Философия и основания математики

В основе методологической установки Брауэра лежит то положение, что содержание математики определяет структуру логики и новые математические понятия могут потребовать новой логики. Это, несомненно, релятивистская позиция, поскольку она допускает историческую эволюцию логики и сосуществование различных логик.
Логический релятивизм находит полную поддержку в современной теории познания, которая в своей основе является эмпирической и релятивистской. Наиболее характерная философия XX века — это, несомненно, философия К. Поппера, основанная на идее, что не существует авторитетных источников знания и ни один источник не является абсолютно надежным. Принципы логики, согласно Поплеру, также не имеют полной надежности и мы мыслим тем надежнее, чем более слабую логику мы используем57. М. Бунге в своей книге «Интуиция и наука» пишет: «Законы логики и не априорны и не вечны, вопреки утверждениям логицистов. Они гипотезы, сформулированные человеком при изучении языка, с помощью которого он выражал свое знание ограниченных групп явлений. Как следствие этого, законы логики надлежит считать непреложными регулирующими принципами, но допускающими внесение в них исправлений гипотезами. ...Между логикой и другими науками существует отношение не односторонней зависимости, но взаимного прогрессирующего приспособления»58. Взгляд на логику как на систему норм, в принципе подверженных корректировке, мы видим часто и у самих логиков. Куайн, как мы видели, допускает зависимость логических норм от изменения физической картины мира. Аналогичную идеи высказывает X. Патнем. По его мнению, при определенных обстоятельствах «ревизия аксиом арифметики и даже пропозиционального исчисления ...вполне мыслима»59. А.А. Марков считал, в практике мышления в принципе допустимы и практически сосуществуют различные логики60. Очевидно, что такого рода воззрения могут проистекать только при рассмотрении логических норм как рядовых теоретических принципов, подверженных влиянию науки и практики.
Релятивизация логики существенно обусловлена идеей конвенции, появившейся в философии математики в начале XX века. Так как абстрактные математические теории типа неевклидовой геометрии нельзя было объяснить ссылкой на опыт, то единственная возможность их объяснения, как представлялось, состояла в том, чтобы понять их как конвенции, полезные для описания реального мира и связей в самой математике. Эта идея оказала влияние и на понимание логики. Л. Витгенштейн считал, что законы логики — это законы языковой игры, имеющей смысл относительно некоторой задачи, которые могут измениться с изменением этой задачи. Определенным проявлением конвенционалистского подхода является также идея о том, что законы логики создаются профессионалами —логиками62. В действительности, реальная логика однозначно обусловлена категориальной структурой мышления и ни в какой степени не зависит от возможностей индивидуального творчества.
Идея релятивности логики поддерживается также и натуралистическими концепциями, которые низводя ее принципы до уровня теоретических идеализации, делают актуальным вопрос о степени их исторической устойчивости. Это относится к эволюционной концепции логики, а также и к операционалистскои теории Ж. Пиаже. В обоих этих случаях принципы логики понимаются в качестве идеализированного отражения некоторой предметной сферы и, таким образом, имеют статус теоретических истин, подверженных корректировке.
Наши рассуждения были направлены на то, чтобы показать несостоятельность всех этих доводов. Реальная логика абсолютна. Она не зависит ни от исторического расширения опыта, ни от новых теорий физики, ни от соглашений и ни от конструирования новых логических систем. Она однозначно навязана целевой установкой мышления и представляет собой предельно устойчивую систему смыслов, в рамках которой приобретают смысл и определенность все другие представления. Мы имеем здесь дело с последней системой координат, определяющей ценность рациональной аргументации, которая в принципе не может быть изменена на основе какой-либо' осмысленной аргументации. Истоки релятивистской философии логики состоят в непонимании природы ее принципов.
Проблема надежности логики была поставлена в начале XX века фактом парадоксов и интуиционистской критикой логики. Здесь были намечены, в действительности, две проблемы: проблема корректности определений и проблема надежности правил дедукции. Первая проблема, связанная с анализом парадоксов, предполагает исследование особенностей введения понятий в различных математических теориях и, вследствие этого, не может быть решена на уровне абстрактного обсуждения природы логики. Однако проведенное обсуждение важно, так как проясняет сферу логических принципов, образующих абсолютный фундамент математического мышления.
