Философия и основания математики

Идея неразрушимого центра теории имеет важное методологическое значение, поскольку она позволяет нам говорить об обосновании понятий и принципов на основе факта их принадлежности к этому центру.
С методологической точки зрения важно то, что принадлежность к центру теории оправдывает логическую корректность определений даже в тех случаях, где собственно логическое оправдание в принципе недостижимо. Такая проблема существует, к примеру, в отношении непредикативных определений. Математики начала XX века намерены были полностью исключить непредикативные определения как содержащие логический круг, однако вскоре обнаружилось, что эти определения вовлечены даже в арифметические рассуждения. Некоторые формы непредикативных определений поддаются реабилитации через сведение их к рекурсивным определениям и на основе понятия конечной устранимости10. Достаточно очевидно, что полностью эта проблема неразрешима: мы не можем провести здесь строгой разграничительной линии на основе чисто логических определений. Те же проблемы возникают при использовании объектов, введенных на основе аксиомы свертывания. Эти проблемы, однако, могут получить решение на основе принципа системной детерминации.
Рассматривая вопрос о порочном круге в математических рассуждениях, связанных с использованием непредикативных определений, Гёдель писал: «Можно показать, что формализм арифметики не удовлетворяет принципу порочного круга в первой его форме, так как аксиомы влекут существование действительных чисел, определимых в этом формализме, только с обращением ко всему множеству действительных чисел. ...Я хотел бы рассматривать это как доказательство того, что скорее ложен принцип порочного круга, нежели ложна классическая математика...»11. За этим коротким замечанием Гёделя стоит в сущности новая идея принятия объектов и определений, устраняющая многие проблемы, порождаемые чисто логическим подходом. Суть ее состоит в том, что не логическая теория, а математическая практика определяет приемлемость той или другой системы определений.
Идея абсолютности локального обоснования дает нам практический принцип оправдания определений, основывающийся на их вхождении в состав зрелой теории. Если мы видим, что непредикативные определения существенны для обоснования признанных утверждений арифметики, то мы должны считать эти определения (в используемой форме) абсолютно корректными для данной теории. Если введение абстрактных объектов, основанных на аксиоме выбора, оказывается необходимым для обоснования центральных теорем математического анализа, то логическая корректность этой аксиомы и объектов, введенных на ее основе, не может быть поставлена под сомнение. В оправдании определений практика должна быть поставлена выше логики. Мы должны признать, что сама вызревающая теория демонстрирует нам типы допустимых объектов и что мы должны признать эти объекты в качестве корректных, независимо от возможностей их логического обоснования.
Эти соображения позволяют нам сделать более осмысленным введенное выше различение между логикой дедукции и логикой определений. Брауэр наставал на том, что все принципы логики должны быть выведены из практики математического мышления. В общем плане эта идея, конечно, не может быть принята. Логика дедукции, несомненно универсальна, автономна от математики и должна быть обрснована из самих целей мышления и независимо от какой-либо практики. Однако эта идея представляется верной для логики определений. Типы определений, которые мы принимаем в конкретной математической теории, заведомо не определены чистой логикой, ибо они различны в различных теориях. Это значит, что первичным и абсолютным критерием здесь может выступать только сама практика, проясняющая необходимость тех или иных определений для построения центра теории.
Вхождение определения в центр теории говорит не только о корректности данного определения, но о корректности его схемы или правила, лежащего в его основе, т. е. о приемлемости всех объектов, заданных в соответствии с этой схемой. Мы, таким образом, можем считать абсолютно оправданными все типы определений, вовлеченных в построение неразрушимого центра теории. Мы должны говорить о безусловном примате практики в процессе принятия определений в том смысле, что практически оправдавшие себя определения не могут быть устранены из теории, а принадлежность определения центру теории должна быть признана универсальным и абсолютным критерием его корректности.

Целью обосновательных рассуждений, в конце концов, является обоснование надежности содержательных математических теорий. Несомненно, что там, где достигается строгое логическое (метатеоре-тическое) обоснование непротиворечивости формализованного исчисления, оно может считаться полным обоснованием соответствующей содержательной теории, гарантирующим отсутствие противоречий в ее основных утверждениях. Логика обоснования заключается здесь в переходе от непротиворечивости формальной модели к непротиворечивости содержательного аксиоматического представления теории. Суть системного подхода состоит в том, что он нацелен непосредственно на обоснование непротиворечивости содержательных аксиоматических систем. Мы выводим здесь факт непротиворечивости теорий из анализа логики их развития и стремимся сформулировать признаки ее логической надежности без обращения к свойствам формализованной модели теории.
