Философия и основания математики

Математическая теория, как и всякая другая, начинается с фактов, а именно, с очевидных высказываний относительно объектов и с установления простейших связей между ними и лишь постепенно продвигается к своим теоретическим основаниям, к выявлению системы принципов, которая обеспечивает систематическое развертывание теории в пределах известных ее результатов. Двигаясь по этому пути, мы, в конечном итоге, выявляем систему аксиом, адекватную содержанию теории.
Разделение принципов и фактов как различных уровней математической теории дает возможность говорить об истинности принципов в тношении фактов, о соответствии аксиом фактуальной основе теории. Истинность системы аксиом в этом смысле, в отличие от онтологической и семантической истинности, о которых шла речь выше, можно назвать фактуальной истинностью, поскольку в ее основе лежит общенаучное представление об истинности как о соответствии суждений некоторому данному содержанию. Такое понимание математической истины объединяет математику с эмпирическими науками и ставит проблему обоснования математических принципов на основе фактов.
Онтологическая истинность математических суждений, при всей своей важности для математики, сама по себе недостаточна для понимания статуса аксиом, поскольку самоочевидность — не универсальное свойство аксиом, а лишь особенность ряда первичных аксиоматик, наиболее тесно связанных с универсальной онтологией и логикой. Система аксиом математической теории, как нацеленная на объяснение ее содержания и производная от этого содержания, формируется, в общем случае, не на основе очевидности, а как полное логическое основание исторически сложившегося ядра теории. Формирование системы аксиом в этом смысле тождественно логике выявления физических принципов, и мы должны признать правильность того положения, что формирование логического основания математической теории происходит не в соответствии с евклидианской, а в соответствии с квазиэмпирической схемой.
Здесь, в этом пункте состоит главная трудность на пути всех программ строгого обоснования математики. С одной стороны, на уровне методологической интуиции мы понимаем, что математика — не физика и ее теории обоснованы некоторым более надежным образом, что они несравненно более стабильны и в некотором смысле внеисторич-ны. Но, с другой стороны, мы не видим разумных путей обоснования непротиворечивости аксиоматической системы, которая формируется без помощи какой-либо очевидности, в соответствии с квазиэмпирической схемой, и не может быть принята в качестве онтологически истинной. Самый легкий путь состоит в том, чтобы объявить, что математическая теория по характеру своих обосновывающих принципов в общем случае не отличается от эмпирической теории и не может рассчитывать на обоснование, отличающееся от обоснования эмпирической теории. Такова позиция современного эмпирицистского фал-либилизма в философии математики.

Философы-конвенционалисты допускают возможность иных логик, ибо логика, по их мнению, может быть изменена как любой принцип построения языка, принятый по соглашению или сформировавшийся стихийно. Онтологическая теория логики исключает такое понимание как основанное на заблуждении. Мы выяснили, что законы логики подчинены целевой установке мышления, являются раскрытием понятия истины применительно к форме суждений. Это значит, что принципы логики являются аналитическими на двух уровнях: каждый из принципов раскрывает смысл содержащихся в нем констант, и все принципы вместе раскрывают гносеологическое определение истины применительно к форме суждений. Этот второй уровень аналитичности является более глубоким и определяющим. С этой точки зрения мы можем понять то обстоятельство, что система смысловых констант, лежащих в основе логики, с самого начала формируется как определенная целостность, соответствующая своей функции: она должна быть общезначимой (категориально определенной) и достаточно полной для выражения структуры возможных суждений. Целевая детерминация логики ставит ее в жесткую корреляцию с онтологией и исключает какие-либо изменения, не обусловленные изменениями в категопзипьной структуре мышления.
В отличие от математики логика является системой чисто нормативного знания. Система законов может пониматься либо как описание некоторых связей в предмете, либо как система норм, которым должно подчиняться это описание. Любой признанный теоретический закон является одновременно и нормой, и кажется естественным предположить, что всякая норма, в свою очередь, покоится на некотором теоретическом основании. Так думал Гуссерль, полагая, что и арифметика, и логика в одинаковой мере являются теоретическими дисциплинами. Арифметика имеет несомненную теоретическую направленность: она нацелена на описание идеальной предметности, на ее представление в понятиях безотносительно к какой-либо нормативной функции. Гуссерль прав в том, что нормативность арифметики — явление вторичное, возникающее на основе ее теоретической зрелости.
Анализ, однако, показывает, что принципы логики с самого начала формируются не как законы описания, а как законы долженствования, они говорят не о том, как связаны значения и смыслы в практике мышления, а о том, как они должны быть связаны в соответствии с критерием истинности. Логика, таким образом, не отражательная, а телеологическая, чисто нормативная наука, проистекающая исключительно из целевой ориентации мышления. Она представляет собой проекцию цели мышления на его языковую форму. В своей аргументации Гуссерль упускает из виду наличие универсальной нормативности, которая не предполагает каких-либо теоретических предпосылок. Мир значений и их связей — не предмет описания для логика, а исключительно объект нормирования. То же самое относится и к понятию истины. Истинность в логике не предмет анализа, а лишь целевая интуиция, т. е. чисто регулятивное представление. Система строгих законов, связанных с понятием истинности, может быть только системой внешних норм, причем формулировка этих норм не предполагает сущностного описания каких-либо реальных аспектов мышления, точно так же как формулировка общего принципа причинности не предполагает исследования конкретных причинных связей.
