содержания.
Можно сформулировать принцип, утверждающий логическую первичность надежности перед строгостью, состоящий в том, что доказательство, признанное надежным, не может быть отвергнуто с точки зрения каких-либо критериев строгости. Надежность является первичной характеристикой доказательства в том смысле, что надежно доказанная теорема есть факт, с которым должны считаться все критерии строгости, в том числе и те, которые будут введены в будущем. Наглядное рассуждение, сводящее площадь параллелограмма к площади прямоугольника, не строго, но мы отвергли бы любые критерии строгости, которые поставили бы его под сомнение. Надежное доказательство является в принципе строгим в том смысле, что оно будет неизбежно подтверждено в любом более строгом варианте теории.
Переходя к более широкому кругу объектов, мы уточняем критерии строгого рассуждения, прибавляя новые критерии, которые не учитывались раньше. Однако эти новые критерии, будучи необходимыми в новой области объектов, не затрагивают старых объектов, а точнее, они являются всегда тривиально выполнимыми по отношению к ним. Доказательства существования, введенные Коши, были важными для наведения, порядка в анализе, но они ничего не изменили в геометрии и алгебре, поскольку в этих областях существование объектов доказывается самим способом их введения, а именно аподиктически очевидной конструкцией в конечном множестве простых объектов. Можно сказать поэтому, что вновь вводимые критерии строгости не имеют обратной силы: они реально значимы лишь для новых областей и всегда вводятся лишь при условии сохранения всех доказательств, признанных надежными.
Отсюда и необычная с точки зрения методологии опытных наук ситуация: не имея полной системы критериев строгости, мы имеем несомненную возможность говорить о полной строгости относительно конкретных математических доказательств и теорий. Появление новых критериев строгости может привести к более точному определению понятий, лежащих в основе доказательства, но оно не может отвергнуть признанное доказательство по существу, в смысле следования определенных выводов из определенных посылок. Строгость анализа доказательства определяется полностью особенностями данной теории, и она абсолютна в том смысле, что не может измениться с появлением новых критериев в новых областях математики. Можно сказать, что математическая строгость определяется локальным и, вследствие этого, абсолютным образом. Доказательство, строгое в рамках арифметической теории, будет всегда оставаться таковым, какие бы новые критерии строгости не появились в будущем.

Здесь надо учесть еще одно обстоятельство, а именно, специфическую системность математики. Математическая теория является жесткой системой в том смысле, что каждая доказательная связь обусловлена здесь многими другими доказательными связями. Каждое доказательство связано с доказательствами, проведенными раньше, и само оно становится основой других доказательств и подтверждением результатов, полученных другими путями. Математическое доказательство не может существовать вне перекрещивающейся сетки доказательств, согласованных с ним. Математическая теория в этом смысле может быть уподоблена огромному кроссворду, где каждое слово многократно проверяется через все другие. Разница с обычным кроссвордом состоит лишь в большей жесткости (внутренней детерминированности) математического кроссворда. В обычном кроссворде, чтобы считать слово угаданным, мы должны обеспечить его согласование с другими словами в двух или трех точках. В математической теории каждое доказательство представляет собой слово, которое должно совпадать с существующим массивом слов во всех своих точках, т. е. быть истинным во всех своих промежуточных результатах.
Отсюда ясно, что зрелая теория полностью исключает некорректные доказательства. Доказательство имеет шансы содержать некорректное допущение только на той стадии своего развития, пока оно находится на периферии теории и не связано достаточно жестко с другими теоремами. Но по мере своего вызревания любое доказательство погружается в центр теории, в разработанную часть кроссворда, где все его леммы должны стать доказанными теоремами или аксиомами, а все объекты однозначно определенными на основе первичных объектов. Отсюда ясно, что интуитивность выводов и неопределенность объектов в математическом рассуждении — сугубо временное состояние, возможное лишь на начальном этапе его становления.
Аргумент системности представляется, в частности, важным для понимания статуса современных компьютерных доказательств. Многие математики склонны думать, что доказательства математических теорем, осуществленные с использованием сложных программ, не могут считаться надежными и что они, в лучшем случае, могут рассматриваться в качестве гипотез направляющих поиск12. Здесь, однако, упускается из виду то обстоятельство, что надежность доказательства проверяется не только прямым анализом его шагов, но и его согласованностью с другими доказательствами. Учитывая это обстоятельство, можно утверждать, что компьютерная математика также не ограничена в своем движении к надежности. Одна программа может проверять другую и, как и в случае с обычными доказательствами, полная коррекция доказательства потребует лишь конечное число проверок.