Если приведенные соображения верны, то нужно признать, что все основные теории современной математики вне зависимости от возможностей их логического анализа являются существенно непротиворечивыми и абсолютно непротиворечивыми в рамках их систематического аксиоматического представления. Это относится в данном случае не только к центральным теориям математики, таким, как арифметика, геометрия и алгебра, но и к таким теориям, как теория вероятностей, топология и теория множеств, в ее признанных аксиоматических представлениях.
Выше были приведены аргументы за непротиворечивость теории множеств, опирающиеся на онтологическую значимость ее основных аксиом. Системный анализ дает нам более убедительный подход к решению этой проблемы, опирающийся на факт стабильности ее аксиом. Теория множеств (это относится по крайней мере к наиболее употребительным и практически используемым ее представлениям) является, с системной точки зрения, не менее надежной, чем всякая другая теория современной математики, имеющая признанную аксиоматику.
Вся история развития теории множеств связана с сомнениями в ее корректности. В начале XX века, после того как Цермело представил первый вариант аксиоматического представления теории множеств (1908), Пуанкаре писал: «Автор думал избежать наиболее существенных парадоксов, запретив себе всякие спекуляции за пределами полностью замкнутого Menge; он думал избежать парадокса Ришара, не ставя никаких вопросов, кроме дефинитных, что по тому смыслу, который он вкладывает в это выражение, исключает всякое рассмотрение объектов, которые могут быть определены конечным числом слов. Но если он хорошо запер свою овчарню, то я не убежден, что он не запер туда и волка»14. Та же мысль звучит и в высказывании Г. Вейля, которое было сделано через четыре десятилетия: «...У нас нет гарантий непротиворечивости Z, — пишет Вейль, — за исключением того эмпирического факта, что до сих пор из нее не выведено никаких противоречий»15. Утверждения того же типа мы находим и в современных книгах по математической логике. Общий смысл их состоит в том, что хотя в рамках признанных аксиоматик теории множеств не выведено никаких противоречий, у нас нет полной гарантии, что это не произойдет в будущем.

Особенностью зрелой математической теории, как уже сказано, является прямая связь фактов и принципов, при которой факты однозначно определяют систему необходимых принципов. Поскольку истинность фактов в некоторых случаях может быть признана непосредственно, без обращения к аксиомам, то в этих случаях появляется возможность непосредственного вывода о непротиворечивости аксиом на основе их логической связи с фактами.
В качестве примера мы можем указать на связь аксиоматики евклидовой планиметрии с теоремой Пифагора. Особенность теоремы Пифагора состоит в том, что ее строгое доказательство требует использования всех планиметрических аксиом евклидовой геометрии. Все эти аксиомы как бы стягиваются в факте, выраженном в теореме Пифагора. Другая замечательная особенность теоремы Пифагора состоит в том, что она может быть обоснована в своей истинности вне аксиоматического развертывания теории, на основе аподиктически очевидных геометрических построений, которые не могут быть поставлены под сомнение. Но если это так, то теорема Пифагора должна быть признана в качестве факта, абсолютно оправдывающего систему аксиом планиметрии, ибо ни одна из этих аксиом не может быть устранена или скорректирована без отказа от этой теоремы. Систему аксиом планиметрии мы можем рассматривать в этом случае как аналитическое развертывание аподиктически очевидной истины, заключенной в теореме Пифагора. Из логической симметрии системы аксиом и аподиктически очевидного факта в данном случае с несомненностью вытекает как завершенность, так и абсолютная непротиворечивость системы аксиом планиметрии.
Другой пример того же рода мы видим в теории множеств. Мы имеем здесь лемму Жордана, которая в двумерном случае сводится к утверждению, что замкнутая линия L, не имеющая самопересечений, делит плоскость на две части, обладающие тем свойством, что никакие две точки, принадлежащие к разным частям не могут быть соединены линией, не пересекающей линию L. Очевидно, что эта лемма фиксирует аподиктически очевидную истину, которая не может быть устранена из состава геометрических истин, а с другой стороны, мы устанавливаем, что ее доказательство в теоретико-множественных понятиях предполагает использование всех аксиом теории множеств, в том числе и аксиомы выбора. Мы снова фиксируем прямую связь системы аксиом с некоторым аподиктически очевидным фактом, которая доказывает как завершенность, так и абсолютную непротиворечивость системы аксиом.