Здесь мы имеем принципиальное различие между арифметикой и логикой как двумя понятийными системами, непосредственно связанными с универсальной онтологией. Будучи онтологически определенной, логика как наука реализует особый тип связи с онтологической основой, который основан лишь на прояснении ее аналитического аспекта. Если арифметику мы можем понять как отражение в понятиях идеально предметных представлений, то для логики мы не имеем соответствующего позитивного аспекта онтологии, с которым она могла бы быть сопоставлена в качестве его теоретической экспликации. Логика в отличие от арифметики не эксплицирует синтетических истин онтологии, а лишь проясняет лежащие в их основе фундаментальные (категориальные) смыслы, такие, как «и» (сосуществование во времени), «или» (возможное разделение существования во времени) и т. п.

Родовые истины, по Спенсеру, связаны с особой интуицией, с психологической невозможностью мыслить иначе. Особенность логики и математики состоит в том, что они обосновываются не в опыте, а только на основе такого рода интуиции. «Мы не можем указать никакого другого ручательства за истинность логических интуиции, кроме того, на которое опираются все интуиции, принимаемые за достоверные, а именно кроме невозможности мыслить их иначе»10.
Будучи последовательным в эмпирическом понимании познания, Спенсер не придает своему критерию абсолютного значения. Он считает, что критерий «немыслимости иного» — наивысший критерий опытного подтверждения и истинности, но не критерий, обеспечивающий абсолютную истинность. Опыт показывает, что всякое познание относительно, и вещи, которые когда-то были немыслимыми для человечества, оказались существующими. Применительно к логике это значит, что правила, определяющие наши умозаключения, не абсолютны и не исключают ошибки. Логический вывод предельно надежен, но не абсолютно надежен. Логическое умозаключение имеет тенденцию к деградации с увеличением числа его шагов.
Итак, мы видим, что Спенсер стремится обосновать надежность логики, оставаясь на позициях последовательного натурализма. Кантов-ское априорное превращается у него в исторически приобретенное, конечно, теряя при этом свою абсолютность. Логика очень надежна, но не абсолютно надежна, поскольку силлогизм только продукт систематизации опыта. Она почти закончена в своих схемах, но не совсем закончена, поскольку человеческий опыт продолжается.
Близкую концепцию логики мы видим у Милля в его «Системе логики». Милль, однако, выводит логику не из законов природы, а из аконов мышления. Законы логики для него просто технические правила мышления, базирующиеся на законах психологии. Логика, считает Милль, должна получить окончательное оправдание в несомненных фактах психической жизни. Закон противоречия представляет, по Миллю, одно из самых ранних обобщений опыта. «Первоначальным основанием его (закона противоречия — В.П.), — пишет Милль, — я считаю тот факт, что уверенность и отрицание суть два различных духовных состояния, исключающих одно другое; это мы знаем по самому простому наблюдению над нашим собственным духом. Если мы будем наблюдать внешние явления, то мы также найдем, что свет и тьма, звук и тишина, движение и покой, равенство и неравенство, предыдущее и последующее, последовательность и одновременность и, вообще, всякое положительное и соответствующее ему отрицательное явление представляют собой факты различные, стоящие в резкой противоположности друг с другом: одного из них всегда не бывает налицо, раз присутствует другой. Обобщением всех этих фактов я и считаю аксиому, о которой идет речь»11.
Более глубокое отличие Милля от Спенсера состоит в том, что логическая необходимость у него существенно базируется на конвенциях. Аксиома силлогизма для него — не индуктивное обобщение опыта, а просто определение понятия класса, согласованное с фактическим употреблением соответствующего представления в языке. В этом же духе он истолковывает и внутреннюю необходимость общих принципов логики. «Утвердительное и соответствующее ему отрицательное суждение суть не два независимых утверждения, связанные друг с другом только своею взаимной несовместимостью. Тот факт, что если отрицательное утверждение истинно, то утвердительное должно быть ложно, — это действительно только тождественное предложение выражает только ложность утвердительного и не имеет никакого другого смысла и значения. Поэтому «начало противоречия» следовало бы лишить той торжественной формулировки, которая придает ему вид основной противоположности, проникающий всю природу. Его следовало бы выразить в более простой формуле: «Одно и то же предложение не может быть в одно и то же время и истинным и ложным»12. Истинность принципов логики, таким образом, обусловлена значением терминов, содержащихся в их формулировке.
