Философия и основания математики

В развитии математической теории, как уже сказано, мы используем логику в двух качествах: в качестве правил определения понятий и в качестве правил дедукции. Так как два этих аспекта использования логики существенно независимы, то в принципе возможны три следующих варианта логической организации математики:
1. Классические объекты + классическая логика.
2. Конструктивные объекты + классическая логика.
3. Конструктивные объекты + конструктивная логика.
Первый вариант математики реализуется всей классической математикой и, в частности, канторовской теорией множеств. Третий вариант — это брауэровская интуиционистская математика. Между ними находится некоторый умеренный вариант логического построения математики, который до сих пор еще не реализован в качестве систематической программы, но который с полной ясностью был очерчен в философии математики И. Канта: Кант последовательно защищал интуитивный и конструктивный подход к определению математических понятий, настаивая в то же время на независимости логических принципов от материала мышления и на универсальной значимости основных логических принципов. Такое понимание математики можно назвать кантовским проектом математики или кантовским интуиционизмом33.
Критика классической математики, проведенная Брауэром, была чрезмерно радикальной. От первого варианта построения математики он перешел к третьему, оставив без внимания общий план математики, намеченный в кантовской системе. Представляется, что в настоящее время мы должны будем возвратиться именно к этому среднему плану как к плану практического построения и обоснования математики.
Близкое к этому построение оснований математики было намечено Г. Вейлем в его книге «Континуум» (1917). Надежное представление математики должно исходить, по Вейлю, из принятия бесспорного экзистенциального региона, относительно которого у нас нет сомнений в существовании относящихся к нему объектов и первичных свойств. Все другие объекты и свойства должны быть определены на основе первичных в рамках дефинициальных правил, которые исключают появление объектов типа множества всех свойств рациональных чисел и т. п., не подкрепленных их индуктивным введением на основе первичных свойств. Вейль считает, однако, что закон исключенного третьего является важнейшим положением, задающим определенность математического мышления. На каждый вопрос относительно того, обладает ли объект некоторым свойством, если это свойство определено в соответствии с правилами, мы должны, считает Вейль, отвечать с полной определенностью в положительном или отрицательном смысле34. Общая логика «Континуума» Вейля ближе к Брауэру, чем к Канту, в том отношении, что приемлемое основание математики здесь ограничивается исходными понятиями арифметики. Современный анализ программы Вейля показывает, что она полностью решает задачу арифметического обоснования анализа, хотя использует при этом несколько более сильные средства, чем те, которые предполагались в ее исходной формулировке35.
Праксеологическая теория математической очевидности позволяет нам понять, что переход от брауэровской математики к кантовской не приводит к потере надежности математических рассуждений. Если мы ясно поняли, что закон исключенного третьего не несет ответственности за парадоксы и что источник логических трудностей в математике вообще лежит не в правилах дедукции, а в правилах введения понятий, то кантовская математика представляется наиболее перспективной в качестве базы обоснования математики в целом. Здесь мы не допускаем объектов, заданных произвольными гипотезами, совместность которых с уже принятыми объектами не доказана, но с другой стороны, снимаем все ограничения, проистекающие из неадекватной философии логики.

Теория познания, начиная с Аристотеля, настроена критически в отношении этого понятия. Неприятие актуальной бесконечности мы видим у таких математиков как Лагранж, Лобачевский, Гаусс, Кронекер, Брауэр и Пуанкаре19. В «Учении о трансфинитном» Кантор говорит о враждебном отношении к идее актуальной бесконечности Гельмголь-ца и Кронекера20. Критика актуальной бесконечности, таким образом, имеет длительную традицию, сложившуюся задолго до появления логических трудностей в современной математике.
В принципе, проблема приемлемости актуальной бесконечности, полностью решена Г. Кантором, на основе выявления ее связи с потенциальной бесконечностью. Из существования потенциальной бесконечности логически не вытекает существование бесконечности актуальной. Однако кроме логической необходимости существует методологическая необходимость, определяющая логику образования понятий. Методология математики говорит о том, что актуальная бесконечность коррелятивна бесконечности потенциальной и введение одной из них предполагает использование другой. Всюду, где мы утверждаем наличие потенциальной бесконечности, мы неизбежно утверждаем и наличие порождающей функции, относящейся к бесконечному числу элементов, которые эквивалентны друг другу в смысле принадлежности к этой функции. Но такого рода эквивалентность задает класс, состоящий из бесконечного числа элементов, рассматриваемый в качестве единой и завершенной целостности. В методологическом плане, таким образом, наличие потенциальной бесконечности предполагает представление об актуальной бесконечности как о сфере элементов, соответствующих функции бесконечного порождения. Действуя с порождающими функциями как с целостными объектами, мы в действительности действуем с бесконечными множествами, которые они представляют. Очевидно, что любая система уравнений предполагает пересечение множеств решений, которые, в частности, могут быть бесконечными. Но это значит, что актуальная бесконечность, как и бесконечность потенциальная, внедрена в самые основания математического мышления.
Этот момент хорошо осознавал Г. Кантор. Он считал, что область изменения функции не может быть сама чем-то переменным, ибо в этом случае отсутствовало бы всякое твердое основание рассуждений; поэтому эта область является определенным актуально бесконечным множеством значений. Использование понятия потенциально бесконечного, считает Кантор, имеет понятие актуальной бесконечности в качестве своей необходимой предпосылки. Мы имеем основание утверждать, что Кантором было дано полное обоснование актуальной бесконечности, основывающееся на его логической симметрии с бесконечностью потенциальной.