Здесь следует заметить, что этот вывод не может быть поставлен под сомнение указанием на возможную неадекватность языка теории множеств или на содержащиеся в нем некорректности. Каким бы ни был язык, ассимилирующий и обосновывающий аподиктически очевидную математическую истину, если он показывает себя достаточным для этой цели, он тем самым утверждает себя абсолютно корректным во всем составе необходимых для этого истин. Это значит, что возможность обоснования леммы Жордана в рамках теории множеств говорит об абсолютной непротиворечивости аксиом теории множеств, вовлеченных в это обоснование. Этот вывод вытекает из факта логической симметрии теорем и аксиом, вследствие которой посылки теоремы могут рассматриваться как аналитическое развертывание ее содержания и, следовательно, как полностью обосновываемые в своей истинности и непротиворечивости вместе с обоснованием теоремы. Теорему Пифагора и лемму Жордана в указанной ее формулировке следует считать абсолютно обоснованными утверждениями на основе аподиктической очевидности.
Логика вывода аксиоматики из факта в некотором смысле применима и к аксиоматике арифметики. Трудность состоит здесь в том, что в арифметике мы имеем дело не с одной аподиктически очевидной истиной, а с бесконечным количеством истин, выраженных в конкретных арифметических высказываниях. Однако это кажущееся затруднение. Кант справедливо указывал на то обстоятельство, что нам важна не очевидность отдельных фактов, а очевидность схемы, порождающей эти факты. Нам не дана с очевидностью фигура тысячеугольника, но нам дана с очевидностью схема его получения, которая и служит основанием наших достоверных заключений о свойствах тысячеугольника7. Все многообразие частных арифметических суждений является, в действительности, продуктом схемы порождения натурального ряда, которая является самоочевидной для нашего сознания и которая однозначным образом определяет систему аксиом арифметики. В этом смысле система арифметических аксиом также может мыслится как основанная на одном факте и абсолютно детерминированная им.
Примеры обоснования аксиоматики на основе аподиктически отдельного самоочевидного факта являются сугубо частными в том смысле, что они не открывают никакого общего подхода к обоснованию математических теорий. Они, однако, важны в том отношении, что проясняют природу математических аксиом, их радикальное отличие от принципов эмпирических теорий.

Чисто логическое рассуждение останавливается на этом положении, не очень благоприятном для тезиса о непротиворечивости аксиоматики и аксиоматизированной теории в целом. Методологический анализ, однако, указывает здесь некоторый выход из затруднения. Мы будем исходить здесь из факта ретротрансляции математической истины и из факта конечной определимости системы аксиом.
Допустим, что некоторая аксиоматика скрыто противоречива, т. е. неявно содержит некоторые тезисы ai и а2, не совместимые друг с другом. Но это значит, что мы имеем теорию, в которой одновременно реализуются две аксиоматические системы, а именно Г+ах и Г+а2, где Г — совокупность совпадающих аксиом. Даже если несовместимость ах и а2 и факт наличия несовместимых оснований в рассуждениях остаются неосознанными, естественно допустить, что каждая из этих дедуктивных систем стремится к максимальному развертыванию своих следствий. Можем ли мы рассчитывать на то, что нам удастся достаточно долго обойтись без прямого столкновения этих систем, т. е. без получения явно противоречивых следствий? Логика здесь ничего не может сказать, ибо ситуация не определена на уровне чисто логических понятий. В соответствии с теорией Я. Хинтикки существует некоторая глубина рассуждения d, на которой скрытое противоречие в теории неизбежно становится явным5. В рамках логической формализации мы не можем определить конкретное значение этой величины.
Методологический анализ, однако, позволяет утверждать, что необходимая глубина рассуждения никогда не может быть слишком большой, выходящей за сферу практической достижимости.
