Философия и основания математики

Теория онтологической истинности дает нам основу для прояснения и уточнения этой идеи. Здесь необходимо выделить три положения, которые обеспечивают переход от абстрактной идеи математической истинности к критериям истинности для конкретных принципов:
1. Реальность математической абстракции должна пониматься как ее онтологическая означенность, как внедренность ее в предметную онтологию, порожденную деятельностной ориентацией мышления.
2. Онтологическая истинность математических понятий и принципов является гарантией их абсолютной непротиворечивости в отношении друг к другу.
3. Возможно рациональное обоснование принадлежности конкретных математических принципов к сфере онтологической истинности.
Обоснование этих принципов устраняет неопределенность гёделев-ской установки. Теория онтологической истины позволяет нам обосновать в качестве истинных принципы классической логики, включая закон исключенного третьего, исходные аксиомы арифметики и евклидовой геометрии и, наконец, трансфинитные утверждения, такие, как аксиома бесконечности и аксиома выбора. Анализ онтологического основания математики позволяет понять математическую бесконечность как особую сущность, как необходимое представление предметной онтологии и, таким образом, как представление столь же базовое для математического мышления, как и понятие натурального числа. Мы поняли тот факт, что трансфинитные принципы не обосновываются на основе финитных, а утверждаются в своей надежности на основе собственного онтологического основания. Понимание совместности онтологических истин позволяет указать пути рационального расширения традиционных программ обоснования и распространения их На сферу анализа и теории множеств.
Последовательное обоснование этой позиции приводит к пониманию того факта, что всякая логическая программа обоснования математики является по своей сути онтологической, ибо она нуждается в оправдании некоторой системы исходных принципов в качестве непосредственно истинной. В логическом обосновании математики мы должны уйти как от тесного финитизма, так и от неконтролируемой интуитивности, ведущей к противоречиям. Единственным ориентиром, указывающим границы допустимого отступления от финитности, является здесь понятие онтологической истинности.
С этой точки зрения мы должны считать совершенно несостоятельными все призывы к очищению математики от онтологии как от некоторого рода метафизики. Антионтологизм в философии математики идет .прежде всего от конвенционализма, который понимает математическую реальность как только гипостазирование смыслов, вырабатываемых в рамках формальных структур. Он органически присущ интуиционизму, который мыслит математические объекты как только мысленные конструкции, приемлемые в плане той или другой задачи. Деятельностная теория познания рассматривает математические предметы не как отражение предметов опыта и не как изобретения интеллекта, а как экспликацию предметных представлений, относящихся к универсальной форме мышления. Это значит, что онтология, предполагаемая математикой, —не произвольное построение, которое может быть изменено следующим поколением математиков, а система вневременных интуиции, лежащих в основе человеческого мышления. Достаточно ясно, что отказ от понятия онтологической истинности был бы разрушением всех разумных путей к обоснованию математики69.
Принципиальным моментом гёделевской позиции является тезис о существовании единственной истинной арифметики и единственной истинной теории множеств. Выявление истинных математических теорий дает нам ключ к обоснованию математики в целом, ибо онтологически истинные теории должны быть признаны в качестве абсолютно непротиворечивых. Существование единственной онтологически истинной арифметики, конечно, не противоречит возможности иных арифметик, обладающих логической непротиворечивостью.
Неудача попыток логического обоснования математики привела к возрождению эмпирической философии, к идее математики как некоторого рода абстрактной физики, которая не гарантирована от корректировки и пересмотра своих основ.
Это, конечно, ложное направление мысли. Математика — не физика и не система соглашений, допускающая изменение под влиянием внешних обстоятельств. Выявление несостоятельности логических подходов должно, в действительности, привести нас не к эмпиризму, а к онтологии, к пониманию особой связи математических теорий с категориальной картиной мира.

Анализ логики становления математической теории позволяет обосновать неизбежность ее стабилизации и оседания в абсолютно непротиворечивой форме. Мы обосновываем здесь математическую теорию не на основе истинности ее принципов, а на основе ее внутренней системности, исходя из идеи существования неразрушимого ядра теории и стабильности системы аксиом как части этого ядра.
