Философия и основания математики

Мы выяснили, что математика использует понятие истины в особом смысле, радикально отличном от того смысла, в котором это понятие используется в опытных науках и даже в логике. Математическое утверждение следует считать непосредственно истинным, если оно соответствует универсальной предметной онтологии. Нетрудно видеть, что аксиома выбора полностью соответствует понятию онтологически истинного суждения. Первая часть этой аксиомы, а именно постулат о возможности выбора элемента из любого множества, утверждает не что иное, как дискретный и аддитивный характер рассматриваемых множеств, что выражает собой наиболее существенный аспект предметной онтологии. Не все мыслимые множества обладают указанным качеством. Выделяя отдельную мысль из совокупности мыслей, содержащихся в нашем сознании, мы никогда не можем быть уверены, что выделили только одну мысль, а также и в том, что выделили целую мысль, не оставив ее части или эквивалента среди оставшихся мыслей. Известное канторовское определение множества как всякой мыслимой совокупности слишком широко, ибо оно включает и расплывчатые множества, не удовлетворяющие требованиям идеальной предметности23. Аксиома выбора, таким образом, является не каким-то неопределенным расширением математики, как это обычно представляется в ее интуиционистской критике, а совершенно напротив — радикальным сужением класса множеств, допустимых к рассмотрению: она ориентирует на «правильные» множества, которые в достаточной степени дискретны и в которых не возникает проблем с отождествлением и различением элементов. Аксиома выбора привязывает теорию множеств к наиболее простому, дискретному или арифметическому пониманию множества, и, таким образом, она никак не,может рассматриваться в качестве дополнительного источника противоречий или некорректности доказательств.
Второй содержательный момент аксиомы выбора связан с идеей бесконечности: вправе ли мы, исходя из возможности выбора элемента из множества в каждом отдельном случае, заключать о возможности такого выбора для произвольной совокупности множеств? Затруднение состоит здесь, очевидно, в понимании сферы применения схемы полной индукции, возможности применения ее к бесконечной совокупности множеств. При правильном понимании специфики математических суждений критика аксиомы выбора в этом пункте также должна быть отклонена. Переход от реализуемости выбора в каждом отдельном случае к одновременной реализуемости в бесконечном случае является проблемой, если речь идет о некоторой фактической реализуемости. Онтология, определяющая математическое мышление, не связана с идеей времени и, таким образом, свободна от временных и пространственных ограничений. Если нам известно, что выбор реализуем для каждого множества по отдельности, то с математической точки зрения он реализуем одновременно для всех множеств: соображения времени, пространства и количества, существенные для физического рассмотрения, не имеют здесь никакого значения. Это обстоятельство ясно также и с точки зрения общей философии логики. Как уже было отмечено, логика рассматривает классы исключительно с точки зрения их связи по объему и полностью абстрагируется от их структуры, мощности или порядка. Из допущения «существует для каждого» она неизменно выводит «существует для всех», безотносительно к составу рассматриваемых совокупностей. Корректность аксиомы выбора в этом моменте также не может вызывать каких-либо сомнений24.
Корректность аксиомы выбора в последнем из ее аспектов не нуждается в обосновании: она непосредственно вытекает из аксиомы подмножеств, которая признает существующими все подмножества данного множества.

