Философия и основания математики

Основная проблема, с которой мы здесь сталкиваемся, это проблема надежности содержательных рассуждений. Мы нуждаемся не просто в построении некоторого рассуждения, которое приводило бы нас к тезису о непротиворечивости, к примеру, аксиоматизированной теории множеств, но мы нуждаемся в таком рассуждении, в котором усматривалась бы гарантия того, что противоречия фактически не могут появиться в теориях, удовлетворяющим нашим критериям. Философское обсуждение проблемы непротиворечивости, претендующее на установление строгих критериев, представляется в этом отношении некоторым противоречием, проистекающим из статуса содержательного рассуждения как заведомо нестрогого. Многие согласятся с тем, что системные соображения полезны для того, чтобы убедиться в том, что глубокие противоречия в развитой математической теории — вещь маловероятная, но они будут возражать против того, чтобы считать их доказательством непротиворечивости в полном смысле этого слова и абсолютной гарантией теории от появления противоречий применительно к конкретной теории. Мы нуждаемся, таким образом, в прояснении степени достоверности содержательных доводов, основанных на рассмотрении эволюции математических теорий.
Мы выяснили, что законы логики находятся в одинаковом отношении ко всем сферам рассуждения и выводы юриста или философа в этом отношении не являются менее строгими, чем выводы математика. Умозаключение «Все люди смертны, Сократ — человек, следовательно, Сократ смертен» содержит в точности ту же логическую необходимость, что и умозаключение: «Все прямоугольники имеют две диагонали, квадрат — прямоугольник, следовательно, квадрат имеет две диагонали». Строгость математики проистекает не из строгости логики, а из точности определений, которая не имеет места за пределами математики. Определенность, с которой мы отделяем прямоугольник от фигур, не относящихся к классу прямоугольников, заведомо выше определенности, которая присутствует в отделении человека от существ, не являющихся человеком.
Это значит, что обосновательное рассуждение есть обоснование с точностью до истинности и определенности, заключенной в посылках. Надо признать, что традиционные программы были неуязвимыми в этом отношении. Логицисты исходили из надежности принципов логики, интуиционистское обоснование покоится на бесспорной истинности отношений натурального ряда, формалисты апеллировали к безупречности выводов элементарной математики. Все эти основания действительно обладают полной надежностью и этот факт может быть обоснован эпистемологически. Основная проблема системного анализа состоит в том, что содержательные допущения, относящиеся к развитию математической теории, как кажется, не могут быть поставлены рядом с твердыми посылками классических программ.
Эти сомнения, однако, неправомерны, они основаны на неявном предположении, что всякое содержательное рассуждение включает в себя индуктивный и эмпирический компонент и, по этой причине, не может обладать полной надежностью. В действительности это не так. Нетрудно видеть, что в рассуждениях о непротиворечивости, проведенных выше, задействованы только два типа суждений: логические и праксеологические. Когда мы утверждаем достаточность системы аксиом для известного круга теорем или указываем на тот факт, что аксиомы в математической теории выводимы из теорем на основе правила modus tollens, то мы указываем на факты логического порядка, с которыми согласится и математик, рассуждающий на уровне гильбертов-ского метаязыка. Однако когда мы утверждаем, что содержательное доказательство на определенном этапе совершенствования достигает полной надежности, что структура логических связей в теории стремится к однозначной определенности и фактически достигает ее или что стабильная аксиоматика неизбежно является и минимальной, то мы высказываем нечто такое, что не может быть отнесено к логике или к признанной метаматематике, фиксирующей непосредственно проверяемые свойства языка. Факт надежности доказательства (даже формализованного) логически доказать нельзя. Здесь мы имеем дело с констатацией праксеологической достоверности, которая в последнем счете опирается на предположение об абсолютной критериальности социума в ситуациях конечного комбинаторного поиска. Мы не можем логически доказать, что стабильная аксиоматика минимальна, но мы знаем, что это так, поскольку не допускаем, что избыточность посылок в элементарных допущениях не была бы замечена и устранена кем-то из математиков. Иными словами, мы допускаем безусловную практическую разрешимость некоторых простых проблем при отсутствии их достаточных логических аргументов на этот счет. Здесь мы, таким образом, имеем дело с достоверностями внелогического порядка. Наша задача состояла в том, чтобы показать, что это не эмпирические, не психологические и не социокультурные достоверности и что они не менее надежны, чем сами математические теоремы.
