Философия и основания математики

Слабость теорий Гуссерля состоит в том, что она не разъясняет механизма стабилизации принципов. Какие факторы принуждают сознание, прибегающее к фантазии и вариации, останавливаться на определенных теоретических смыслах как абсолютных для данной системы фактов? Концепция Гуссерля не содержит сколько-нибудь удовлетворительного ответа на этот вопрос, который является основным для понимания статуса математических аксиом. В действительности, мы имеем здесь дело лишь с механизмом ретротрансляции истины, обусловленным системностью математической теории. Аксиоматика арифметики — это минимизированная, а следовательно, абсолютная теория для сингулярных истин арифметики, определенных представлениями предметной онтологии. В своей теории эйдетических истин Гуссерль мистифицировал механизм ретротрансляции истины, имеющий место в процессе самообоснования математических теорий.
Методологический анализ дает нам основание утверждать, что любая теория, включенная в центр математики и используемая для развития других теорий, является непротиворечивой в своей основе, независимо от своего содержания и от того, в какой мере это может быть подтверждено строгим логическим анализом. Диалектические аргументы позволяют, таким образом, защищать фактическую непротиворечивость математики, существующую независимо от возможностей ее логического обоснования. Важно отметить, что мы выходим здесь за пределы логики не на основе истинности аксиом или принципов метатеории, а на основе истинности фактов и механизма ретротранс-ляции истинности. Это более широкое основание для рассуждений о непротиворечивости математического знания, ибо оно в одинаковой мере применимо к любой математической теории.

В статье «Расселовская математическая логика» Гёдель писал: «... Нужно взять более консервативный курс, такой, который бы состоял в том, чтобы сделать значение термина «класс» и «концепт» более ясными и построить непротиворечивую теорию классов и концептов как объективно данных сущностей»66. Эта идея высказывается Гёделем также в статье «Что такое канторовская континуум гипотеза» (1947): «Для тех, кто рассматривает математические объекты как существующие независимо от операций нашего конструирования и нашего интуитивного осознания их как индивидуальных, кто требует только того, чтобы общие математические понятия были в достаточной степени ясны для нас, чтобы признать их осмысленность и истинность аксиом, связанных с ними, существует, я верю, достатояные основания для признания канторовской теории множеств в ее полном объеме и значении»67. Гёдель исходит из допущения, что человеческий интеллект наряду с конкретными свойствами математических объектов схватывает и относящиеся к ним абстрактные качества, не сводимые к этим конкретным свойствам. Абстрактные математические понятия отражают, по Гёделю, аспекты объективной реальности, но иные, чем те, которые даются посредством ощущений. Они обязаны своим существованием в нашем сознании другому роду отношений между нами и реальностью, чем тот который определяется опытом68.
Эти идеи Гёделя не получили признания в качестве методологически значимых. Основная причина состоит в их недостаточной определенности. Они не содержат критериев реальности и не позволяют решить вопрос, какие из очевидных аксиом теории множеств следует принять в качестве непосредственно истинных, а какие являются сомнительными в этом отношении. В своей общей формулировке идеи Гёделя могут быть поняты как отказ от строгого анализа оснований и возвращение к обычной манере изложения математических теорий, сориентированной на убедительность непосредственного восприятия предпосылок и выводов. Их можно понять и как защиту математического эмпиризма, поскольку они основаны на аналогии между математическим и физическим существованием, а также между математической интуицией и чувственным восприятием.
Разумеется, гёделевская идея не имеет никакого отношения к эмпиризму и релятивизму, а нацелена на выявление полного и предельно надежного основания математики. В настоящее время становится все более ясным, что несмотря на свою неопределенность эта концепция должна рассматриваться как указывающая необходимое направление мышления. Концепция Гёделя исходит из понимания реальности и истинности математических утверждений, ее ведущим мотивом является антииндуктивизм, убеждение в том, что математика не может быть построена на узкой основе понятий, которые выделены в качестве исходных в существующих программах обоснования математики.