Прежде всего здесь нужно отметить то обстоятельство, что различные теории, определенные на одной системе объектов (рассматриваемый случай будет именно таким), являются изоморфными в своей структуре в том смысле, что они говорят об одной и той же совокупности объектов как исходных, так и производных, и ставят одни и те же вопросы относительно этих объектов. Теоремы в этих теориях параллельны в том смысле, что для каждой теоремы одной теории является осмысленным вопрос о ее корреляте в другой. Мы видим это, сопоставляя теоремы евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. Развертывание теории, содержащей одновременно и аь и 02, неизбежно приведет к построению двух явно различающихся рядов теорем. Столкновение этих рядов гарантировано и оно произойдет не в некотором неопределенном будущем, но в естественном определяющем слое теории, поскольку этот слой в данном случае должен содержать как теоремы, дедуктивно оправдывающие систему аксиом Г + аь так и теоремы, оправдывающие Г + a-i- Это должны быть явно различающиеся ряды теорем, ибо в противном случае мы должны будем признать одно из двух: либо одна из противоречащих аксиом не использовалась вообще, либо обе эти аксиомы дедуктивно эквивалентны. С практической точки зрения первая альтернатива должна быть отброшена: мы не можем допустить, что одну из этих аксиом математическое сообщество обходило как заколдованную во всех тех случаях, когда она могла привести к следствиям, явно противоречащим следствиям другой аксиомы.

Факт ретротрансляции истинности, рассмотренный выше, приводит нас к важному понятию определяющего фрагмента математической теории. Назовем определяющим фрагментом математической теории совокупность ее утверждений (теорем), достаточную для вывода ее полной аксиоматики. Первым и естественным определяющим фрагментом математической теории является совокупность ее наиболее простых и известных теорем, с которыми мы связываем само ее существование. Набор этих теорем для конкретной теории, как показывает практика, не особенно велик: первые два десятка теорем, как известно, требуют использования всей системы аксиом планиметрии и, таким образом, в соответствии со схемой modus tollens, в свою очередь, достаточны для вывода полной аксиоматики этой части геометрии. В качестве определяющего фрагмента могут быть взяты и другие совокупности утверждений теории, дедуктивно эквивалентные полной системе аксиом. Теорема Пифагора в евклидовой геометрии сама по себе может считаться определяющим фрагментом для планиметрии, ибо признание ее истинности равносильно признанию справедливости всей аксиоматики евклидовой планиметрии. Ясно, что любая математическая теория содержит бесконечное количество фрагментов, дедуктивно эквивалентных полной аксиоматике теории. С системной точки зрения наиболее важным является представление о естественном определяющем фрагменте теории как о совокупности ее центральных теорем, задающих логический остов теории и определяющих систему ее принципов. Логика системного анализа основана на рассмотрении этого фрагмента как генетически первичного и определяющего структуру теории в целом. Нам важно здесь рассмотреть взаимодействие этого фрагмента теории с системой аксиом, принятых в качестве его общего логического оправдания.

Завершенность аксиоматики и завершенность доказательства тождественны в том смысле, что оба этих яёления проистекают из принципиальной конечности математического мышления. Доказательство достигает полной стабилизации, общезначимости и абсолютной надежности вследствие того, что оно состоит из конечного числа переходов, приемлемость каждого из которых устанавливается в конечное время с абсолютной однозначностью. Выбор эффективного пути во множестве аподиктически определенных возможностей всегда разрешается научным сообществом с полной однозначностью. Процесс поиска системы аксиом для сформировавшейся системы доказательств также является проверкой конечного числа вариантов и с необходимостью завершается в конечное историческое время.
Логика становления математической теории обусловлена конечной определимостью математических понятий, которая проистекает в свою очередь из их включенности в формальную систему. Конечная определимость математических понятий делает неизбежным для любой математической теории достижение ею неколебимого (абсолютного) основания, которое в принципе недостижимо для теорий, имеющих дело с фактами опыта.

В понимании интуитивной данности исходных математических объектов Брауэр следует за Кантом. Однако он принимает лишь интуицию времени, полагая, что интуиция пространства поколеблена открытием неевклидовых геометрий. В основе математики, по Брауэру, лежит интуиция натурального ряда, которая выражается прежде всего в представлении о возможности его неограниченного продолжения. Проблемы обоснования потенциальной бесконечности для Брауэра не существует: она снимается на основе непосредственной очевидности непрерывного продолжения натурального ряда через последовательное осуществление интуитивно ясной операции прибавления единицы к каждому вновь полученному числу.