Если мы признаем, что каждое математическое доказательство достигает абсолютной надежности, каждая математическая теория неизбежно достигает выявления абсолютно надежной аксиоматики, и что возможны общезначимые критерии, позволяющие утверждать эту надежность в конкретных случаях, то проблему обоснования математики можно считать решенной в смысле полной реабилитации математической строгости и устранения всякого скептицизма в отношении фактической надежности его оснований. Проблема обоснования математики разрешима в том смысле, что мы можем указать общезначимые характеристики зрелости математической теории и, следовательно, заключить о невозможности появления в ней противоречий, разрушающих ее основы и признанные выводы. Это, конечно, не то однозначно-алгоритмическое решение, которое предполагалось получить в рамках логических программ, но оно, тем не менее, является достаточным как с точки зрения общего понимания надежности математического метода, так и с точки зрения практики.
Было бы ошибкой понимать системный анализ как некоторого рода паллиативный подход, приемлемый исключительно вследствие невозможности логического анализа. В действительности, это наиболее адекватный подход, основанный на универсальных качествах математической теории, позволяющий понять истоки непротиворечивости математических теорий и разрешимость проблемы в целом. Он открывает принципиально новую перспективу, ибо содержит в себе понимание того обстоятельства, что наши усилия должны быть направлены не на поиски принципов построения теорий, предохраняющих нас от противоречий, а на установление общезначимых критериев, свидетельствующих об их логической зрелости. В действительности, только это второе направление исследования открывает нам путь к реальному и окончательному обоснованию математических теорий.
Системный подход в определенном смысле устраняет необходимость логического обоснования. Радикальные эмпирики отказывались от логического обоснования вследствие нестрогости всякого доказательства, прагматики выдвигали эту идею, исходя из предположения, что наличие противоречий не лишает математику образа презентабельной науки1. В системном контексте, однако, это положение имеет другой смысл. Математика в принципе не нуждается в логическом обосновании не потому, что оно невозможно, и не потому, что в нем нет необходимости, а потому, что мы можем рассматривать само развитие математической теории как постоянный процесс ее обоснования, имеющий гарантированный результат. Системный анализ позволяет утверждать, что любая математическая теория достигает стадии абсолютной непротиворечивости.

Позиция фаллибилизма ошибочна не только потому, что границы возможностей логического обоснования еще далеко не определены, но прежде всего потому, что она базируется на использовании эмпирических схем за пределами их истинности. Родственность математических теорий теориям эмпирическим в смысле генезиса их принципов не является достаточным основанием для заключения об одинаковом статусе этих принципов. Математика является более специфической наукой, чем это думают эмпирицисты. Мы имеем здесь другой тип соподчинения между принципами и фактами и, как следствие, другие возможности обоснования принципов.

Мы выяснили, что математика использует понятие истины в особом смысле, радикально отличном от того смысла, в котором это понятие используется в опытных науках и даже в логике. Математическое утверждение следует считать непосредственно истинным, если оно соответствует универсальной предметной онтологии. Нетрудно видеть, что аксиома выбора полностью соответствует понятию онтологически истинного суждения. Первая часть этой аксиомы, а именно постулат о возможности выбора элемента из любого множества, утверждает не что иное, как дискретный и аддитивный характер рассматриваемых множеств, что выражает собой наиболее существенный аспект предметной онтологии. Не все мыслимые множества обладают указанным качеством. Выделяя отдельную мысль из совокупности мыслей, содержащихся в нашем сознании, мы никогда не можем быть уверены, что выделили только одну мысль, а также и в том, что выделили целую мысль, не оставив ее части или эквивалента среди оставшихся мыслей. Известное канторовское определение множества как всякой мыслимой совокупности слишком широко, ибо оно включает и расплывчатые множества, не удовлетворяющие требованиям идеальной предметности23. Аксиома выбора, таким образом, является не каким-то неопределенным расширением математики, как это обычно представляется в ее интуиционистской критике, а совершенно напротив — радикальным сужением класса множеств, допустимых к рассмотрению: она ориентирует на «правильные» множества, которые в достаточной степени дискретны и в которых не возникает проблем с отождествлением и различением элементов. Аксиома выбора привязывает теорию множеств к наиболее простому, дискретному или арифметическому пониманию множества, и, таким образом, она никак не,может рассматриваться в качестве дополнительного источника противоречий или некорректности доказательств.