Наряду с метаязыком, который описывает структуру формализованной теории, мы должны говорить об эпиязыке, который описывает необходимые принципы, относящиеся к содержательной математической теории. К числу таких принципов мы можем отнести обоснованные выше утверждения о том, что математическое суждение не опровергается в опыте, что математическое понятие обладает конечной определимостью, что математические доказательства неизбежно достигают полной строгости, что математическая теория в процессе своего развития приобретает окончательную структуру и т. п. Так как эти утверждения связаны с сущностью математической теории, они обладают полной надежностью и, вследствие этого, они могут выступать в качестве основы для эпистемологических выводов, обладающих абсолютной значимостью. Наряду с понятием строгого метаязыкового рассуждения мы вправе говорить о строгом эпиязыковом рассуждении, которое наряду с фактологическими и собственно логическими суждениями использует также и суждения праксеологические, обладающие предельной достоверностью. Рассуждения, опирающиеся на логические и праксеологические посылки, в действительности, являются не менее надежными, чем математические и метаматематические рассуждения, основанные на аподиктической очевидности. Эффективность эпиязыка обусловлена тем, что он содержит в себе систему неиндуктивных утверждений, достаточную для обоснования критериев непротиворечивости для содержательной математической теории.

Мы должны прежде всего зафиксировать то обстоятельство, что интуиционистски построенная теория несомненно непротиворечива. Интуиционистская философия математики вследствие свойственной ей психологичности не обосновывает этого факта с достаточной строгостью. Брауэр ищет истоки праинтуиции в психологии субъекта, в психологической необходимости перехода от мысленного акта как целого к разделению его на два элемента и к возможности повторения этого процесса до бесконечности31. Обращение к такого рода чисто психологическим конструкциям ничего не доказывает. Натуральный ряд, выведенный на основе их, не обладает интерсубъективностью, необходимой для оправдания математики. Действительное обоснование интуиционистской программы возможно только в эпистемологической плоскости, на основе оправдания исходных интуиции арифметики в рамках универсальной онтологии мышления.
С праксеологической точки зрения фундаментальность представления о натуральном ряде обусловлена наличием идеально-предметных представлений как необходимой части универсальной онтологии. Всякое действование в мире связано с представлением об идеальном предмете, обладающем конечностью, стабильностью, изолированностью и другими качествами, определяющими саму возможность деятельности. Идея пространства определяет представление об аддитивных совокупностях таких предметов, а идея времени задает их упорядоченность в процессе счета. Натуральный ряд чисел, таким образом, это интеллектуальная конструкция, обусловленная системой универсальных категориальных представлений и однозначно определенная на этом уровне. Фиксируя этот момент, мы освобождаемся от всякого психологизма и приходим к пониманию однозначности и непреложности первичных математических представлений для человеческого сознания. Натуральный ряд чисел не конструируется ни индивидуальным, ни коллективным разумом. Это идеальное видение вещей, необходимая форма видения вещей в процессе действия, навязанная человеческому разуму в силу его деятельностной природы.
В смысле строгости обоснования программа интуиционизма (в доступной ей зоне действия) находится вне критики, ибо самоочевидные конструкции разума на основе аподиктически самоочевидных предметов, какими являются конечные числа натурального ряда, являются его предельно надежными конструкциями и не могут включать в себя противоречивых допущений. Теория онтологической истинности полностью оправдывает интуиционистскую математику в смысле ее надежности и признает интуиционистское обоснование математических теорий, там где оно возможно, в качестве предельно надежного обоснования.

Надежность логики радикально отличается от надежности теоретических законов, корректируемых опытом. Логические законы — это высшие нормы мышления, продиктованные его общей задачей, и они, в отличие от теоретических законов, не могут быть подвергнуты критике с точки зрения содержания мышления. Фреге прав в том, что логические законы — это фундаментальные принципы мышления, которые мы можем осознать, но которые мы не можем корректировать31. Неизменность и однозначная заданность логических очевидностей проистекает из того факта, что это нормы мышления, определяемые его целевой установкой. Историческое развитие знания не может влиять на структуру аподиктических очевидностей, проистекающих из универсальной практической ориентации мышления.