Мы перейдем к рассмотрению существующих программ обоснования математики. Признание законченности (абсолютности) зрелых математических доказательств и абсолютной надежности классической логики существенно расширяет обосновательный слой и позволяет защищать более оптимистический взгляд на возможность полного обоснования математики, чем тот, который принят в современной философии математики.

Единство логики и математики с этой точки зрения может быть-признано лишь в том смысле, что исходные принципы.математики, наряду с логикой входят в состав априорного знания, заданного универсальной онтологией мышления. Это единство, однако, относительно. Мы не можем согласиться с Гуссерлем, что логика объединена с математикой «предметностью вообще», и не можем признать идеи Пиаже, согласно которой логика и математика порождены единым («логико-математическим») опытом. В действительности, логика не вытекает из математики и не определяет содержание математических теорий. Логика и математика относятся к различным аспектам онтологии и имеют различные функции в познании. Мы выяснили, что между утверждениями логики и математики лежит жесткая разграничительная линия, определенная понятиями универсальности, аналитичности и нормативности. Гильберт, конечно, прав в том, что нельзя построить математической теории, не опираясь на логические понятия, и нельзя построить логического исчисления, не используя идеи числа и порядка, но этот факт относится к формальному представлению теорий и не проясняет истинного статуса логики. Мы должны ясно осознать то обстоятельство, что логика как система регулятивных принципов полностью определяется в рамках чисто языковых категорий и столь же мало зависит от существования математики, как и от существования какой-либо другой частной науки. Обычное соединение логики с математикой в их общем противопоставлении эмпирическому знанию затемняет ее истинный статус. Возможность формального представления логических принципов не устраняет того положения, что логика является содержательной теорией, описывающей структуру языка. Можно сказать, что логика образует особый тип содержательного знания, которое основано на строгих понятиях и допускает формальное представление.
Строгое разграничение между логикой и математикой важно в методологическом отношении. Осознание абстрактной, чисто языковой сущности логики устраняет претензии логицизма на выведение из логики содержания математики, а также и претензии интуиционизма на корректировку логики в процессе расширения математической практики. Обе эти установки искажают статус логических принципов. Должна быть отклонена и формалистская трактовка логики как системы исчислений, органически связанных с математикой. Мы должны понять логику как чисто лингвистическую структуру, как теорию значений, не зависимую от содержания математики и от содержания мышления вообще, обусловленную только общей целью мышления, и, следовательно, имеющую статус абсолютной нормы в отношении любого знания. Понимание абсолютности логики важно в том отношении, что оно возвращает осмысленность проблеме окончательного обоснования математики, которая дискредитирована современной релятивистской философией науки.

Основная проблема философии логики Пиаже та же самая, что и у Гуссерля — это проблема генезиса логических принципов. Пиаже подходит к решению вопроса как ученый-натуралист, заменяя гуссер-левское вневременное конституирование рассмотрением реального и экспериментально проверяемого становления логических норм в психологии мышления. Теория Пиаже является более системной и телеологической втом отношении, что становление логики рассматривается в контексте приспособительной деятельности человека: все мысленные операции субъекта обусловлены, по Пиаже, стремлением к равновесию со средой и могут быть поняты в своей структуре только на основе своей функции. Однако, несмотря на столь отчетливый дея-тельностный акцент, концепция Пиаже существенно сходна с концепцией Гуссерля в общей схеме обоснования: так же, как и Гуссерль, Пиаже стремится понять принципы логики на основе их генетически первичных и конкретных предпосылок. Схема генезиса логики у Пиаже проста: процесс деятельности заставляет ребенка принять конкретные схемы операций, относящиеся к различным аспектам опыта, а слияние этих операций обеспечивает, в конечном итоге, «вертикальный сдвиг» —- образование идеализированных схем операций, отражающих конкретные структуры мышления. Эта картина, будучи убедительной для здравого смысла, не выдерживает критики с точки зрения теории познания. Здесь мы имеем, очевидно, тот же самый индуктивизм, что и у Гуссерля, заключающийся в намерении найти основу для универсальных норм мышления в материале мышления и в способности мышления к генерализации частных структур.