Праксеологическая трактовка логики позволяет прояснить связь между принципами логики и понятием истины. Каждое понятие имеет значение, которое заключается прежде всего в совокупности предметов (реальных или' мыслимых), подпадающих под это понятие. Предложение языка выражает определенную связь значений, их соединение, раздельность, включенность друг в друга и т. п., которую мы называем суждением или смыслом этого предложения. Грамматически различные предложения могут выражать один и тот же смысл, и в этом плане мы вправе говорить о суждении как о логической форме предложения, которая остается постоянной с изменением его собственно грамматической оболочки.
Суждение в своей сущности — это мысленная связь значений, гипотеза о некоторой реальности, которая может быть либо истинной, либо ложной. Согласно Аристотелю, истину говорит тот, кто считает разъединенное разъединенным и связанное связанным29. Можно сказать, что истинность представляет собой функцию, сопоставляющую мысленные образы с реальным положением дел. Суждение «На улице холодно» истинно, если на улице действительно холодно. Слово «действительно» обозначает здесь некоторую внемысленную (практическую) операцию, соотносящую суждение и реальность.
Здесь важно зафиксировать несколько моментов. Первый из них состоит в том, что логика опирается на общее гносеологическое понятие истины, в основе которого лежит идея соотнесения суждения с реальностью. В этом смысле логика неразрывно связана с общей теорией познания. Важно понять также, что гносеологическая истина в логике — не приближенная истинность эмпирического знания, а абсолютная (идеальная) истинность, не допускающая изменения или корректировки. Идея абсолютной истины — не фикция и не бесполезная метафизическая конструкция, а представление, составляющее основу логики, интуитивный критерий правильности ее законов. Необходимо иметь в виду, наконец, то обстоятельство, что в отличие от теории познания и методологии науки логика полностью абстрагируется от рассмотрения фактических возможностей установления истины. Логическое рассмотрение исходит из условного допущения абсолютной истинности суждений. Задача логики состоит в том, чтобы исходя из допущения истинности некоторых суждений, определить всю систему истинных суждений, вытекающих из этого допущения. Логика исследует необходимые связи между суждениями на основе предположения об их абсолютной истинности.
Принципы логики в своей сущности представляют собой запреты на типы суждений, заведомо несовместимые с понятием истины. Говоря,что недопустимы суждения вида «А и ие-А», мы утверждаем тем самым, что суждения, обладающие такой формой, ни при каких условиях не могут претендовать на истинность. Нам не нужно здесь гипотез о том, как устанавливается истинность суждения А в том или другом случае, и может ли она быть установлена вообще. Логический принцип непротиворечия утверждает лишь то, что суждение, состоящее из утверждения и отрицания определенного смысла, несовместимо с понятием его истинности. В основе логики, таким образом, лежит общезначимая идея истины, исключающая определенные формы суждения как находящиеся за ее пределами.
Логика, таким образом, может быть определена как система ограничений на логическую форму языка, проистекающая из требования абсолютной истинности суждений. Логика предъявляет только те требования к истинности высказываний, которые выразимы в терминах их формы. В этом плане она может быть понята как формальное или отрицательное определение понятия истины, как определение той сферы, за пределами которой суждение перестает быть истинным уже вследствие своей формы. В этом плане система логических принципов — это формальная теория истинности, ограничивающая класс истинных суждений на основе их формы.
При прояснении сущности логики философы, вообще говоря, прибегали к различным трактовкам понятия истинности. В основе логической концепции Лейбница лежит онтологическое понятие истины, которое является коррелятом реального положения дел в мире, не зависящего от мышления и самого существования мыслящих существ. Концепция логики Куайна опирается на семантическое понятие истины, задаваемое через понятие выполнимости. Деятельностиый анализ логики ориентирует нас на гносеологическое понятие абсолютной истины как определяющее для понимания природы и функции логики.

Исходя из этих соображений, Пиаже приходит к выводу, что законы логики должны быть обоснованы в конечном итоге в рамках психологии мышления. «Каноны формальных логических операций, — пишет он, — должны быть установлены и оправданы в психологии интеллекта»24.
Очевидно, что теория Пиаже достаточно близка к теории Милля. И в том, и в другом случае логика выводится из реального процесса мышления. Существенное отличие состоит в том, что в основе логических норм у Пиаже лежат не абстрактные состояния сознания, а операции мышления, т. е. некоторый более конкретный и более определенный аспект психической жизни. Выявляя предметные операции как первичный источник логики, Пиаже делает становление логических норм предметом точного экспериментального исследования. Пиаже полагает, что его концепция логики, которую он называет операционализмом, позволяет примирить традиционную тяжбу эмпиризма и рационализма в истории логики, установить действительную связь между психологией и логикой и дать реальное обоснование природы логических норм.
Теория логики Пиаже выглядит более естественной и более приемлемой с точки зрения здравого смысла, чем априоризм Гуссерля,основанный на таинственном механизме «схватывания сущности». Однако в теоретическом отношении, в плане прояснения статуса логических норм, она также не обеспечивает сколько-нибудь существенного прогресса. Пиаже сводит логические нормы с небес априорности и придает им статус теоретических идеализации. Но, тем самым, он становится уязвимым для всех традиционных аргументов, выдвинутых против эмпирического обоснования логики. Сравнение логики с математической физикой и с геометрией не устраняет трудностей. Конечно, геометрия как математическая теория не опровергается в опыте в смысле исправления отдельных теорем или аксиом. Но как средство описания эмпирических моделей евклидова геометрия часто обнаруживает свою недостаточность и дополняется другими геометриями. Допускает ли Пиаже, прибегая к сравнению логики и геометрии, что углубление операционального опыта может привести к созданию других логик, отличных от общепринятой? Положительный ответ на этот вопрос ведет к признанию относительности логических норм, отрицательный же — неприемлем для Пиаже, поскольку вся его теория направлена против априористских претензий логики. Таким образом, нужно признать, что фундаментальная проблема абсолютности-относительности логических норм в теории Пиаже остается открытой.
Оправдывая принятие закона противоречия в логике, Пиаже пишет: «Понятие является ни чем иным как схемой действия или операции, и только выполняя действия, порождающие А и В, мы можем констатировать совместимы они или нет. Далекие от того, чтобы «применять принцип», эти действия организуются согласно внутренним условиям связи между ними, и именно структура этой организации составляет реальное мышление и соответствует тому, что в аксиоматическом плане принято называть принципом противоречия»25. Нетрудно видеть, что такое объяснение закона противоречия фактически повторяет миллевское его объяснение с той лишь разницей, что несовместимость переживаний заменяется несовместимостью действий. Но в таком случае этот закон превращается в чисто индуктивное обобщение, хотя и высокой степени надежности и, таким образом, теряет свою абсолютную значимость.
Концепция Пиаже страдает также абстрактностью, оторванностью от методологических проблем науки, связанных с логикой. Делая классическое исчисление высказываний идеалом законченной логической системы, Пиаже принимает и закон исключенного третьего как столь же надежный, что и другие законы логики, не предпринимая, однако, никакой попытки ответить на известные возражения против этого закона, выдвинутые интуиционизмом. Здесь мы имеем дело, конечно, не со случайным упущением и не с ограниченностью эрудиции автора, а с явной недостаточностью концепции в целом для решения такого рода спорных методологических вопросов.