Второй содержательный момент аксиомы выбора связан с идеей бесконечности: вправе ли мы, исходя из возможности выбора элемента из множества в каждом отдельном случае, заключать о возможности такого выбора для произвольной совокупности множеств? Затруднение состоит здесь, очевидно, в понимании сферы применения схемы полной индукции, возможности применения ее к бесконечной совокупности множеств. При правильном понимании специфики математических суждений критика аксиомы выбора в этом пункте также должна быть отклонена. Переход от реализуемости выбора в каждом отдельном случае к одновременной реализуемости в бесконечном случае является проблемой, если речь идет о некоторой фактической реализуемости. Онтология, определяющая математическое мышление, не связана с идеей времени и, таким образом, свободна от временных и пространственных ограничений. Если нам известно, что выбор реализуем для каждого множества по отдельности, то с математической точки зрения он реализуем одновременно для всех множеств: соображения времени, пространства и количества, существенные для физического рассмотрения, не имеют здесь никакого значения. Это обстоятельство ясно также и с точки зрения общей философии логики. Как уже было отмечено, логика рассматривает классы исключительно с точки зрения их связи по объему и полностью абстрагируется от их структуры, мощности или порядка. Из допущения «существует для каждого» она неизменно выводит «существует для всех», безотносительно к составу рассматриваемых совокупностей. Корректность аксиомы выбора в этом моменте также не может вызывать каких-либо сомнений24.
Корректность аксиомы выбора в последнем из ее аспектов не нуждается в обосновании: она непосредственно вытекает из аксиомы подмножеств, которая признает существующими все подмножества данного множества.

Прояснение смысла и объема реальной логики важно для понимания ее места в математике, ибо мы должны говорить здесь не о логических исчислениях, а о схемах истинностных преобразований, относящихся к реальной логике.
Механизм действия логики как средства дедукции проистекает из ее связи с понятием абсолютной истины. Все наше мышление подчинено идеалу абсолютной истины и ограничено нормами, проистекающими из этого идеала. Механизм действия логики состоит в приложении идеальных требований, проистекающих из понятия истины, к реальным суждениям. Если система суждений абсолютно истинна, то она должна подчиняться закону непротиворечия, если она истинна, то она должна исключать неопределенные понятия и, следовательно, должна подчиняться закону исключенного третьего и т. д. Логическая дедукция является ничем иным, как исключением форм суждений, не удовлетворяющих априорному требованию истинности знания.
По отношению к математике нетривиальным является вопрос об отношении логики к внелогическим средствам дедукции. Ясно, что математический вывод основывается не только на правилах логики. Математическое рассуждение существенно опирается на собственно математические очевидности и, в некоторых случаях, оно может быть свободным от логики. Переходы от одной формулы к другой, основанные на определениях объектов, не требуют применения собственно логических схем. Так, переходя от выражения (а + Ь\){а — Ы) к выражению а2 + б2, мы опираемся исключительно на определения правил действия с действительными числами и с мнимой единицей. В этом переходе мы не используем каких-либо правил логики, хотя здесь несомненно присутствует предельно надежная дедукция. Многие достаточно объемные математические рассуждения основаны целиком на такого рода предметных определениях и не содержат в себе каких-либо логических правил.
Некто может сказать, что при переходе от (а + Ы){а — Ы) к а2 + б2 просматривается правило силлогизма, выражаемое формулой: ((А —+ В) —+ (В —► С)) —+ {А —> С). Нетрудно, однако, видеть, что это правило появляется здесь лишь постфактум, только в качестве итоговой схемы, но не в качестве схемы, обосновывающей шаги доказательства, так как каждый шаг доказательства здесь полностью определен ссылкой на интуитивно ясное математическое определение.
Являются внелогическими все доказательства, связанные с построением. Осуществляя построение, мы опираемся только на свойства объектов, которые используются в построении и не обращаемся к логической дедукции как таковой. Являются внелогическими и все геометрические доказательства, основанные на непосредственно очевидных геометрических преобразованиях.
Таким образом, надо признать, что в математическом мышлении имеется существенно внелогический компонент, обеспечивающий, тем не менее, надежную дедукцию. Даже если бы математикам было запрещено опираться на логические правила вывода, то математика не перестала бы существовать в качестве дедуктивной и строгой науки. Эта ситуация легко объясняется из того факта, что существует несколько относительно независимых типов аподиктической очевидности, которые определяют надежное математическое рассуждение.