Мы можем заключить, что математическое сообщество, в действительности, обладает достаточными критериями абсолютной надежности доказательств. Если общее признание доказательства представляет субъективный (хотя и в высшей степени надежный) критерий такого рода, то включенность доказательства в центр теории, согласованность его с другими доказательствами, является объективным и однозначным критерием. Математика является абсолютно надежной наукой в том смысле, что теоремы, записанные в учебниках, не имеют шансов быть опровергнутыми.
Вероятностные соображения типа того, что если может заблуждаться один математик, то может заблуждаться на неопределенное время и математическое сообщество в целом, что повторные проверки не способны вывести нас за рамки вероятного результата и т. п., являются неприемлемыми для понимания эволюции математического доказательства. Идеальная математическая схема распределения вероятностей не является законом развития реальных систем. С теоретической точки зрения имеется вероятность того, что все молекулы газа соберутся в одной точке сосуда, но практически этого никогда не произойдет, поскольку молекулы не являются идеально независимыми в своем движении, как это предполагает теория вероятностей. С абстрактно теоретической точки зрения можно допустить, что все человечество с какой-то степенью вероятности может заблуждаться, считая истинным равенство 2 + 2 = 4. Но это допущение не учитывает системности теории. Ошибка в таком равенстве, будь она реальной, должна была бы войти в тысячи других равенств, в бесконечный кроссворд математических слов и остаться при этом незамеченной. Если бы такая ситуация действительно могла иметь место, то ее нельзя было бы считать случайной. Этот факт можно было бы объяснить только наличием некоторой другой системы аподиктических очевидностеи, что в принципе исключено их статусом.
Ситуация с достижимостью окончательного доказательства в математической теории может быть сформулирована как задача полной (предельной) настройки в конечной саморегулирующейся системе. Если имеется система с конечным числом состояний, упорядоченных по некоторому параметру, и имеется постоянно действующий фактор, способствующий с преобладающей вероятностью переходу отданного состояния к более высокому, то можно утверждать, что такого рода система достигает предельного (наилучшего) состояния в конечное время. Каждое доказательство содержит в себе конечное число ошибок и его историческое совершенствование может быть представлено в виде конечной последовательности состояний, упорядоченных по возрастанию корректности. Теоретическая коммуникация, в которую доказательство включено, является постоянно действующим фактором, обеспечивающим его переход от одного состояния к более высокому. В математической теории, как и в любой теории, возможны ошибки, идущие от человека, от ограниченности его внимания и памяти, т. е. здесь происходит обычное движение от несовершенного к более совершенному. Основная особенность математики, отличающая ее от эмпирических наук, состоит в том, что она достигает абсолюта в смысле окончательного установления своих истин и в смысле предельно ясной констатации этого состояния в конкретных случаях.

Разница между решением шахматной задачи и математическим доказательством состоит лишь в том, что точные определения математических объектов, а иногда и допустимых правил действия не заданы с самого начала, а вырабатываются в самой «игре». Математическая игра в отличие от шахматной на некотором этапе может обходиться без точной кодификации правил действия с некоторыми фигурами (объектами), опираясь лишь на общее согласие играющих. Здесь могут возникать неясности и недоразумения, неявное использование доводов ассерторического порядка и т. п. Однако это различие не меняет сути дела, ибо созревание системы доказательств, относящихся к теории, неизбежно приводит к однозначному определению всех объектов на базе исходных понятий и к устранению всех недоразумений. Сторонники релятивистской концепции доказательства могли бы защитить свой тезис о вечной незавершенности доказательства, если бы они могли показать, что в математическом доказательстве могут существовать шаги, не допускающие редукции к первичным, аподиктически определенным переходам.
