Философия и основания математики

Исследование внутренней логики становления математической теории позволяет выделить некоторую ступень в ее развитии, которую можно назвать стадией практической или существенной непротиворечивости. Исследование этой ступени является важным для понимания уровня надежности обычных математических рассуждений, с которыми математик имеет дело в книгах, статьях и учебниках.
Будем называть математическую теорию зрелой или практически непротиворечивой, если она имеет неразрушимый фрагмент, достаточный для оправдания полной системы аксиом, а следовательно, и для обоснования всего множества ее утверждений. Зрелость теории в этом смысле не тождественна ее аксиоматическому представлению. Становление признанной аксиоматики представляет собой длительный процесс, зависящий от многих факторов, вследствие чего между начальным этапом становления теории, на котором она только оформляет свои принципы, и последним этапом, на котором она получает адекватное аксиоматическое представление, имеется длительный этап ее существования, когда она, уже имея достаточную систему истинных утверждений, еще не имеет полного логического оформления на основе признанной системы аксиом. В течение всего этого периода мы имеем здесь дело с обычной математикой, которая исходит из истинных принципов, но которая не нацелена на прояснение этих прилципов и их специальное исследование.
Это состояние теории можно назвать состоянием существенной непротиворечивости, поскольку такого рода зрелая теория, не будучи гарантирована от противоречий в своих производных определениях, тем не менее является гарантированной от переворотов, устраняющих достигнутые результаты, принадлежащие к центру теории.
В логическом отношении это состояние теории может быть определено через различение глубоких и поверхностных противоречий. Будем называть математическое противоречие глубоким, если оно способно привести к отказу от аксиом или некоторых других признанных утверждений математической теории, и назовем его внешним или яо-верхностным, если оно-устраняется корректировкой некоторого производного понятия, не затрагивая, признанных утверждений теории. Зрелая содержательная математическая теория является существен-но непротиворечивой в том смысле, что она может содержать в себе только внешние противоречия.
Нетрудно видеть, что развитие любой математической теории неизбежно приводит ее к состоянию существенной непротиворечивости, задолго до ее аксиоматизации и формализации. Сомнения по поводу того, была ли геометрия строгой до Гильберта, конечно, неуместны12. Математики, доказывающие геометрические теоремы во времена Евклида, мыслили совершенно строго, ибо вместо истинных аксиом они ссылались на безусловно истинные теоремы, без признания которых никакая аксиоматика невозможна. Теория вероятности достигла очень высокого уровня развития, прежде чем Колмогорову удалось указать для нее адекватную систему аксиом. Ясно, что и доаксиоматическое развитие было здесь внутренне строгим. Обсуждение основ теории вероятностей Борелем, Бернштейном и Мизесом касалось интерпретации понятия вероятности, но не ставило под сомнение каких-либо теорем, составляющих ее основу. Неразрушимость центра математической теории является основным законом развития математической теории и это обстоятельство дает исчерпывающее понимание того факта, что возникновение парадоксов в математике несущественно для ее развития и для ее применения, если оно ограничивается использованием признанных утверждений теории.
Системное понимание математической теории, таким образом, обосновывает как абсолютную непротиворечивость аксиоматизированной теории, так и практическую непротиворечивость обычной доакси-оматической теории. Это последнее обстоятельство не менее важно,чем первое, ибо оно позволяет нам понять надежность математики в ее приложениях и истоки неколебимой веры в математику как строгую науку, несмотря на наличие парадоксов и отсутствие ясных методов их устранения. Подавляющее число противоречий, которые когда-либо появлялись в математике, были поверхностными в том смысле, что они не приводили к устранению каких-либо теорем или принципов теории. Системный анализ позволяет понять причины этого факта и принципиальное его значение для понимания непротиворечивости математического мышления в целом.
Философия математики начала XX века явно преувеличивала опасность парадоксов, видя в них угрозу самому существованию математики. Гильберт, как известно, рассматривал парадоксы как методологическую катастрофу, подрывающую доверие к науке. Где же искать истину, спрашивал он, если сама математика дает осечку?13 Причина такой реакции заключалась, несомненно, в отсутствии системного видения теории, в недостаточном понимании того факта, что устойчивость математической теории создается не аксиомами, а формированием ее центра, которое делает все противоречия периферийными и несущественными. Хотя обычное содержательное рассуждение не гарантировано от появления противоречий, эти противоречия не несут никакой опасности для основ теории и должны пониматься лишь как момент становления ее новых понятий.
Математическая теория в процессе своего развития получает абсолютное обоснование в том смысле, что утверждения, принадлежащие к ее центру, не могут быть пересмотрены на основе ее дальнейшего развития. Это относится к любой достаточно зрелой математической теории, независимо от степени ее аксиоматизации. В отличие от эмпирической теории контрпримеры в содержательной математической теории не затрагивают ее оснований и содержания, относящегося к ее центру. В своей критике математической строгости Лакатос упускает это существенное различие между двумя типами знания, приписывая математическим парадоксам силу эмпирических контрпримеров, которой они в действительности не обладают.