Традиционная философия исходила из идеи универсальности логических норм и их независимости от материала мышления. Эта позиция с полной ясностью была выражена И. Кантом. Согласно Канту, логика — это наука не для частных видов предметов, но для предметов вообще. Логика, по Канту, может быть уподоблена грамматике, которая исследует формы выражения мысли, независимо от предметов^ о которых идет речь. С этой точки зрения интуиционистские ограничения, конечно, неприемлемы.
Многие логики и философы допускали зависимость логических норм от опыта. У Дж.Ст. Милля, как мы видели, логика представляет собой систему конвенций, отражающих связь между психическими состояниями субъекта. У Спенсера логика отражает общую структуру вещей и в этом смысле также зависит от некоторого аспекта реальности. В принципе, и у Милля, и у Спенсера логика может изменяться в процессе эволюции человеческого мышления. Но важно отметить, что в обоих этих случаях логика зависит от некоторого общего (идеального или материального) основания, и ее возможное изменение не нарушает ее универсальности: это изменение может быть здесь лишь переходом от одной системы универсальных норм к другой. Логика в таком ее понимании не априорна, но неизменно универсальна, одинакова для индивидов и всех областей знания.
Брауэр в своем понимании логики занял крайне релятивистскую позицию: логика зависит у него от типа рассматриваемых объектов и, таким образом, заведомо и неаприорна, и неуниверсальна. Логика математики может отличаться у него от логики обычного языка, а логика теории множеств должна быть другой, чем логика арифметики. С точки зрения современной теории познания эта позиция является совершенно неудовлетворительной. Наиболее значимые современные концепции логики — операционалистская и эволюционная — оправдывают идею универсальности логических норм. Позиция Брауэра опровергается и историей науки. Зависимость логики от содержания мышления, очевидно, должна была бы проявиться в истории науки, которая полна переворотов, связанных со сменой объектов мышления. До настоящего времени мы, однако, не имеем здесь ни одного ясного примера, подтверждающего идею Брауэра о возможной перестройке логики.
Факт универсальности логики становится предельно ясным в рамках праксеологической концепции познавательных норм, в которой логика понимается как система требований к форме мышления, продиктованная практической ценностью знания. С этой точки зрения логика универсальна, поскольку ее внутренняя структура не связана с каким-либо конкретным опытом и с эмпирическими подразделениями вообще.
Законы логики являются идеально нормативными в том смысле, что они идут от должного, от идеальных задач знания, но не от его реального состояния. На этом, собственно, основан и сам механизм действия логических норм. Наше знание, как правило, далеко от истины, понятия не обладают определенностью, исходные суждения не согласованы друг с другом. Но в теоретическом мышлении, на уровне формального соподчинения понятий, мы действуем с ним исходя из предположения абсолютной истинности посылок, полной определенности понятий и непротиворечивости исходных описаний. Это дает возможность увидеть отклонения нашего знания от идеала и внести изменения в систему наших посылок. Эффективность логики как механизма дедукции состоит, таким образом, в априорном приложении идеала к некоторому явно не идеальному положению дел. Трактовка логики как зависимой от материала мышления лишает ее принципы нормативного статуса, ибо индуктивное знание не может быть строгой нормой для другого индуктивного знания. Логика эффективна именно за счет своей идеальности, полной независимости от материала мышления.