Требование конструктивности всех допустимых объектов существенно ограничивает логические средства, приемлемые в интуиционистской математике. Если математика должна расширяться только в пределах возможного конструктивного оправдания, то она должна исключить из логических правил закон исключенного третьего и правило снятия двойного отрицания, так как их приштие ведет к признанию утверждений о существовании, не имеющих конструктивного оправдания. Понятие отрицания получает при этом специфический смысл, отличный от его трактовки в традиционной логике: мы можем отрицать здесь общее суждение только посредством построения контрпримера, а утверждение о существовании некоторого объекта только через сведение к противоречию допущения о его существовании. Логические константы и кванторы вследствие этого должны получить существенно другое значение, также определенное идеей построения: мы полагаем некоторое суждение истинным для всех значений переменной, если мы имеем возможность конструктивного обоснования его истинности для любого из этих значений.
Логика у Брауэра не просто ограничивается, она фактически устраняется в качестве автономного фактора расширения множества математических суждений, ибо доказанное посредством логических схем должно обосновываться и на основе математической конструкции, не предполагающей каких-либо схем логического вывода. Логика в интуиционизме, таким образом, выполняет лишь функцию сокращения конструктивных рассуждений, но не функцию выведения их за границы, определенные собственно математическими предпосылками.
Интуиционистская философия математики в отличие от логицист-ской последовательно антиреалистична. Математические объекты понимаются здесь лишь как мысленные конструкции, не имеющие какого-либо существования, независимого от конструктивной деятельности сознания. Брауэр считает, что законы математики не:имеют статуса законов физики, ибо если бы человечество было вдруг уничтожено, то в мире не осталось бы никакой реальности, представляющей математические теоремы, в то время как физические законы как объективные связи продолжали бы существовать. Математическое творчество, с этой точки зрения только изобретение, но никоим образом не открытие и не отражение какой-либо реальности. Интуиционизм Бра-уэра в этом смысле прямой антипод платонизму логицистов, которые неизменно наставали на предсуществовании математических объектов и на их тождестве в этом отношении объектам географии и зоологии.
Хотя Брауэр принимает априорное представление о времени как интуитивную основу арифметики, было бы ошибочным рассматривать его общую философскую установку как вариант априоризма. Он допускает зависимость логики от содержания мышления, подчеркивает мысленный статус математических истин и их зависимость от интеллектуальной активности субъекта, обсуждает математическую интуицию исключительно как факт психологии. У Брауэра отсутствует идея априорной формы мышления, которая стоит выше психологии и всякой конструктивности. Он усматривает сущность математических объектов в актах свободного конструирования, но не в экспликации трансцендентальных форм мышления.
Наиболее радикальное отличие интуиционизма от логицизма и формализма состоит в понимании роли знаков и символического языка в математическом мышлении. Намерение Фреге, как мы видели, состояло в том, чтобы заменить расплывчатый язык математических рассуждений языком символов и строгих определений. Брауэр, напротив, видит в символическом языке нечто чуждое природе математического мышления. Идеально строгое мышление, по Брауэру, протекает на уровне мысленного конструирования, на уровне непосредственного сцепления интуитивно ясных представлений, которые лишь более или менее адекватно могут быть отражены в рамках символов и формальных определений. Брауэр считает, что формальный язык математики уводит нас в сторону от математической истины, как только он уходит из-под контроля непосредственного интуитивного восприятия объектов. Логицисты, по его мнению, выдают за суть математики лингвистическую структуру, пригодную лишь в качестве средства передачи математической мысли. Брауэр, таким образом, ищет строгость математики не в очевидности символических построений, а в очевидности самих математических объектов, в их непосредственной данности сознанию. Символический язык, согласно Брауэру, может использоваться в математике лишь в тех пределах, в которых он не становится самодовлеющим, заменяющим математику как процесс построения и эффективного исследования конкретных математических объектов.При таком подходе аксиоматическое определение теории полностью теряет смысл, а за механизмом логической дедукции остается лишь роль схематизации конструктивных выводов.