Эти факты позволяют нам понять рациональный смысл интуиционистского истолкования логики. Интуиционистская математика, если посмотреть на нее с точки зрения соотношения математики и логики, является не чем иным, как попыткой полного освобождения математики от логики, попыткой представить математику как систему выводов, опирающихся только на собственно математические интуиции. Брауэр склонен был думать, что математическое рассуждение внелогично по своей природе, и что оно может двигаться исключительно на основе внутренних очевидностей, определяемых понятием построения. Правила логики понимаются, с этой точки зрения, только как схемы математических доказательств, выявленные в практике конструктивного рассуждения.
Сама практика интуиционизма показала, что возможности внелогических средств недостаточны и что для представления математики во всей ее значимой части мы нуждаемся также и в формах чистой логики.
Правильное решение вопроса о месте логики в математике должно исходить из понимания общих целей математического мышления. Если мы вправе предположить, что в своем историческом развитии математика стремится к построению максимально богатой совокупности непротиворечивых систем, способных быть основой моделирования реальных связей и процессов, то ясно, что оно будет опираться на любые очевидности, полноценные в дедуктивном отношении и будет использовать их в максимальных пределах, в плане реализации этой общей задачи. Математические и логические интуиции представляют собой два глубинных корня математического мышления, два независимых измерения, определяющих возможности расширения сферы математического мышления.
Это значит, что математическое мышление имеет двоякую интуитивную основу: оно опирается одновременно и на собственно математические (предметные) очевидности, и на логические (нормативные) очевидности, проистекающие из общих целей мышления. Математика с этой точки зрения является соединением логики как чистой нормативности с идеально предметными представлениями, порожденными деятельностью.

Традиционное объединение логики и математики как единой системы знания, противостоящей знанию, основанному на опыте (Matesis universalis у Лейбница и Гуссерля, формальное знание у Грассмана) имеет смысл, но оно скрывает важную границу внутри самого этого единства, проходящую между логикой и математикой как аналитическим и, соответственно, синтетическим знанием. Эта граница была отмечена Кантом, но не была разъяснена им в достаточной степени. Праксеологическая трактовка логики позволяет увидеть глубинные основания этого различия и провести четкое разделение математики и логики как наук принципиально различного типа.
Логика, в действительности, не более близка к математике, чем к любой другой науке. Убеждение в особой связи логики с математикой, в особом генетическом родстве этих дисциплин — методологическое заблуждение, проистекающее исключительно из более регулярного использования правил логики в математических рассуждениях. Математика не выводится из логики, точно так же как логика не выводится из математической практики. Адекватная программа обоснования математики должна исходить из понимания логики как универсально нормативной структуры, стоящей над всеми науками, которая абсолютно первична перед математикой и не нуждается в ней в плане своего обоснования.
Эти общие соображения позволяют нам сформулировать простые критерии, решающие проблему разграничения в некоторых важных случаях. Из онтологического понимания логики следует требование формальности логических норм, независимости их от содержания понятий. Законность этого критерия следует из того, что логика имеет дело со значениями и их связями вообще, без различения их по содержанию. Суждения, связанные с предметностью и содержанием, не могут принадлежать к логике. В этом плане можно рассмотреть аксиому выбора, которую Д. Гильберт склонен был относить к общим логическим принципам38. При понимании реальной логики как системы норм для значений вообще, мнение Гильберта не может быть принято. Аксиома выбора приписывает элементам множества достаточно специальную характеристику, которая не присутствует у всех множеств и никак не может быть выведена из принципов, определяющих необходимые связи значений. Эта аксиома фиксирует в себе определенные характеристики идеальной предметности, вследствие чего имеет синтетический и заведомо внелогический характер.
Анализ аксиомы выделения позволяет, напротив, отнести ее к суждениям обладающим логической истинностью. Суть этой аксиомы состоит в утверждении того положения, что для любого множества А и для любого хорошо определенного предиката В, существует множество членов х множества А, удовлетворяющих предикату В. Нетрудно видеть, что эта аксиома является конкретизацией применительно к понятию множества правила определения через род и вид, которое необходимо для мышления о всяком предмете. При определенности предиката В для всякого отдельного элемента и при истинности закона исключенного третьего, гарантирующего возможность поэлементной проверки любого множества, полное задание множества В становится всегда достижимым. Аксиома выделения может быть понята, таким образом, как результат применения универсального логического принципа к предметной сфере, которая заведомо гарантирует условия его выполнимости. Мы видим, что истинность аксиомы выделения в отличие от аксиомы выбора обусловлена только общими логическими требованиями, предваряющими определение любого математического объекта.