Современные дискуссии относительно приемлемости актуальной бесконечности проистекают исключительно из ложной философии математики, требующей для каждого математического понятия некоторого коррелята в действительности. Эта натуралистическая логика проявляется в подходе Гильберта. Если потенциальную бесконечность Гильберт рассматривает как оправданную опытом и абсолютно надежную, то актуальную бесконечность он понимает только в качестве искусственной конструкции, требующей финитного обоснования. «Мы видели, что бесконечное не реализуется нигде, оно не присутствует в природе, а без специальных мер предосторожности оно недопустимо и в качестве основы нашего мышления. Уже в этом я усматриваю некоторый важный параллелизм природы и мышления, основополагающую согласованность между опытом и теорией»21.
Теория онтологической истины устраняет этот ложный параллелизм, закрывающий путь к адекватному пониманию природы исходных математических понятий. С онтологической точки зрения мы вправе утверждать полную симметрию актуальной и потенциальной бесконеч ости, состоящую в том, что оба эти представления в одинаковой мере обусловлены универсальной онтологией мышления и оба они в соответствии с принципом совместности идеально совместимы с онтологически оправданной частью математики. Парадоксы, требующие корректировки аксиом теории множеств, не могут поставить под сомнение истинность простой аксиомы бесконечности, утверждающей существование счетного множества.
При обосновании актуальной бесконечности мы находим некоторую опору в теоретико-познавательном учении Канта, одним из основных положений которого является утверждение об идеях разума как регулятивных понятиях, не имеющих коррелята в действительности, а обозначающих лишь внутреннюю логику движения самой мысли. От конечного числа причинных связей, данных в опыте, мы, по Канту, неизбежно переходим к идее Природы, от представления о конкретных психических актах — к понятию Души как безусловной целостности и т. д. Мы можем не соглашаться с Кантом в его толковании состава идей разума или (в каких-то других моментах) логики их генезиса, но является совершенно несомненным, что допущение идеальных це-лостностей лежит в основе человеческого мышления и что за каждым из этих идеальных представлений стоит представление о завершенной бесконечности. Идея завершенного натурального ряда в этом плане — это не столько математическая идея, сколько идея внутренней логики мышления вообще, принимающего идеальные целостности как результат завершенного движения, и она не менее первична для математического мышления, чем идея его бесконечного становления.
Мы должны осознать то обстоятельство, что утверждение актуальной бесконечности, как и утверждение бесконечности потенциальной, не имеют никакого отношения к опыту и к миру самому по себе. Обе эти идеи представляют собой лишь регулятивные формы мышления, проистекающие из его практической ориентации. Они остались бы теми же самыми при любом положении дел в мире, оставляющим возможность для мышления и действия. Б. Рассел считал, что аксиома бесконечности может быть истинной в одном мире и быть ложной в другом. С натуралистической точки зрения это, конечно, верно. Если физики правы в том, что число атомов во Вселенной конечно, то можно утверждать, что аксиома бесконечности является ложной во всех мирах. Эта аксиома, однако, является истинной для всякого теоретического мира, -ибо она есть необходимая часть универсальной онтологии мышления.
Конечно, нельзя считать, что все типы математической бесконечности являются оправданными онтологически. Онтология оправдывает лишь утверждения о существовании простых видов бесконечности, а именно, она оправдывает допущение потенциальной бесконечности натурального ряда, минимальной актуальной (счетной) бесконечности и бесконечности континуума как реальной непрерывности. Все остальные типы бесконечностей имеют чисто операциональное значение и должны быть обоснованы из логических соображений.
Различие между реальными и чисто операциональными бесконечностями, несущественное в математическом плане, является принципиально важным для методологии обоснования. Мы должны уяснить тот факт, что принципы математики, не имеющие обоснования в логике, могут быть обснованы в онтологии и что это обоснование имеет абсолютное значение. Это значит, в частности, что математические аксиомы, утверждающие существование реальных '(антологически оправданных) бесконечностей, не могут войти в противоречие с логикой и с другими онтологически оправданными суждениями -математики.

Вторая проблема, которую ставит Китчер, а именно, проблема практической нереализуемости априорных требований к математическим объектам, также связана со спецификой априорного знания. В эмпирической сфере мы можем утверждать лишь то, что обосновано конечным опытом, и должны рассматривать все остальное лишь в качестве более или менее вероятной гипотезы. Эмпирические утверждения не выходят за пределы конечного. Онтологические утверждения, напротив, продиктованы интенциями деятельности, и они органически связаны с идеей бесконечности, ибо всякая человеческая деятельность есть выход за пределы конечного. Возможность бесконечной делимости отрезка есть следствие бесконечности пространства и времени, а эти последние представления — необходимая праксеологическая гипотеза, проистекающая из ориентации нашей деятельности на преодоление конечности. Мы должны понять, что чувственный опыт не определяет истин онтологии. Онтология вместе с зависимыми от нее принципами математики продиктована деятельностью, а именно, универсальными регулятивами деятельности. Постулирование бесконечности — необходимая часть категориальной онтологии, а вследствие этого, и необходимый аспект исходных математических представлений.
Вопрос о точности отражения объекта в понятиях имеет смысл в отношении объектов опыта, допускающих автономное исследование, но он не имеет отношения к объектам априорным. Принципы, продиктованные в аподиктической интуиции, являются исходными принципами мышления и не могут ставиться под сомнение в рамках рационального мышления. Свойства треугольника заданы в сфере аподиктической очевидности, т. е. на предельном уровне точности, доступном для мышления. Вопрос о точности описания свойств объектов, заданных с аподиктической очевидностью, не может быть признан корректным.
Возможное уменьшение веса элементарной математики в будущей физике также не может рассматриваться в качестве веского аргумента против априоризма. Априорность математической теории не означает ее эмпирической универсальности. Уже в дискуссиях о неевклидовых геометриях в конце XIX века было хорошо осознано, что наличие многих геометрий в структуре математики и их широкая применимость в физике не подрывают особого статуса евклидовой геометрии, ее уникального положения как необходимой формы видения реальности. Наличие многих геометрий говорит о том, что не вся математика априорна, но сам по себе этот факт не опровергает тезиса об априорности евклидовой геометрии.
Китчеровскую критику априоризма надо признать последовательной, если встать на почву психологической теории познания, из которой он исходит. С психологической точки зрения нельзя доказать наличие такой сущности, как аподиктическая очевидность, и с этой точки зрения выглядит вполне законным его тезис, что всякая интуиция столь же ограничена и ненадежна, как и сила обычного восприятия37. Представляется, однако, что сама идея психологической теории познания является несостоятельной. Любая теория познания прежде всего должна выявить принципы, имеющие интерсубъективное значение, и по этой причине она не может исходить из фактов психологии и их обобщений. Эти факты приобретают гносеологический статус только тогда, когда они санкционируются целевыми установками познания, т. е. тогда, когда они приобретают праксеологическое обоснование. Психологическая теория познания оставляет без объяснения основные факты, связанные с математикой: непреложность исходных математических утверждений и историческую стабильность признанных математических доказательств.