Интуиционизм как определенное видение предмета математики, состоящее в том, что математические абстракции не должны терять связи с конкретными объектами и интуитивно ясными операциями, появился задолго до появления парадоксов в теории множеств. Эту идеологию мы видим в высказываниях Гаусса и Кронекера. Оба этих математика были убеждены в том, что актуальная (завершенная) бесконечность не может быть предметом математического рассуждения, и что математика для того, чтобы оставаться строгой дисциплиной, не должна уходить из сферы объектов, относительно которой мы имеем право выносить проверяемые суждения. Это были, однако, доводы, проистекающие скорее из абстрактной философии, чем из каких-либо реальных затруднений. Появление парадоксов в логике и в теории множеств превратило эту старую идею в практически значимую методологию. Уже в первых своих работах по основаниям математики Брауэр связывает интуиционизм с проблемой устранения парадоксов и высказывает убеждение, что окончательное избавление от них возможно лишь через принятие интуиционистского взгляда на математику и на границы применения классической логики30. Интуиционизм приобретает статус программы обоснования математики, становится системой требований к перестройке математического знания, устраняющей некорректность обычных (классических) доказательств.

Мы можем сформулировать методологический постулат, который вытекает из намеченного подхода и который будет лежать в основе всех наших последующих рассуждений. Этот постулат (мы будем называть его принципом онтологической совместности) состоит в том, что любая система онтологически истинных утверждений в математике является логически непротиворечивой. Речь идет о возможности прямого перехода от онтологической истинности некоторой системы суждений к ее абсолютной непротиворечивости. Важность этого принципа состоит в том, что он позволяет непосредственно заключать о непротиворечивости любой системы аксиом, обладающей свойством аподиктической очевидности.
Этот принцип не произволен. Он вытекает из общей теории логических норм и из понятия онтологической истинности. Логика по своей сути — это система правил трансляции истинности. Она не может войти в противоречие с каким-либо истинным описанием объекта. Система любых истин совместна и несовместность описания говорит о его ложности в некоторых моментах. Таково общее отношение истинности и логической непротиворечивости, вытекающее из статуса логики. В эмпирических науках мы не можем непосредственно переходить от истинности суждений к их непротиворечивости по той причине, что истинность системы эмпирических утверждений всегда проблематична. Мы осуществляем здесь только обратный переход, а именно из замеченной противоречивости описания заключаем о ложности некоторых его компонентов. Но если математическое знание в своих исходных утверждениях строго коррелятивно предметной онтологии, относительно которой мы вправе утверждать ее инвариантность для человеческого мышления и, таким образом, предельную истинность, то мы вправе заключить от аподиктической очевидности аксиом к их абсолютной онтологической истинности, а следовательно, и к их безусловной непротиворечивости. Исходные математические теории, такие, как арифметика и евклидова геометрия, являются, с этой точки зрения, несомненно непротиворечивыми, поскольку принципы, на которых они базируются, полностью детерминированы универсальной онтологией.

Предпосылка всеведения, которая связана с законом исключенного третьего, представляет собой в действительности не что иное, как идеальное допущение о реальности, обусловленное практической ориентацией мышления. Бог Вейля, обозревающий весь мир и знающий истинное положение дел как в конечных, так и в бесконечных последовательностях, — не мистика, которую надо устранить из науки ради ее строгости, но необходимая предпосылка мыслящего субъекта, нацеленного на истину и действие. Хотя человеческий опыт ограничен, логика теоретического мышления исходит из предпосылки абсолютной истинности, имеет идеальный и телеологический характер и в этом смысле не может отличаться от логики Бога. Она отражает не фактические возможности человека, а минимальные требования к реальности,относительно которой имеет смысл задача рационального познания. Идея проверки законов логики должна быть, таким образом, оставлена как несостоятельная, проистекающая из прямолинейного эмпиризма, типичного для методологического мышления прошлого века.
Мы должны, таким образом, заключить, что вся философия, лежащая в основе брауэровской критики классической логики, является ошибочной. Мы не можем согласиться сегодня ни с тезисом о зависимости логических норм от содержания мышления, ни с требованием их проверки, ни с положением о первичности математики перед логикой. Расхождения в понимании логики существуют и в настоящее время. Но брауэровский релятивизм не может рассматриваться сегодня даже в качестве слабой альтернативы, ибо у нас нет ни малейших оснований думать о логических принципах как производных от каких-либо частных представлений. По самой своей сути нормы логики абсолютно универсальны и не зависят от материала мышления. Логика конечного и логика бесконечного не могут отличаться друг от друга. В обоих случаях мы имеем дело только с системами понятий, претендующими на рациональность, и обе системы в одинаковой степени подчинены общим принципам рациональности, которые заданы целью мышяения. Математик может утверждать, что каждое множество либо конечно, либо бесконечно, ничуть не с меньшим правом, чем он утверждает тот факт, что каждое число либо четно, либо нечетно. Исходная ошибка Брауэра состояла в том, что он принял за условное и изменчивое то,, что в действительности является безусловным и внеисторическим.