Доказательство математической теоремы по своей сути является деятельностью с идеальными предметами, которая, как и деятельность с реальными предметами, имеет категорический характер в плане результата. Трехлетний ребенок уверенно строит пирамиду из кружочков, накладывая их один на другой по величине. Его знания о мире еще незначительны, ему предстоит длинный путь углубления своих представлений о мире, но то, что он сделал сейчас, является абсолютным: расположить кружочки по величине более совершенным образом не удастся более ни ему и никому другому. Комбинация в конечном множестве объектов, удовлетворяющая заданному свойству, достигнута и сам вопрос о ее относительности является абсурдным. Можно, конечно, возразить следующим образом: «Расположение кружочков по величине окончательно, если принять неизменными (абсолютно стабильными) представления о большем и меньшем, которыми ребенок руководствовался. Но могут измениться и эти представления». Это возражение, несмотря на всю его гипотетичность, можно принять. Тогда мы будем говорить о предельной завершенности конечной комбинации, т. е. о такой завершенности, которая не может быть поставлена под сомнение в рамках существующей категориальной сетки. Представляется, однако, что различие между предельным и абролютным в данном случае не имеет практического смысла.
Математическое доказательство — не мышление в собственном смысле слова, характеризующееся бесконечным приближением теории к объекту, а построение комбинации в конечном множестве объектов, имеющих определенные свойства. Завершенность такой комбинации является предельно общезначимой, поскольку и ее свойства и каждый шаг ее построения фиксируются с аподиктической очевидностью.
Гносеологическая особенность рассматриваемой ситуации состоит в том, что мы наблюдаем здесь возможность непосредственного перехода от субъективного и только вероятного мнения отдельных индивидов к абсолютному мнению математического сообщества, утверждающего факт полной надежности доказательства, невозможности его опровержения. Здесь, однако, нет ничего незаконного, противоречащего теории вероятностей, ибо мнение математического сообщества относится к анализу конечной конструкции на базе предельно достоверного разделения аподиктических и ассерторических очевид-ностей. Математическое доказательство представляет собой конечную конструкцию в сфере аподиктически очевидного. Все отклонения от абсолютности на этом уровне являются случайными и устраняемыми в конечное время.

Будем называть доказательство надежным или завершенным, если оно не может быть опровергнуто посредством контрпримеров. Будем называть доказательство строгим или герметичным, если оно не содержит в себе неявных (не оговоренных в условиях) предпосылок. Надежное доказательство, очевидно, может быть нестрогим. Таковы почти все геометрические доказательства Евклида: эти доказательства не подвержены контрпримерам и подтверждаются как корректные во всех последующих более строгих изложениях геометрии, но они, очевидно, не являются строгими, поскольку опираются на предпосылки, не содержащиеся в оговоренных условиях. С другой стороны, мыслимы строгие доказательства, идеально правильные в системе принятых канонов, но нарушающие правила обычной логики, а потому ненадежные, подверженные контрпримерам при содержательной истинности посылок.
Будем называть доказательство достоверным по отношению к некоторой области объектов, если оно истинно в отношении этой области, т. е. если его заключение, исходящее из содержательно истинных посылок, соответствует фактическому положению дел в этой области. Будучи надежным и строгим, доказательство может оказаться недостоверным вследствие приближенного характера интерпретации или неадекватности правил вывода применительно к данной области объектов. Вопрос о достоверности математических доказательств систематически возникает в сфере логического обоснования математических теорий. Генценовское доказательство непротиворечивости арифметики, будучи совершенно строгим по внутренней логике рассуждения, обычно не рассматривается в качестве гарантирующего фактическое отсутствие противоречий в формализованной арифметике. Вопрос о достоверности доказательств мы будем рассматривать позднее. Наша первая задача будет состоять в том, чтобы выявить признаки, позволяющие судить о полной (абсолютной) надежности и о полной (абсолютной) строгости математического доказательства.
Философы-релятивисты будут отрицать законность самой постановки вопроса, настаивая на том, что идея абсолютности столь же мало приложима к математическому рассуждению, как и ко всякому другому. Математическая практика, однако, несомненно выделяет группу доказательств, которые вследствие своей простоты и обозримости никогда не вызывали никаких сомнений относительно своей завершенности и абсолютной значимости для теории. Это прежде всего все те доказательства, которые состоят в выводе простых следствий из аподиктически очевидных посылок на основании простых правил логики. Чистые аподиктические доказательства абсолютно надежны по той причине, что всякий контрпример к теореме был бы в этом случае опровержением аподиктически очевидной аксиомы или правила вывода. Однако такого рода опровержения, как мы выяснили выше, в принципе невозможны-. Доказательство теоремы о площади параллелограмма, о котором говорилось выше, основанное на самоочевидном преобразовании исходной фигуры, является аподиктически очевидным во всех своих шагах и, вследствие этого, абсолютно надежным. Всякое доказательство, редуцируемое к уровню аподиктической очевидности, должно быть признано абсолютно надежным.