Разумеется, индуктивное наоащивание структур, о котором говорит Пиаже, имеет место в процессе становления индивидуального сознания. Но мы должны здесь понять наличие особых целевых структур, которые испытывая воздействие конкретных факторов, тем не менее не определяются ими в своем содержании. Во взаимодействии целевых и индуктивных структур мышления ведущими являются целевые структуры. Мы не можем понять законы логики иначе, чем через раскрытие общих целей знания, независимых от его содержания. Мы можем, поэтому, понять структуру логических норм на основе понятия истины, но не можем вывести ее из анализа содержания опыта, научных теорий или из операций деятельности.
Позиция Куайна обладает той особенностью, что она отвлекается от психологических аспектов логики и исследует ее как обусловленную только грамматикой и понятием истины. Эта концепция, однако, также не может быть принята как сколько-нибудь удовлетворительная. Несмотря на более абстрактный и гносеологически выдержанный стиль, она не выходит за рамки натуралистического индуктивизма. Нетрудно видеть, что законы логики у Куайна не накладываются на язык в качестве высших норм, обусловленных целью мышления, а извлекаются из него в качестве некоторых абстракций и идеализации. Логика у Куайна индуктивна, поскольку выводится из грамматического материала как структура, соответствующая этому материалу. В методологическом отношении это обоснование отличается от обоснования Гуссерля и Пиаже только характером первичного материала. Логика при таком понимании ее генезиса оказывается в принципе зависимой от эволюции грамматики и от развития содержания мышления.

Исходя из этих соображений, Пиаже приходит к выводу, что законы логики должны быть обоснованы в конечном итоге в рамках психологии мышления. «Каноны формальных логических операций, — пишет он, — должны быть установлены и оправданы в психологии интеллекта»24.
Очевидно, что теория Пиаже достаточно близка к теории Милля. И в том, и в другом случае логика выводится из реального процесса мышления. Существенное отличие состоит в том, что в основе логических норм у Пиаже лежат не абстрактные состояния сознания, а операции мышления, т. е. некоторый более конкретный и более определенный аспект психической жизни. Выявляя предметные операции как первичный источник логики, Пиаже делает становление логических норм предметом точного экспериментального исследования. Пиаже полагает, что его концепция логики, которую он называет операционализмом, позволяет примирить традиционную тяжбу эмпиризма и рационализма в истории логики, установить действительную связь между психологией и логикой и дать реальное обоснование природы логических норм.
Теория логики Пиаже выглядит более естественной и более приемлемой с точки зрения здравого смысла, чем априоризм Гуссерля,основанный на таинственном механизме «схватывания сущности». Однако в теоретическом отношении, в плане прояснения статуса логических норм, она также не обеспечивает сколько-нибудь существенного прогресса. Пиаже сводит логические нормы с небес априорности и придает им статус теоретических идеализации. Но, тем самым, он становится уязвимым для всех традиционных аргументов, выдвинутых против эмпирического обоснования логики. Сравнение логики с математической физикой и с геометрией не устраняет трудностей. Конечно, геометрия как математическая теория не опровергается в опыте в смысле исправления отдельных теорем или аксиом. Но как средство описания эмпирических моделей евклидова геометрия часто обнаруживает свою недостаточность и дополняется другими геометриями. Допускает ли Пиаже, прибегая к сравнению логики и геометрии, что углубление операционального опыта может привести к созданию других логик, отличных от общепринятой? Положительный ответ на этот вопрос ведет к признанию относительности логических норм, отрицательный же — неприемлем для Пиаже, поскольку вся его теория направлена против априористских претензий логики. Таким образом, нужно признать, что фундаментальная проблема абсолютности-относительности логических норм в теории Пиаже остается открытой.
Оправдывая принятие закона противоречия в логике, Пиаже пишет: «Понятие является ни чем иным как схемой действия или операции, и только выполняя действия, порождающие А и В, мы можем констатировать совместимы они или нет. Далекие от того, чтобы «применять принцип», эти действия организуются согласно внутренним условиям связи между ними, и именно структура этой организации составляет реальное мышление и соответствует тому, что в аксиоматическом плане принято называть принципом противоречия»25. Нетрудно видеть, что такое объяснение закона противоречия фактически повторяет миллевское его объяснение с той лишь разницей, что несовместимость переживаний заменяется несовместимостью действий. Но в таком случае этот закон превращается в чисто индуктивное обобщение, хотя и высокой степени надежности и, таким образом, теряет свою абсолютную значимость.