Логика связана с онтологией и, в принципе, можно допустить, что обе эти структуры претерпевают некоторую историческую эволюцию. Смысл сказанного выше состоит не в том, что логика Не подвержена абсолютно никаким изменениям, а в том, что эти изменения не относятся к изменениям, которые обусловлены опытом. Гипотетически допустимые изменения в логике — это изменения в принципиально другом измерении: они могут проистекать только из изменения фундаментального практического отношения человека к миру, которое не связано с простым увеличением наших знаний и навыков.
Эволюция норм логики, даже если она возможна, является безусловно иррациональной в том смысле, что она не может быть предвосхищена и учтена в рамках рационального мышления. Это положение можно пояснить сравнением логики с системой координат в физике и астрономии. При описании движения тел на Земле мы рассматриваем в качестве абсолютной систему координат, связанную с Землей, исследуя движение тел в солнечной системе, мы рассматриваем в качестве основной систему координат, связанную с Солнцем, некоторые расчеты, наконец, могут потребовать перехода к системе координат, связанной с эклиптикой, и т.д. Переход от одной системы координат к другой здесь рационален в том смысле, что, работая в узкой системе координат, мы осознаем характер ее относительности, а следовательно, и возможные варианты более адекватных систем. Нетрудно видеть, что такой подход полностью исключен в отношении к логике. В любой конкретный исторический момент мы должны опираться на существующую логику как на абсолютную и единственно возможную. Изменение категориальных и логических принципов возможно только как чисто практическое и абсолютно иррациональное явление, ибо никакая теоретическая критика не может выйти за рамки существующей логики и наметить контуры другой логики. Это значит, что в любом рассуждении признанные (аподиктически очевидные) нормы логики должны рассматриваться как абсолют, как последние координаты мышления, за пределами которых не существует точек опоры.
Основной недостаток современной философии логики состоит в том, что она не осознает в полной мере степени абсолютности логики. Ученые и философы критиковали и продолжают критиковать принципы логики так, как если бы они были некоторыми общими положениями, полученными на основе опыта и индукции. Такой подход не соответствует действительному статусу логики. Мы должны понять тот факт, что априорные структуры, данные нам в виде принципов универсальной онтологии и логики, являются предельной системой координат, лежащей в основе нашего мышления и не подлежат рациональной критике по той причине, что они предполагаются в качестве абсолютных во всякой такой критике. Они должны быть приняты в качестве предельно надежных, ибо всякая надежность измеряется в конечном итоге степенью согласия с этими принципами.

Тезис об аналитичности принципов логики часто используется для обоснования их конвенционального и релятивного характера. Если законы логики определены системой принятых смыслов, то можно допустить историческую подвижность этих смыслов и, как следствие, возможность различных логик, выполняющих функцию кодификации строгого мышления. Такова, в сущности, позиция Карнапа и Витгенштейна. Праксеологическое понимание природы логических констант полностью устраняет возможность такого рода допущений. Еще Кант выяснил, что фундаментальные логические смыслы полностью определены в категориях бытия и времени. Смысл выражения «А и В» состоит в том, что объекты А и В сосуществуют во времени, «А или В» означает, что в данное время существует по крайней мере один их этих объектов, и т.д. Анализируя значение констант, мы видим, что их система задана категориальным видением мира и не может быть сдвинута каким-либо субъективным произволом или развитием позитивного знания о мире. Аналитичность логики, таким образом, не тождественная ее конвенциональности.

Наиболее веский аргумент против психологической и социокультурной релятивизации математического доказательства дает сама математическая практика. Математики, в большинстве случаев, конечно, верят в полную надежность и окончательность признанных доказательств: вряд ли кто допускает, что на новом уровне строгости, с точки зрения некоторых новых представлений об убедительности мы объявим в качестве не вполне надежных элементарные законы арифметики, основную теорему алгебры или доказательство того, что аксиома параллельных не выводима из других аксиом евклидовой геометрии. Нет никакого сомнения в том, что В.А. Успенский как логик ни минуты не сомневается в том, что непротиворечивость исчисления высказываний и неполнота арифметики доказаны абсолютно, и что соответствующие теоремы не подлежат пересмотру. Надежность признанных доказательств представляет собой факт, подтверждаемый всей историей математики, и этот факт не может быть поставлен под сомнение на основе абстрактных доводов эмпирической или социокультурной философии науки.