Идея содержательности математики достаточно естественна для математиков XIX века. Она проистекает из понимания математики как науки о некоторых непреложных фактах, данных с очевидностью, подобных фактам опытных наук. Рост абстрактности математики вошел в противоречие с таким представлением о ее предмете. Методологический конфликт между сторонниками содержательной и сторонниками символьной математики был неизбежен.
Нечто подобное наблюдалось и в физике. Многие физики воспринимали рост абстрактности своей науки как уход от истинного предмета физики, подмену его математическими фикциями. Постепенно, однако, было понято, что целью физики является не отыскание наглядного и понятного для всех механизма явлений, а предсказание и объяснение явлений из минимума принципов, которые сами по себе могут быть далеко не очевидными. Как только было понято предсказательное, чисто дедуктивное значение физических теорий, традиционные ребования наглядности и понятности физических принципов были отброшены как излишние, не проистекающие из функции физической теории.
Аналогичное изменение в методологических воззрениях произошло и в математике. В настоящее время уже достаточно ясно, что задача математических теорий состоит не в описании некоторой очевидности, а в построении систем объектов и операций, полезных для моделирования реальных отношений, открываемых в науке и технике. С этой точки зрения, которую можно назвать функциональной или прагматической, требования содержательности и интуитивной ясности понятий, которые были столь существенными для Гаусса, Кронекера и Брауэра, представляются произвольными ограничениями, не проистекающими из сущности (назначения) математики. Это относится и к требованию конструктивности. Никто не откажется от использования математической теории только потому, что некоторые ее посылки не обладают интуитивной ясностью или конструктивностью. Математическая практика далеко вышла за пределы этих ограничений. Но это значит, что основной аргумент Брауэра против закона исключенного третьего покоится на произвольном допущении о природе математической теории, не проистекающем из ее назначения.
В основе второго аргумента Брауэра лежит определенное понимание утверждения и отрицания, которое Брауэр считает необходимым принять для сферы истинной математики. В классической математике эти понятия дополняют друг друга так, что отрицание истины есть ложь и отрицание лжи есть истина, вследствие чего двойное отрицание всегда приводит нас в исходную позицию. В принципе и при конструктивном определении математического существования эта симметрия могла бы быть сохранена, если бы мы определили отрицание как просто отсутствие построения. Закон исключенного третьего остался бы в таком случае общезначимым и означал бы относительно определенного объекта, что либо его построение существует, либо нет. Но Брауэр определяет отрицание не просто как отсутствие осуществленного построения объекта, но как наличие некоторого рассуждения, а именно, доказательства абсурдности предположения о существовании этого объекта. Но тем самым немедленно разрушается классическая дихотомия истинности и ложности, ибо фактическое отсутствие построения, очевидно, не тождественно доказательству его принципиальной невозможности. Операция отрицания становится более сложной и двойное отрицание уже не приводит нас к исходному состоянию. Так появляются псевдообъекты типа действительного числа, относительно которого абсурдно утверждение его иррациональности и в то же время невозможно утверждение рациональности.

Брауэровская критика классической логики является более радикальной, чем критика Рассела, ибо она посягает не только на правила определений, обусловленные особенностями теории, но и на элементарные законы, лежащие в основе дедукции. Брауэр отвергает надежность самоочевидных принципов, относящихся к сфере реальной логики.
Принято считать, что Брауэр показал ненадежность закона исключенного третьего и связанных с ним логических принципов, таких, как правило снятия двойного отрицания, правила де Моргана и т. п. Критика Брауэра признана математическим сообществом в том плане, что требование конструктивности лежит в основе большинства современных подходов к проблеме обоснования математики. Можно сказать, что эта критика вошла в практическую психологию математиков, ибо даже в тех областях математики, где классическая логика используется в полном объеме, авторы не упускают случая отметить конструктивный характер своих рассуждений, желая сказать этим, что эти рассуждения не содержат в себе сомнительных моментов. Математики и философы говорят о ненадежности закона исключенного третьего как о некотором хорошо известном и несомненном факте.
Праксеологическая концепция логики очевидным образом противостоит этой критике. Если интуитивно ясные принципы реальной логики являются требованиями, связанными с целевой установкой понятийного мышления вообще, то они строго универсальны и не могут быть отменены или ограничены для какой-либо частной сферы знания. Основные аргументы на этот счет уже изложены. Рассмотрение вопроса, однако, было бы неполным без анализа собственных аргументов Брауэра.

Общее направление мысли Лакатоса непосредственно связано с попперовским учением относительно предпосылок человеческого мышления. R «Логике научного исследования» К. Поппер так выражает свою мысль: «В эмпирическом базисе объективной науки нет ничего ^абсолютного». Наука не покоится на твердом фундаменте фактов. Жесткая структура ее теории поднимается, так сказать, над болотом. Она подобна зданию, воздвигнутому на сваях. Эти сваи забивают в болото, но не достигают никакого естественного или «донного» основания. Если мы перестаем забивать сваи дальше, то вовсе не потому, что достигли твердой почвы. Мы останавливаемся тогда, когда убеждены, что сваи достаточно прочны и способны, по крайней мере некоторое время, выдерживать тяжесть нашей структуры»32. Основная мысль Лакатоса та же самая. Она сводится к тому, что математика не является исключением в ряду теоретических наук, и что ее утверждения, будучи более обоснованными, не являются обоснованными абсолютно, а ее доказательства, будучи более надежными и устойчивыми, чем объяснения в опытных науках, никогда не являются абсолютно надежными и абсолютно устойчивыми.
Изложенный выше подход к пониманию надежности математического доказательства делает логику наших возражений совершенно определенной. С точки зрения праксеологической теории очевидности основная ошибка Лакатоса состоит в том, что он не отделяет ассерторических очевидностей от аподиктических и не осознает особого обосновательного статуса последних. Это убеждение Лакатоса существенно связано с эмпирическим воззрением на математику, согласно которому математические очевидности в своей основе являются очевидностями эмпирического и индуктивного порядка. Это воззрение, однако, не обосновано, и оно полностью опровергается на основе более глубокого анализа природы первичных математических идеализации. Если первичные очевидности математики относятся к универсальной форме мышления, то они внеэмпиричны, вневременны и недоступны для корректировки на основе каких-либо контрпримеров. Но это значит, что регресс в посылках не может быть бесконечным. Он неизбежно задерживается на уровне аподиктических оче-видностей или посредством однозначно определенных утверждений, принятых в качестве аксиом.