Как мы выяснили, логика строго отделяется от математики по признакам аналитичности-синтетичности и нормативности-теоретичности. Мы можем углубить это разделение через рассмотрение таких качеств логики, как универсальность, конечность и содержательность.
Логика как универсальное знание противостоит математике как системе частного знания. Математика является частной или специальной наукой, ибо математическая теория в силу ее формального и замкнутого характера может быть нацелена только на специфический тип интерпретаций и никогда не нацелена на содержательное знание вообще. Хотя математическая теория имеет в принципе бесконечное число интерпретаций, достаточно очевидно, что все они ограничены узкими фрагментами опыта, соответствующими ее специфической структуре. Ни одна математическая теория не может претендовать на универсальную сферу приложения. Математическая теория— это всегда специальная теория, имеющая хотя и неопределенное, но заведомо ограниченное поле приложения. Логика универсальна в том смысле, что она относится к понятиям вообще и ко всякому знанию, независимо от его содержания. Логика противостоит математике точно так же, как она противостоит всякой науке, имеющей частный или специальный характер.

Близкие воззрения на природу доказательства изложены в статье В.А. Успенского «Семь размышлений о философии математики». В отличие от Девиса Успенский делает акцент на социокультурном контексте доказательства: изменчивый характер самых фундаментальных верований, лежащих в основе рационального мышления, исключает, по его мнению, возможность математических рассуждений, имеющих вневременное значение. Успенский исходит из положения, что доказательство — это убедительное рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы способны убеждать других40. Представление о доказательстве при таком его понимании оказывается неразрывно связанным с языковыми средствами и с социальной психологией человеческого общества. Поскольку и то, и другое меняется с ходом истории, то неизбежно меняются и наши оценки, относящиеся к качеству доказательств. «Если математика и абсолютна, — заключает Успенский, — то только на уровне повседневного опыта — точно так же как абсолютна ньютоновская физика применительно к явлениям средних размеров»41.
Очевидно, что здесь мы приходим к некоторому крайнему релятивизму. Если у Лакатоса доказательства, не будучи идеально надежными, тем не менее, имеют тенденцию к увеличению надежности, то в понимании доказательства, которое мы видим у Девиса и Успенского, такая тенденция исключена.
При психологическом обосновании релятивности доказательства упускается из виду объективная системность математики, тот факт, что неверный результат неизбежно обнаруживает себя в «кроссворде» математической теории, входя в столкновение с другими результатами. Математика очищает себя от ошибок не только через проверку доказательств, но и посредством системности теории. Каждое доказательство может иметь ошибки, но вместе с тем каждое доказательство полностью освобождается от них, включаясь в центр теории и во взаимодействие с другими доказательствами. Если бы действительно математики ошибались в сложении таких чисел как 12345 и 54321, то тогда мы имели бы удивительное и необъяснимое явление гармонического сочетания многих тысяч ложных утверждений и совокупного соответствия системы этих утверждений практике. Изложенные выше соображения о конечном характере процесса проверки в математике полностью исключают такую возможность.

Понятие a priori по отношению к логическим и математическим истинам систематически стал использовать Г.В. Лейбниц. Он полагал, что все математические истины врождены («потенциально находятся в душе человека») и что они аналитичны в том смысле, что их можно свести к системе простых самотождественных утверждений20. Подобно Платону Лейбниц верил в то, что принципы математики относятся к подлинной реальности и содержат в себе истины о мире, недоступные для опытного познания.
Теория кантовского априоризма является более развитой в теоретическом отношении. Кант отделил априорность от врожденности и ясно осознал то обстоятельство, что математика в отличие от логики имеет дело с некоторым содержанием, лежащим вне ее, и, таким образом, представляет собой систему синтетического знания. Главное достижение Канта состоит в разделении содержания и формы мышления и в босновании того факта, что математическое знание относится к форме мышления и обладает принципиально иными характеристиками, чем знание, основанное на опыте. Кант, таким образом, отделил математику от опытных наук как науку о форме мышления. Он отделил ее также и от логики как синтетическое знание от знания эналитического. Математика, по Канту, связана с априорными формами чувственного созерцания: геометрия понимается Кантом как теория, выражающая в своих понятиях априорное представление о пространстве, арифметика аналогичным образом соотносится с представлением о времени.