Надо сказать, что у Брауэра нет философии логики в полном смысле этого слова, ибо нет систематической защиты основных тезисов и рассмотрения необходимого для этого круга идей. Здесь мы имеем дело скорее с некоторой достаточно произвольной гипотезой ad hoc, которая казалась ему соответствующей общему замыслу конструктивной перестройки математики. Тем более удивительным является тот факт, что изобретенный им миф о ненадежности закона исключенного третьего до сих пор имеет большое число сторонников и оказывает влияние на практику математического мышления.
Методологическая реабилитация закона исключенного третьего, конечно, не ведет к упразднению или ограничению интуиционистской математики. Математическая теория, из каких бы мотивов она не выросла, будет существовать, пока существуют внешние и внутренние запросы к ней. Интуиционистская математика продуктивна в этом отношении и, таким образом, будет оставаться существенной частью современной математики. Но современная философия математики должна устранить претензии интиционизма на построение единственно истинной и единственно строгой математики.

Не все математические свойства в одинаковой степени разрешимы. Мы имеем конечную процедуру определения того, является ли данное натуральное число простым или составным, но мы не имеем аналогичной процедуры относительно свойства рациональности — иррациональности действительных чисел. Связывать приемлемость принципов логики с определенными свойствами со степенью их разрешимости, настаивать на том, что утверждение «Каждое натуральное число либо простое, либо составное» является более надежной посылкой математического рассуждения, чем утверждение «Каждое действительное число либо рационально, либо иррационально» — значит искажать статус логики как универсальной нормативной структуры, подчинять нормы логики внутренним особенностям понятийных систем и степени определенности понятий. В действительности, логика не имеет отношения к такого рода внутренним особенностям понятий. В частности, она никак не связана и с различением конечного и бесконечного, сколь бы важным оно не являлось для понимания математики как науки.
Идея проверяемости у Брауэра имеет очевидную связь с критикой метафизики в позитивистской философии науки. «Мы будем мыслить строго, если устраним метафизические доводы из наших рассуждений и будем принимать только те положения, которые проверяемы в опыте» — таков методологический тезис позитивизма и он, в определенном смысле, переносится Брауэром на математику56. Закон исключенного третьего дает повод для обвинения в метафизичности, ибо он содержит в себе допущение о действительном положении дел, независимом от наблюдателя и от возможностей наблюдения вообще.
Позитивистская идея научной строгости состоит в том, чтобы избавиться от такого рода допущений и обосновать научное знание вплоть до самых высших его принципов только в рамках эмпирической проверки. Несостоятельность этой идеи в настоящее время очевидна. Последней основой нашего знания является не чувственный опыт и основанная на нем система проверок, как это думали позитивисты, а система категориальных интуиции, в которых происходит упорядочение опыта, и которые сами по себе не зависят от опыта и не проверяются им. Логика — часть этой высшей структуры мышления, ее утверждения метафизичны в полном смысле этого слова, ибо они ье взяты из опыта и не поддаются опытной корректировке, и вместе : тем они являются необходимой структурой мышления, основой строгости и всякой возможной проверки. Математическая интуиция произ-водна от категориальной (метафизической) интуиции, математическая строгость основана в конечном итоге на метафизической строгости, на безусловной интуитивной ясности категорий пространства, времени, части и целого, порядка и т. п. Мы должны понять тот простой факт, что наиболее строгая часть человеческого мышления в принципе непроверяема, ибо она как последняя система координат лежит в основе всякой проверки и всякого строгого мышления. Брауэр прав в том, что опираясь на закон исключенного третьего, мы входим в область метафизических (принципиально непроверяемых) утверждений, но он заблуждается, считая такой выход связанным с потерей строгости и определенности мышления. В действительности, выход к метафизике в форме аподиктически очевидных принципов логики является выходом к априорной системе координат, к необходимым и наиболее надежным условиям понятийного мышления вообще, и, таким образом, к наивысшей возможной строгости. Закон исключенного третьего является неотъемлемой частью этой априорной нормативной сетки, и классическая математика, принимая этот закон, нигде не отступает от уровня предельной строгости.