Милль — сторонник эмпирического обоснования логики в том смысле, что он отвергает идею априорности в любой ее форме. Однако идея конвенции, существенно внедренная в его теорию, отделяет его от тех эмпириков, которые хотели увидеть в законах логики прямое отражение опыта. Логическая необходимость основана у него на соглашениях, хотя эти соглашения не произвольны, а определены фактами психической жизни.

В своем становлении доказательство проходит разные ступени. Первоначально оно может использовать интуитивные понятия, не являющиеся в достаточной степени определенными, а также скрытые эмпирические и индуктивные доводы и, таким образом, быть далеким от идеала непреложного, абсолютно надежного умозаключения. Иными словами, доказательство на первых стадиях своего становления может опираться как на аподиктические, так и на ассерторические очевидности, и пока это так, надежность доказательства остается проблематичной. Вопрос о надежности математического доказательства сводится к вопросу о том, обеспечивает ли естественная эволюция математической теории полное очищение своих доказательств от ассерторических элементов. Анализ логики развития математического знания дает утвердительный ответ на этот вопрос.
Истинность этого положения в достаточной степени подтверждается историей математики. Хотя новые доказательства могут корректироваться и даже опровергаться, они тем не менее никогда не корректируются до бесконечности. Для любого математического доказательства, как показывает опыт, наступает стадия окончательного признания, достигнув которой, оно может изменяться лишь в плане логического упрощения, обобщения или интерпретации результата, но не в плане сомнений относительно наличия теоремы, т. е. самого факта следования определенных выводов из определенной системы посылок. Опыт показывает, что любое математическое доказательство по истечении определенного времени либо устраняется критикой как ошибочное, либо достигает состояния завершенности, полной внутренней определенности, гарантирующей его надежность. Математическая практика не подтверждает факта постоянной корректировки теорем и уточнения их условий, что наблюдалось бы в случае бесконечности процесса его становления как надежного. Любая математическая теорема неизбежно стабилизируется, приобретая значение непреложного факта в рамках теории.
Возможность абсолютного освобождения математического рассуждения от ассерторических доводов обусловлена прежде всего особым статусом аподиктической очевидности в нашем сознании. Будучи деятельностным по своей природе, различение аподиктического и ассерторического является сущностным для нашего сознания, определяющим его саморефлексию. Сколь непреложно мы воспринимаем содержание аподиктической истины, столь же непреложно мы воспринимаем и сам факт ее аподиктичности. Иными словами, различие между ассерторической и аподиктической очевидностью дано нашему сознанию с аподиктической очевидностью. Это обстоятельство лежит в основе нашей способности отличать доказательство от цепочки умозаключений, имеющих только вероятный характер, и определяет эффективность механизма очищения математических рассуждений от допущений ассерторического порядка. Математик, конечно, может незаметно для самого себя использовать ассерторические допущения, но, как правило, в дальнейшем он обнаруживает свою ошибку. Субъективная убедительность доказательства, имеет, с этой точки зрения, вполне объективные основания: она состоит в уверенности, что каждый его шаг осуществлен в рамках аподиктической очевидности.
Несравненно более сильной и, как показывает практика, абсолютной критериальной способностью обладает сообщество математиков. Если доказательство признано как надежное не только автором, но и сообществом математиков, то практически это является полным обоснованием его абсолютной надежности. Абсолютная критериаль-ность математического сообщества проистекает из того обстоятельства, что всякая аподиктичность выступает для человеческого сознания как интерсубъективность, как нечто безусловно приемлемое всеми. Отдельный математик, вследствие определенных субъективных особенностей своего мышления, может достаточно долго не замечать некоторой неявной предпосылки в своих рассуждениях. Но если ошибка субъективна, то в высшей степени маловероятно, что она не будет замечена другими математиками, в противном случае надо было бы предположить, что в ней заключается некоторая интерсубъективность. Практически сообщество математиков доводит любое доказательство до полной ясности всех его шагов и либо включает его в класс абсолютно признанных истин, либо отвергает его. Имея в виду это обстоятельство, мы будем говорить, что сообщество математиков обладает абсолютной критериальностью в отношении надежности математического доказательства. Суть этого положения состоит в том, что не существует доказательств, относительно которых математическое сообщество не вынесло бы окончательного вердикта в исторически конечное время. Известно много примеров ошибочных доказательств, которые в течение некоторого времени признавались математиками в качестве истинных, но все такие ошибки, если теорема приобретала известность и вовлекалась в практику, обьЧчно раскрывались еще при жизни автора.
Тезис об абсолютной критериальности математического сообщества, как кажется, можно поставить под сомнение, исходя из тривиального вероятностного соображения, состоящего в том, что если отдельный математик по разным причинам не гарантирован от ошибок, то не гарантировано от них и сообщество математиков: хотя и с очень малой вероятностью, но оно может заблуждаться относительно любой истины и как угодно длительное время. Это рассуждение, однако, ошибочно. Оно не учитывает принципиальной конечности и системности математического рассуждения.