Философия и основания математики

Этот вид непосредственной очевидности имеет место в каждом шаге математического рассуждения, где мы подводим некоторую ситуацию под определенное правило. Во всех таких случаях мы прежде всего фиксируем, что общая структура рассматриваемого выражения тождественна структуре (схеме), выраженной правилом. Акт подведения под правило не может быть рационализирован или формализован: он всецело базируется на нашей способности непосредственного отождествления структур на основе аподиктической очевидности. Здесь мы можем только сказать: «Смотри и убедись, что структура преобразуемой формулы именно та, которая требуется правилом». На самоочевидности структурного тождества основано установление всякого рода соответствий (изоморфизмов, гомоморфизмов и т. п.) между математическими объектами. Этот тип очевидности является, несомненно, аподиктическим и доказательным.

Это та очевидность, которая проистекает из перенесения на новый объект свойств известных и привычных нам объектов, которые в каких-то существенных отношениях сходны с ним. Аналогия — один из самых важных эвристических механизмов развития математики. Д. Пойа утверждал, что нет ни одного математического открытия, которое было бы сделано без помощи аналогии. Аналогия в математике чаще всего является и доказательной в том смысле, что заключения по аналогии в подавляющем числе случаев оправдываются затем собственной теорией новых объектов, т. е. приобретают статус строго доказанных. Однако очевидно, что такого рода заключения могут оказаться и ложными. История математики дает нам много примеров, когда аналогия использовалась скрыто и приводила к ложному убеждению в успехе там, где его не было. Интересным примером такого рода ошибки является «доказательство» теоремы Ферма, представленное Г. Ламе в Парижскую Академию наук в 1847 году, которое покоилось на допущении безусловной применимости основной теоремы арифметики для поля комплексных чисел2. Это значит, что очевидность аналогии, имеющая несомненное эвристическое значение, также не может считаться строго доказательной.

Необходимо прежде всего разделить такие понятия, как интуиция и очевидность, которые смешиваются в обычном словоупотреблении. Под словом интуиция обычно понимается процесс прозрения, схватывания истины, не подчиненный рациональным правилам и существенно зависящий от индивидуальных особенностей индивида: интуитивно ясное для одного, как правило, не является таковым для другого. Очевидность — это только видение истины, т. е. определенное состояние сознания. Те очевидности, с которыми мы имеем дело в математике, это никак не прозрения, доступные особо одаренным индивидам, а напротив, —совершенно общезначимые тривиальности типа 2 + 2 = 4, против которых нельзя возражать. Такого рода очевидности сознания могут рассматриваться сами по себе, независимо от своей психологической основы, исключительно в логической связи друг с другом.
Система очевидностей, с которыми мы имеем дело в процессе познания, распадается на два существенно различных класса, а именно, на класс ассерторических и класс аподиктических очевидностей. К ассерторическим очевидностям относятся обычные очевидности опыта, которые имеют относительный характер и которые могут быть исправлены новым опытом. Особенностью аподиктических очевидностей является то, что они не поддаются такой корректировке и имеют, таки^ образом, внеэмпирический и внеисторический характер. Аподиктические очевидности представляют собой некоторого рода бесспорные факты сознания, не поддающиеся корректировке ни со стороны опыта, ни со стороны логики, ни со стороны какой-либо теории. Мы с полной ясностью осознаем, к примеру, что диагонали квадрата пересекаются в одной точке, что они при этом делятся пополам и т. п., и при этом осознаем также, что эти факты не могут быть поставлены под сомнение ни другими фактами, ни абстрактными рассуждениями. Такого рода факты, несомненно, имел в виду Декарт, когда он в своих «Правилах для руководства ума» определял интуицию как «несомненное понимание ясного и внимательного ума, которое порождается лишь светом разума и является более простым и более достоверным, чем сама дедукция»1.
Мы воспринимаем с аподиктической очевидностью не только элементарные положения арифметики и геометрии, но также законы логики и некоторые универсальные принципы, относящиеся к метафизике. Никто не сомневается в том, что существуют материальные тела, что каждое явление имеет причину, что время необратимо и т.д. Мы не можем здесь утверждать противное. Мы должны признать, что человеческое познание связано с системой фундаментальных очевидностей, образующих глубинную основу мышления, которые лежат в основе всякой рациональной критики и потому не могут быть поколеблены какой-либо критикой. Эти общезначимые факты сознания мы будем обозначать в дальнейшем понятием аподиктической очевидности с тем чтобы, не связывать их с неопределенными психологическими процессами, которые ассоциируются с понятием интуиции.
Эмпирическая теория познания не допускает существования аподиктических очевидностей, поскольку она не допускает никакой вне-историчности и непогрешимости вообще. Рационалистические концепции знания, опирающиеся на идею непосредственной очевидности и необходимой истины, представляются в наше время старомодными и окончательно опровергнутыми. Однако математика снова и снова возвращает нас к этим идеям. Эмпирическому воззрению противоречит сама история математики. Мы видим, что доказательства безусловно очевидные для Евклида, являются очевидными и для нас и, вообще, подавляющее число теорем, когда-либо принятых математиками в качестве доказанных, считаются доказанными и теперь. Это последнее было бы совершенно невозможно, если бы система оче-видностей, на которых базируется математика, претерпевала изменения от столетия к столетию.