Отрицать наличие абсолютно надежных связей в математике так же невозможно, как отрицать существование предмета, находящегося у нас перед глазами. Наша уверенность и в том, и в другом случае продиктована самыми общими условиями познания, определяющими саму его возможность, и потому она не может быть подвергнута сомнению. Это общее соображение, однако, не позволяет нам определить истинную сферу надежных рассуждений в математике. Для решения этой последней задачи мы должны уточнить сами критерии математической надежности и решить вопрос об их объективной значимости. Мы должны ответить на вопрос, с какой степенью надежности математическое сообщество может фиксировать надежность доказательства в конкретном случае. Иначе говоря, мы должны обосновать объективную значимость наших суждений о надежности и строгости доказательства.

Любое математическое доказательство может быть разбито на части, на отдельные шаги, опирающиеся только на непосредственную очевидность. Если некоторый шаг доказательства не очевиден для нас или для тех, для кого мы доказываем теорему, то это шаг нуждается в дальнейшем разъяснении, в редукции к еще более тривиальным оче-видностям. Доказательство принимается только тогда, когда каждый его шаг либо непосредственно очевиден, либо допускает редукцию к некоторой совокупности непосредственных очевидностей. Но это означает, что проблема надежности математического доказательства состоит, в конечном итоге, в выяснении надежности тезисов, на которые опирается математик в процессе своего рассуждения. Когда некоторая группа математиков приходит к заключению о правильности определенного доказательства, то этим выражается вера в то, что все очевидности, на которые оно опирается, относятся к классу аподиктических очевидностей.
Начиная с Декарта, математическое рассуждение связывается с представлением об абсолютной (некорректируемой) очевидности. В кантовской концепции математики аподиктическая очевидность определяет все элементы математического мышления. Математика, по Канту, самоочевидна в своих исходных объектах, которые даны in concrete в чистом априорном созерцании, она самоочевидна в системе своих исходных принципов (аксиом) и, наконец, она самоочевидна в своих доказательствах, поскольку, согласно Канту, «математические доказательства всегда протекают под руководством чистой интуиции, на основе всегда очевидного синтеза»9.
Современная математика, конечно, не является в такой мере подчиненной требованию очевидности. Практика современного математического мышления требует только логической строгости в определении объектов и не предъявляет никаких требований относительно их непосредственной данности сознанию. Рассуждения в неевклидовой геометрии или в нестандартном анализе с самого начала исходят из утверждений, противоречащих интуиции. С современной точки зрения и аксиомы, и объекты математического рассуждения должны быть лишь логически определенными в том смысле, что они должны
быть выражены в терминах, допускающих редукцию к аподиктически очевидным или постулативно определенным объектам. В настоящее время мы хорошо понимаем, что требование самоочевидности аксиом и определений проистекало из узости взгляда традиционной философии математики и неприменимо к практике современного математического мышления.
Мы должны сохранить, однако, кантовский тезис о безусловной очевидности математического доказательства. Несмотря на возможную неочевидность объектов и аксиом само доказательство как система шагов, ведущих от посылок к следствиям, всегда должно оставаться прозрачным, ибо как уже сказано, неочевидные переходы не могут быть приняты в качестве доказательных: всякий шаг доказательства, претендующего на надежность, должен быть совершен либо в соответствии с аподиктически ясным правилом логики, либо на основе аподиктически ясного состава определения, либо на основе аподиктически очевидных преобразований содержательных посылок (аксиом).
Доказательство, аподиктически очевидное в каждом своем шаге, не может быть дезавуировано каким-либо контрпримером или последующим анализом доказательства. Будучи выполненным и подтвержденным математическим сообществом, оно представляет собой абсолютный факт наличия логической связи, с которым должно считаться всякое другое построение в данной теории. Вопрос о том, достижимы ли в математике законченные доказательства, сводится к вопросу, обеспечивает ли естественная эволюция математического доказательства полное очищение его от ассерторических очевидностей.