Концепция Пиаже страдает также абстрактностью, оторванностью от методологических проблем науки, связанных с логикой. Делая классическое исчисление высказываний идеалом законченной логической системы, Пиаже принимает и закон исключенного третьего как столь же надежный, что и другие законы логики, не предпринимая, однако, никакой попытки ответить на известные возражения против этого закона, выдвинутые интуиционизмом. Здесь мы имеем дело, конечно, не со случайным упущением и не с ограниченностью эрудиции автора, а с явной недостаточностью концепции в целом для решения такого рода спорных методологических вопросов.

В 50-х годах XX века Ж. Пиаже разработал теорию логики, которая восстанавливает права опыта в развитии и обосновании логических норм. Пиаже считает возможным отказаться от априоризма, не впадая при этом в релятивизм, проистекающий из прямолинейного эмпирического объяснения логики. Логика, по мнению Пиаже, как и всякая другая понятийная система, предполагает опыт, но это опыт, имеющий особое содержание. В процессе контакта с окружающим миром человек, по Пиаже, приобретает опыт двоякого рода. «Если все знания ребенка, — пишет он, — предполагают эксперимент для своего возникновения, то это психологическое утверждение не оправдывает эмпиризма, потому что существует две формы эксперимента: эксперимент физический, ведущий к абстракции свойств, взятых от своих предметов, и эксперимент логико-математический с абстракцией по отношению к действиям или операциям, осуществляемым над предметам, а не по отношению к самому предмету как он есть»21. Когда ребенок сравнивает камешки друг с другом по качеству, цвету и т. п., то он находится в сфере собственно физического или конфи-гуративного опыта. Когда же ребенок считает камешки, то он отвлекается от всех их физических качеств: он имеет дело с ними как с тождественными единицами, которые различаются лишь порядком, в котором они фигурируют как объекты операций. Абстракция числа, таким образом, не физическая абстракция, но абстракция процедуры, абстракция действия, рефлективное понятие, отражающее структуру специфического человеческого поведения, процедуру упорядочения. Мы должны различать, таким образом, физический (конфигура-тивный) и логико-математический опыт и, соответственно, физические (простые) и логико-математические (рефлективные) абстракции. Недостаток традиционного эмпиризма в обосновании математики и логики состоит, по Пиаже, в отождествлении этих двух уровней опыта и в несостоятельных попытках вывести логические и математические операции из представлений физического опыта. Априоризм, напротив, мистифицирует статус законов логики, объявляя их внеопытными и не подверженными влиянию опыта.
Внутренние, психологические операции представляют, по Пиаже, интериоризацию внешних, материальных операций. Они представляют собой действия, «которые прежде, чем выполняться на символах, выполнялись на объектах»22. Логика же как система символических операций является отражением более высокого порядка, а именно, она является идеализированным отражением структуры внутренних психологических операций. Логика, таким образом, не может считаться априорной наукой, ибо в ее основе лежит вполне определенное содержание, а именно, — схемы мысленных операций, продиктованные структурой приспособительных действий человека в предметном мире.
Эта установка Пиаже очевидным образом сталкивается с аргументом Гуссерля, согласно которому точные правила логики не могут базироваться на нестрогих принципах психологии. Пиаже устраняет эту трудность через понимание логики как теоретической системы. Логические нормы формируются, по его мнению, не как простые описания или индуктивные обобщения психических операций, а лишь как формальные и идеализированные схемы этих операций: соотношение здесь такое же как между физикой и математической физикой или между реальной геометрией, основанной на опыте, и математической геометрией, заданной посредством системы аксиом. Геометрия реального пространства, взятая непосредственно из измерений, всегда будет неточной и нестрогой, но это не относится к математической геометрии как к идеализированной системе, заданной на основе аксиом. «Логика, — пишет Пиаже, —это аксиоматика разума, по отношению к которой психология интеллекта — соответствующая экспериментальная наука»23. Идеальная модель не вполне соответствует системе реальных отношений и наоборот, но тем не менее оправдание структуры идеальной модели может быть найдено только через указание на определенную структуру реальных отношений.