С точки зрения обоснования математики наиболее важным является то, что наряду с опытом и логикой Кант указал третью интуитивную основу знания — систему априорных представлений, на основе экспликации которых возникает математика. Деятельностная трактовка математики является в своей сути ничем иным как реабилитацией и рационализацией этой установки Канта.

Понимание онтологической природы исходных математических представлений дает исчерпывающее объяснение факту их синтетичности. Известные аргументы, которые приводит Кант в защиту этого тезиса, искусственны и уязвимы для критики. Действительно, не просто согласиться с положением, что 5 + 7 не заключают в себе числа 12. Логицисты вполне убедительно опровергали это положение17. Арифметика как теория, основанная на определениях, содержит в себе также и аналитические суждения, и строгое отделение одних от других на уровне непосредственной очевидности недостижимо. При обосновании синтетичности математики мы должны исходить не из конкретных примеров, а из обоснования гносеологического статуса математической теории в целом. Арифметика синтетична потому, что она имеет основу в онтологических представлениях и, следовательно, в какой-то части своих принципов является содержательной и описательной наукой. Мы должны, таким образом, понять исходные математические теории как связанные с определенными представлениями о реальности и как заданные этими представлениями в своей структуре.
Деятельностная трактовка исходных математических представлений позволяет разрешить старый вопрос об отношении геометрии к представлениям механики, который возник в конце XIX века при обсуждении статуса неевклидовых геометрий. Г. Гельмгольц в своей известной статье «О происхождении и значении аксиом геометрии» утверждал, что геометрия не существовала бы вообще, если бы человек не имел общения с твердыми телами и с их измерением. Представления механики или физической геометрии для Гельмгольца безусловно первичны перед теоретической, собственно математической геометрией. Б. Рассел вполне резонно возражал, что само представление о твердом теле уже предполагает идею величины и равенства величин18. Эта неясность может быть устранена только на основе представления об идеальной предметности. Геометрия, несомненно, с самого начала основана на представлении об идеально твердом теле, но это не представление, взятое из опыта или заимствованное из представлений механики. Идеально стабильное тело геометрии — это представление универсальной онтологии, на основе которого сформировались как определения самой геометрии, так и первичные идеализации механики. Геометрия — это онтологически истинная система представлений, применимая к классификации и измерению твердых тел, данных в опыте.
Было бы ошибочным, однако, отождествить онтологию математики с ее предметом, родственным предмету физики, химии и других опытных наук. Мы должны здесь учесть формальный характер математического мышления. Математика как формальная дисциплина развивается не через анализ предмета, а только через формальное развертывание исходных интуиции. Геометр, исходя из интуиции пространства, не исследует пространство как предметную реальность: он направляет свои усилия исключительно на создание формальной системы суждений, соответствующей этим интуициям и поддающейся логическому анализу. Будет правильным поэтому говорить, что абстрактная предметная онтология является квазипредметом или интуитивной основой математики. Первичная математика жестко детерминирована предметной онтологией, как и физика она имеет внешнее основание для своих понятий, но как формальная структура она не относится к этому основанию как к предмету, анализ которого мог бы дать контрпримеры для ее утверждений.
Говоря об априорности математики, мы говорим прежде всего о ее исходных принципах и фактах. Онтологическая значимость арифметических аксиом не говорит об онтологической значимости арифметики во всей системе ее внутренних определений и, тем более, это не относится к математике в целом. Математическое знание, как мы можем понять его в настоящее время, разделяется на две части: на знание априорное, онтологически определенное в своих исходных интуициях, и на знание формальное, оправданное только внутренней логикой математики и приложениями. В настоящее время мы не можем говорить об априорности математики вообще, но можем настаивать на том, что математика содержит в себе априорный центр, являющийся основой ее метода и конечной инстанцией ее обоснования.
Математическая теория может появиться на любой содержательной основе в качестве формальной экспликации любой достаточно ясной системы связей. Здесь появляется соблазн понять математическую теорию как результат структурирования опыта и математику в целом — как учение о структурах или образцах, выявляемых на основе опыта19. В философском плане такой подход неприемлем, ибо он не вскрывает специфики исходных математических представлений. Мы не поймем сущности математики как науки и особенностей ее метода, если не уясним того обстоятельства, что исходные математические структуры имеют онтологический, а не эмпирический характер, что интуитивную основу математики составляют не чувственные образы и не модели теоретической науки, а универсальные представления о реальности, порожденные деятельностью.