Здесь надо обратить внимание на то обстоятельство, что аргументы от фактических возможностей человека и человечества в целом не имеют прямого отношения к философскому вопросу о надежности математики и к критике априоризма. Тезис, который защищает математический априоризм, состоит не в том, что математики не могут делать ошибок или что эти ошибки не могут быть скрытыми некоторое время, а в том, что в математике в отличие от опытных наук в конечном итоге достигается полная определенность, не подверженная какой-либо ревизии в будущем. При защите априоризма мы можем абстрагироваться от времени и средств, которые требуются для достижения этой определенности в конкретных случаях. То, что обсуждает Девис, — вопрос практики, а не вопрос гносеологического статуса математических утверждений. Вопрос о том, обладаем ли мы способностью не впадать в ошибки в процессе поиска математических доказательств, и вопрос о том, достигаем ли мы завершенности доказательства, — это разные вопросы. Специфика математического мышления состоит в том, что отрицательный ответ на первый вопрос вполне совместим с положительным ответом на второй.
М.А. Розов высказывает идею, что бытие математических объектов может быть понято как бытие элементов нормативных систем, воспроизводимых на основе механизма социальной эстафеты, который состоит в подражании образцам мыслительной деятельности. Поскольку образец не определяет однозначно способов своей реализации, то математические структуры, по Розову, в принципе не могут обладать абсолютной стабильностью и однозначностью42.
Такое понимание статуса математических объектов, конечно, не может быть принято. Оно ошибочно прежде всего потому, что противоречит бесспорному факту, состоящему в наличии единой, общезначимой и устойчивой в своих связях системы математических теорий. Ничто в математике не доказывает многозначности или неопределенности математических понятий. Для объяснения статуса объектов математики необходима не историческая, а функциональная точка зрения, объясняющая априорное знание из самого акта действия. Если бы все человечество потеряло на время память и прервало бы все исторические эстафеты, то, возродившись к жизни, оно бы неизбежно воспроизвело реальную логику, арифметику и абстрактную онтологию в том же самом виде, ибо эти структуры поддерживаются не в силу традиции, но под давлением функции, т. е. из необходимости действовать. Утверждение «2 + 2 = 4» укоренено в нашем сознании не потому, что оно, подобно некоторому обычаю, передается из поколения в поколение, а потому, что оно необходимо функционально. Оно неизбежно воспроизводится в любую эпоху как элемент априорной формы мышления, продиктованной деятельностью.

Высший закон математического мышления состоит в том, что интуиция первична перед языком и достигнутое на уровне аподиктической очевидности не может быть отвергнуто какими-либо уточнениями на уровне языка. Формализация теории вторична по отношению к ее содержанию, ибо она принимается как адекватная только в том случае, если она охватывает ее интуитивно признанное содержание. Формалистское представление математики имеет смысл, но прояснение природы математического мышления должно исходить из анализа его интуитивной основы, факта его редукции к аподиктической очевидности. Мы должны взять от Канта и Брауэра их предельно ясное понимание первичности содержательной (интуитивной) основы математики перед ее языковым и логическим представлением.
Надежность и строгость — две относительно независимые линии эволюции доказательства к своему совершенству. Обе эти линии совпадают на первом этапе становления доказательства, когда увеличение строгости означает вместе с тем и увеличение его надежности. В общем, однако, это разные линии. Достигнув полной надежности, доказательство продолжает совершенствоваться в строгости, т. е. в своем языке, в полноте и систематичности выражения посылок и логических средств. Стадиями этого совершенствования являются аксиоматизация и формализация теории. При осуществлении аксиоматизации становление строгости в первом смысле (как строгости определенной теории) достигает своего завершения, хотя это не прекращает эволюции математической строгости вообще, заключающейся в появлении новых критериев строгости, значимых для новых областей математики.
Релятивистское истолкование математической строгости не учитывает того простого факта, что содержание в математике первично перед его формой и что новые критерии строгости ни в какой мере не могут влиять на статус сложившихся, интуитивно оправданных теорий и выводов.

Релятивистский тезис относительно строгости доказательства исходит из допущения, что новые, более жесткие критерии строгости могут, в принципе, перевести в класс нестрогих любое доказательство, которое принималось до этого как безусловно строгое. Это допущение, однако, несостоятельно: оно покоится на ложном понимании субординации между строгостью и надежностью в математическом рассуждении.