Философия XX столетия базировалась на представлении о логике как о науке, тесно связанной с математикой. Это представление возникло из развития логики в XIX веке, когда трудами Д. Буля и Е. Шредера была показана возможность представления логических принципов в простых формальных исчислениях. Математизация логики привела к возрождению философии математики Лейбница, которая рассматривала логику как часть всеобщей математики.
Представление о логике как о науке, имеющей особое отношение к математике, нашло выражение и в программах ее обоснования. Логицизм рассматривал логику как истинное основание математики и основу всех математических понятий: отношение между логикой и математикой понималось здесь как отношение между начальной и зрелой стадиями одной и той же системы понятий. Интуиционистская программа также устраняет особый статус логики, рассматривая логические нормы в качестве схем, выявляемых практикой математических доказательств. Не разделяя идеи о полной редукции математики к логике или наоборот, Гильберт, тем не менее, исходил из того представления, что логические и математические понятия обусловлены друг другом в такой степени, которая исключает возможность их автономного обоснования. Программа обоснования математики, по его мнению, не должна требовать строгого разделения этих двух типов понятий41.
В действительности, однако, между логикой и математикой н& существует столь тесной связи. С деятельностной точки' зрения логика столь же мало зависит от математики; как и от опытных'наук. Mbi выяснили, что логика — это априорная чисто языковая структура, имеющая одинаковое отношение ко всем типам знания. Логика не изменила бы своего состава при полном отсутствии математики в системе наук, и развитие математики не может изменить состава реальной логики.

Слабость существующих концепций логики в значительной мере предопределена тем, что они рассматривают логические нормы в отрыве от функции знания, от его сущностных целей. Мы можем понять природу этих норм только через рассмотрение универсальных требований практики к структуре знания. Мы будем исходить из того положения, что знание имеет только одно назначение — назначение практическое, что любое знание развивается в ориентации на практику и нормировано ею в своих высших принципах.
Принимая этот общий тезис, мы входим в область метафизики, от которой многие философы хотели бы избавиться. Борьба с метафизикой, однако, не может быть оправдана. Философия —теоретическая наука, ее успех состоит в объяснительной и унифицирующей силе ее теорий, и она должна быть открыта для гипотез любого рода, способствующих этой цели.

В. Куайн стремится понять логику в рамках грамматики, на основе понятия о грамматической структуре предложений. В основе его теории логики лежит понятие логической истины, которое определяется через понятие грамматической структуры предложения и через понятие выполнимости. Предложение, согласно Куайну, следует считать логически истинным, если все предложения, имеющие ту же грамматическую структуру, являются истинными26. Истины логики — это, таким образом, истины, сохраняющиеся при всех изменениях высказывания, не нарушающих его структуры.
Задача логики состоит в исследовании связи предложений по истинности. Практика мышления заставляет нас комбинировать из простых предложений более сложные или раскладывать сложные предложения на простые. Логика, по Куайну, призвана гарантировать адекватность этих процедур, составляющих сущность научного и обыденного мышления. Логика занимается не установлением того, на каких объектах выполняются простые предложения, а лишь определяет, исходя из условного допущения их истинности, какие из составных утверждений будут истинными. Логика исследует эти связи и в обратном направлении: зная, что данное составное предложение истинно, она пытается установить, какие альтернативы в смысле истинности имеются для составляющих его простых предложений.
Понятие логики у Куайна, таким образом, исходит из понятий грамматики. Он отделяет, однако, свою концепцию логики от чисто грамматического подхода Карнапа, который считал возможным определить логические истины только на основе структуры языка, вне отношения к предметной истинности. В основе определения логической истины, считает Куайн, должны лежать две вещи, а именно грамматика, которая есть часть лингвистики, и истина, не принадлежащая к лингвистике27.
Система логических истин, по Куайну, существует независимо от математики. Эта независимость проявляется прежде всего в том, что логическая истинность может быть определена без привлечения каких-либо математических понятий. В формальном плане логические исчисления отличаются от математических теорий тем, что в них выполняется процедура разрешимости, которая отсутствует в математических теориях. Логика несравненно беднее математики по содержанию своих понятий и, как таковая, в принципе не может быть достаточной базой обоснования математики. Построения Фреге и Рассела, редуцирующие математические теории к логике, были основаны на неявном расширении логики за счет утверждений, не принадлежащих к ней.
Логика не является эмпирической наукой, ибо она не корректируется в зависимости от фактов, данных в опыте. Куайн считает, однако, что абсолютное противопоставление логики опытным наукам не является законным. Все типы знания, по его мнению, следует рассматривать лишь как более или менее удаленные от опыта и включенные в единую систему, нацеленную на объяснение опыта. Логика и математика, с этой точки зрения, также имеют эмпирическое подтверждение и косвенное оправдание на основе опыта. Исходя из этого взгляда, Куайн не исключает возможности изменения некоторых принципов логики под влиянием изменений в содержании знания. Идея особой логики квантовой механики не представляется ему заведомо абсурдной28.
Ясно, что для Куайна нет проблемы обоснования надежности логики в том смысле, в каком она стояла для Фреге или для Гуссерля. Если логика не априорна и не является изолированной от опыта, то ее обоснование не может отличаться принципиально от обоснования опытных наук. Рациональное обоснование логики в этом случае — не обоснование абсолютной надежности, а лишь установление адекватности ее принципов современному состоянию знания.
В философии логики Куайна, как мы видим, содержится значительная доля эмпиризма и релятивизма. Эта концепция характерна для философии науки конца XX века, преобладающей особенностью которой является релятивизм и антиаприоризм.
Хотя проведенное рассмотрение не обладает полнотой, оно уже выявляет бедность и методологическую слабость существующей философии логики. Старые проблемы: априорного-апостериорного, аналитического-синтетического, нормативного-теоретического и т. п. — все еще далеки от своего разрешения: мы не можем поставить принципы логики рядом с законами опытных наук и не можем объявить ее системой вечных истин, независимых от мира и нашей деятельности в мире. Современные концепции логики являются слишком абстрактными для того, чтобы быть полезными для методологии математики. Они не дают нам убедительного обоснования надежности логических норм и, тем самым, оставляют нас совершенно безоружными перед лицом различных форм логического скептицизма. Ясно, что мы не можем подойти к решению проблемы обоснования математики, не установив полного доверия к логике.