С изложенной точки зрения существование законченных доказательств не подлежит сомнению. Более того, мы имеем основания утверждать, что к этому классу относится подавляющее большинство всех доказательств, принятых математическим сообществом. Этот вывод подтверждается практикой математического мышления и историей математики. Все концепции доказательства, которые ставят под сомнение надежность и строгость математического мышления, с этой точки зрения должны быть признаны несостоятельными.
Критика релятивизма, однако, не будет вполне убедительной без рассмотрения его собственных аргументов. Мы должны представить эти аргументы в систематической форме и найти истоки содержащихся в них заблуждений.

Надежность геометрической очевидности неоднократно ставилась под сомнение. В XVIII веке Лагранж призывал математиков избавляться от чертежей в математических рассуждениях, ибо, по его мнению, как и механические аналогии, они снижают строгость и общность рассуждения. Критика геометрической очевидности продолжалась и XIX веке в связи с арифметизацией анализа. Б. Больцано полагал, что все утверждения анализа, сколь бы ясными они не были с геометрической точки зрения, должны получить собственно аналитическое обоснование, опирающееся на определения функций и их свойств. Он считал, что утверждения анализа, обладающие предельной универсальностью, не могут доказываться из соображений частной дисциплины, какой является геометрия4. Брауэр исключил геометрическую очевидность из оснований математики как дискредитированную появлением неевклидовых геометрий5.
Внимательное рассмотрение проблемы показывает, однако, что принижение обосновательного статуса геометрической очевидности, присутствующее до сих пор в философии математики и в математической практике, не является оправданным. Конечно, современная математика далеко вышла за пределы геометрической наглядности и исследует большое число объектов, далеких от возможностей обычного пространственного представления. Мы не можем наглядно представить непрерывную функцию, не имеющую производной, кривую, целиком заполняющую квадрат, или способ рассечения шара на части, из которых можно составить два равновеликих ему шара, и множество других объектов, исследуемых в современной математике. Именно на такого рода факты указывают те математики и философы, которые говорят о крахе интуиции в современной математике6.
Факт уменьшения сферы геометрической наглядности в современной математике не подлежит сомнению. Сама геометрия далеко вышла за границы обычной наглядности, и нетрудно понять, что процесс расширения математики за счет абстрактных объектов вполне закономерен и не может быть обращен вспять. Но здесь необходимо разделить разные вещи. Когда мы ставим вопрос о надежности геометрической очевидности, то нас интересует не то, как широка сфера ее использования, а лишь то, является ли эта очевидность там, где она фактически используется, достаточно надежной. Иными словами, нас интересует не вопрос об универсальности геометрической очевидности (этот вопрос разрешается однозначно и отрицательно), а вопрос о ее надежности, т. е. вопрос о том, является ли она надежной в сфере своего фактического применения. На вопрос, поставленный таким образом, мы имеем все основания ответить утвердительно.
Для уяснения сути дела рассмотрим процесс вычисления поверхности фигуры, которая известна как цилиндр Шварца. Если цилиндр высотой Н разделить на п горизонтальных слоев и в основания каждого из слоев вписать ^-угольник, то ребра, соединяющие соседние вершины многоугольников, образуют многогранную поверхность, вписанную в боковую поверхность цилиндра, состоящую из 2nk равных треугольников. Геометрическая интуиция подсказывает нам, что при неограниченном увеличении п и к (числа слоев, на которые разделен цилиндр, и числа сторон многоугольника, вписанного в основание слоя) площадь многогранной поверхности будет приближаться к площади боковой поверхности цилиндра. Простой расчет показывает, однако, что величина этого предела зависит от относительной скорости изменения га и & и, вообще говоря, может быть как угодно большой. Несостоятельность геометрической очевидности, как кажется, оказывается более чем убедительной7.