Как мы уже выяснили, абсолютно надежное доказательство, проведенное на уровне аподиктической очевидности, может быть нестрогим, нуждающимся в более точном выражении своих предпосылок. Доказательство является надежным (завершенным), если все его неявные посылки относятся к сфере аподиктической очевидности. В этом случае контрпример невозможен, хотя доказательство может не обладать полной строгостью. Строгость — это лингвистическая характеристика доказательства, качество терминологической оболочки, санкционирующее надежность доказательства. Но надежность как таковая должна существовать уже до этой санкции как качество, выработанное на уровне содержания.
Можно сформулировать принцип, утверждающий логическую первичность надежности перед строгостью, состоящий в том, что доказательство, признанное надежным, не может быть отвергнуто с точки зрения каких-либо критериев строгости. Надежность является первичной характеристикой доказательства в том смысле, что надежно доказанная теорема есть факт, с которым должны считаться все критерии строгости, в том числе и те, которые будут введены в будущем. Наглядное рассуждение, сводящее площадь параллелограмма к площади прямоугольника, не строго, но мы отвергли бы любые критерии строгости, которые поставили бы его под сомнение. Надежное доказательство является в принципе строгим в том смысле, что оно будет неизбежно подтверждено в любом более строгом варианте теории.
Переходя к более широкому кругу объектов, мы уточняем критерии строгого рассуждения, прибавляя новые критерии, которые не учитывались раньше. Однако эти новые критерии, будучи необходимыми в новой области объектов, не затрагивают старых объектов, а точнее, они являются всегда тривиально выполнимыми по отношению к ним. Доказательства существования, введенные Коши, были важными для наведения, порядка в анализе, но они ничего не изменили в геометрии и алгебре, поскольку в этих областях существование объектов доказывается самим способом их введения, а именно аподиктически очевидной конструкцией в конечном множестве простых объектов. Можно сказать поэтому, что вновь вводимые критерии строгости не имеют обратной силы: они реально значимы лишь для новых областей и всегда вводятся лишь при условии сохранения всех доказательств, признанных надежными.
Отсюда и необычная с точки зрения методологии опытных наук ситуация: не имея полной системы критериев строгости, мы имеем несомненную возможность говорить о полной строгости относительно конкретных математических доказательств и теорий. Появление новых критериев строгости может привести к более точному определению понятий, лежащих в основе доказательства, но оно не может отвергнуть признанное доказательство по существу, в смысле следования определенных выводов из определенных посылок. Строгость анализа доказательства определяется полностью особенностями данной теории, и она абсолютна в том смысле, что не может измениться с появлением новых критериев в новых областях математики. Можно сказать, что математическая строгость определяется локальным и, вследствие этого, абсолютным образом. Доказательство, строгое в рамках арифметической теории, будет всегда оставаться таковым, какие бы новые критерии строгости не появились в будущем.

Если мы признаем факт существования аподиктических очевидно-стей и их абсолютную надежность, состоящую в их неуязвимости для контрпримеров, то вопрос о существовании абсолютно надежных доказательств сводится к вопросу, в какой мере историческая эволюция доказательства в рамках теории гарантирует его полное очищение от ассерторических очевидностей. Здесь возможны (и фактически существуют) две гипотезы. Первая из них, которую можно назвать релятивистской, состоит в том, что историческое очищение доказательства представляет собой бесконечный процесс, ведущий к повышению его надежности и строгости, но никогда не достигающий предела. С этой точки зрения, в математике могут существовать более надежные и менее надежные доказательства, но не существует и не может существовать доказательств окончательных, завершенных и абсолютно надежных. Вторая гипотеза, которую можно назвать фундаменталистской, состоит в том, что процесс вызревания математического доказательства конечен и что математики, по крайней мере в развитых теориях, имеют дело с завершенными доказательствами. Здесь будут приведены аргументы в пользу последней гипотезы.

Надежность геометрической очевидности неоднократно ставилась под сомнение. В XVIII веке Лагранж призывал математиков избавляться от чертежей в математических рассуждениях, ибо, по его мнению, как и механические аналогии, они снижают строгость и общность рассуждения. Критика геометрической очевидности продолжалась и XIX веке в связи с арифметизацией анализа. Б. Больцано полагал, что все утверждения анализа, сколь бы ясными они не были с геометрической точки зрения, должны получить собственно аналитическое обоснование, опирающееся на определения функций и их свойств. Он считал, что утверждения анализа, обладающие предельной универсальностью, не могут доказываться из соображений частной дисциплины, какой является геометрия4. Брауэр исключил геометрическую очевидность из оснований математики как дискредитированную появлением неевклидовых геометрий5.
Внимательное рассмотрение проблемы показывает, однако, что принижение обосновательного статуса геометрической очевидности, присутствующее до сих пор в философии математики и в математической практике, не является оправданным. Конечно, современная математика далеко вышла за пределы геометрической наглядности и исследует большое число объектов, далеких от возможностей обычного пространственного представления. Мы не можем наглядно представить непрерывную функцию, не имеющую производной, кривую, целиком заполняющую квадрат, или способ рассечения шара на части, из которых можно составить два равновеликих ему шара, и множество других объектов, исследуемых в современной математике. Именно на такого рода факты указывают те математики и философы, которые говорят о крахе интуиции в современной математике6.
Факт уменьшения сферы геометрической наглядности в современной математике не подлежит сомнению. Сама геометрия далеко вышла за границы обычной наглядности, и нетрудно понять, что процесс расширения математики за счет абстрактных объектов вполне закономерен и не может быть обращен вспять. Но здесь необходимо разделить разные вещи. Когда мы ставим вопрос о надежности геометрической очевидности, то нас интересует не то, как широка сфера ее использования, а лишь то, является ли эта очевидность там, где она фактически используется, достаточно надежной. Иными словами, нас интересует не вопрос об универсальности геометрической очевидности (этот вопрос разрешается однозначно и отрицательно), а вопрос о ее надежности, т. е. вопрос о том, является ли она надежной в сфере своего фактического применения. На вопрос, поставленный таким образом, мы имеем все основания ответить утвердительно.
Для уяснения сути дела рассмотрим процесс вычисления поверхности фигуры, которая известна как цилиндр Шварца. Если цилиндр высотой Н разделить на п горизонтальных слоев и в основания каждого из слоев вписать ^-угольник, то ребра, соединяющие соседние вершины многоугольников, образуют многогранную поверхность, вписанную в боковую поверхность цилиндра, состоящую из 2nk равных треугольников. Геометрическая интуиция подсказывает нам, что при неограниченном увеличении п и к (числа слоев, на которые разделен цилиндр, и числа сторон многоугольника, вписанного в основание слоя) площадь многогранной поверхности будет приближаться к площади боковой поверхности цилиндра. Простой расчет показывает, однако, что величина этого предела зависит от относительной скорости изменения га и & и, вообще говоря, может быть как угодно большой. Несостоятельность геометрической очевидности, как кажется, оказывается более чем убедительной7.

Это тот вид очевидности, который позволяет нам уверенно утверждать, что две прямые пересекаются в одной точке или что через две точки можно провести только одну прямую. Геометрическая очевидность отличается от арифметической тем, что она непосредственно связана с представлениями о пространстве, которые имеют лишь косвенное значение для арифметики и алгебры. Она имеет дело с предметами, важнейшим качеством которых является их непрерывность.
В элементарных случаях геометрическая очевидность имеет аподиктический характер, т. е. она не может быть подвергнута сомнению в своей надежности. Пусть, к примеру, мы доказываем утверждение, состоящее в том, что площадь параллелограмма равна площади прямоугольника с тем же основанием и с той же высотой, посредством мысленного разделения площади параллелограмма на части и составления из этих частей равновеликого прямоугольника. Может ли какое-либо более строгое рассуждение в будущем поколебать надежность нашего рассуждения и основанный на нем вывод? Конечно, нет. Мы отклонили бы всякое как угодно изощренное рассуждение как софизм, если бы оно не подтверждало наш вывод, проистекающий из наглядных операций с фигурами. В этом смысле геометрическая очевидность совершенно аподиктична, ибо она, как и арифметическая, не может быть отвергнута или скорректирована на основе какого-либо логического анализа.
Надежность геометрической очевидности, однако, часто ставилась под сомнение. Ниже мы специально остановимся на рассмотрении этого вопроса.